les raisonnements courants

 

Commençons par le raisonnement, c'est-à-dire grossièrement les inférences.

Elles sont de 3 sortes : la déduction, l’induction, et l’abduction selon le logicien, mathématicien, philosophe et sémioticien américain Charles Sanders PEIRCE.

Elles sont toutes les trois à l’oeuvre dans la recherche des problèmes, se mélangeant et se contrôlant mutuellement.

  • La déduction. Elle se caractérise par ce « donc » :


A vrai

La règle « A entraîne B » est vraie

donc 1 : B est vrai.

Reprenons carrément l’exemple parlant de Peirce :


Règle « Tous les petits pois de ce sac étaient blancs »

Ces petits pois proviennent de ce sac

Donc : ces petits pois sont blancs.

 

 

 

  • L’induction. Elle se caractérise par ce « donc 2» :


A est vrai

          B est vrai

donc 2 : la règle « A entraîne B » est vraie.

 

Ces petits pois proviennent de ce sac.

Ces petits pois sont blancs

Donc : «  tous les petits pois de ce sac sont blancs ».

Notez le tableau "l'aimable vérité"

 

 

 

 


  • L’abduction. Elle se caractérise par ce « donc » :


la règle « A entraîne B » est vraie

B est vrai donc 3 : A est vrai


« Tous les petits pois de ce sac sont blancs »

Ces petits pois sont blancs

Donc : ces petits pois proviennent de ce sac.


Il suffit de s’interroger sur la recherche d’un problème, même élémentaire, pour voir que ces 3 outils interviennent constamment, pour tout le monde.


Evidemment, le seul « donc » admis dans la démonstration mathématique est le donc 1, celui de la déduction .Et c’est bien !

 

Mais ce n’est pas le cas dans la vie courante. L’abduction règne aussi .Par exemple dans les enquêtes de police (d’où moult bavures) ou dans les romans policiers. Pensons à ce que veut dire dans ce cas la phrase « il a l’esprit logique » et aux confusions qui en résultent.

Ce n’est pas non plus le cas lorsqu’il s’agit de comprendre son environnement, le temps par exemple : de « nombreuses » coincidences de la vérité de A et de B font conclure à la règle de « sagesse » : « A entraîne B » : Là c’est l’induction qui domine, ainsi que dans les sciences expérimentales.

Mais il faut bien voir que même en mathématique, les facultés d’induction et d’abduction ont une importance capitale : au moment de la recherche.

Ce sont elles qui donnent naissance aux conjectures, intermédiaires ou principales, dans la résolution d’un problème. Sans elles, pas d’initiatives, pas d’essais-erreurs, pas d’appel aux diverses mémoires, pas de brassage d’idées, pas d’anticipation personnelle permettant d’ouvrir le débat face aux propos de l’enseignant, donc pas de conflit, pas d’appropriation vraiment personnelle, sinon celle de l’empreinte de l’Autre.

On a souvent peur, à tort, qu'elles ne représentent un poison pour la rigueur, comme le suggère ce tableau de magritte intitulé "le poison"

 

 

Mais il y a plus : en mathématiques, ce sont elles qui exigent l’intervention de la déduction, car c’est la déduction qui va trancher et permettre de valider un résultat, à chaque instant : ce sont elles qui donne à l’élève matière à déduction

de façon permanente. De plus, la déduction s’exerce alors sur les propres produits de l’élève et tout pédagogue sait que c’est sur ces produits que l’efficacité est maximale.

L’apprentissage de la rigueur se fait aussi hors de la communication, il faut le savoir et le préserver. Il ne se fait pas qu’en s’exerçant à ne dire que des choses vraies, il se fait surtout en s’entraînant à rejeter des choses fausses.

Ainsi un enseignement de la rigueur déductive ne peut se passer du foisonnement d’audaces inductives et abductives.

Il en résulte que la question se pose de favoriser aussi celles-ci, de reconnaître qu’elles font partie, et ont toujours fait partie de l’activité mathématique.

Nous le savons, mais comment le dire aux élèves, concrètement.

Parce qu’un des drames de la pédagogie est toujours la contradiction fréquente entre « ce qui est dit » directement, et « ce qui est fait », indirectement, c'est-à-dire entre le discours verbal, manifeste et le discours « des actes », latent.

Dans la société où nous vivons, nos élèves, (et parfois nous-mêmes ?) sont malheureusement marqués par la rentabilité : il faut savoir ne pas y céder, mais en même temps, pour les faire avancer, il faut en tenir compte. Or seul compte vraiment (hélas) pour la majorité des élèves, ce qui est évalué.

 

Ce qui se passe dans la partie émergée, la démonstration, doit pouvoir être évalué parfois en passant par la rédaction, mais aussi en la court-circuitant : des collègues ont eu certainement des expériences originales là-dessus.

Pour la partie recherche, nos collègues de l’Irem de Montpellier ont inventé la narration de recherche, fabuleux outil pour montrer aux élèves que ce n’est pas seulement l’habillage de leur pensée, mais leur « pensée laborieuse » qui nous intéresse et que nous « jugeons ».Que nous pouvons faire mentir, en ce qui nous concerne, la terrible remarque de d’André Malraux : « Le juge ne peut nous comprendre, car s’il nous comprenait, il ne pourrait pas juger ».

De même, il y a le problème de type « rallye », il y a le problème ouvert.

On peut même imaginer des exercices de conjectures, ect…

Ce mélange d’activités abductives, inductives et déductives dépend aussi des sous-problèmes que l’élève s’est crée, en prenant des parties du système des hypothèses. C’est ce qu’on pourrait appeler « l’intuition », au sens que lui donnait si lucidement Georges Glaeser en la définissant comme « l’art de conclure en présence d’un nombre insuffisant d’hypothèses ».

Parfois d’ailleurs, la résolution des sous-problèmes dépend de « l’art de conclure en présence d’hypothèses surabondantes », définition que donnait encore Glaeser pour l’ « insight », ou le ha-ha de Martin Gardner.

Toutes ces qualités essentielles, dont nous sommes comptables, contrairement à ce qui est est pratiquement fait, se retrouvent et se développent dans des activités comme les TPE , je parle non pas du produit final, qui, nous seuls enseignants le savons, n’est pas l’essentiel, mais de l’activité continue qui y aboutit.