Les autres "Ductions"

 

Mais il y a aussi d’autres trajectoires de pensée qui interviennent dans cette phase de recherche et nous allons en citer trois des plus importantes.

Comme les autres, elles s’éduquent et c’est pour cela que nous les mettons au jour.

Une image préalable : on peut se représenter grossièrement (dans un premier temps) les lieux de l’activité mathématique, comme un univers ruban avec 3 couches : celle du « réel » ou des référents, celle des signifiés donc des concepts, celle des signifiants donc des mots ou des symboles.

Le discours s’y présente comme un voyage où l’on passe alternativement et sans arrêt d’une couche à une autre, et de façon tout à fait désordonnée.

 

 

On peut alors décomposer toute association d’idée en trajets élémentaires, par exemple pour passer d’un signifiant A à un autre signifiant B, l’esprit peut plonger d’abord dans le réel, puis passer à un autre objet, puis associer à cet objet un concept, glisser à un autre concept, et aboutir au signifiant B.

On voit alors poindre un aspect de la responsabilité pédagogique de l’enseignant s’il décide, comme on devrait le faire, qu’il est comptable du développement de ces aptitudes de l’élève : un des buts des exercices proposés aux élèves est de munir chaque signifiant de multiples « crochets à signifiés », de « crochets à objets », et même de « crochets à signifiants » aussi.

De même pour chaque concept et de même pour chaque objet.


Il peut être commode pour chaque type de trajet élémentaire de lui donner un nom. En notant après Saussure et Lacan en majuscule S les signifiants, en minuscule s les signifiés, les objets en O, on aura les cas suivants.

 

S1-------s1--------s2--------S2 que nous appellerons « subduction ».c'est le passage d'un signifiant à un autre par l'intermédiaire du sens.


s1--------S1-------S2 -------s2 désignée par « transduction » :c'est le passage de signifier à un autre par l'intermédiaire des mots.


S1 ------O1-------O2 -------S2 : « métaduction » de mot ou de symbole :c'est le passage d'un signifiant à un autre par l'intermédiaire du réel ou du dessin .


s1 -------O1------O2 -------s2 : « métaduction » de concept :c'est le passage d'un concept un autre par l'intermédiaire des objets ou du dessin.

 
 

 

Un exemple significatif concernant l’abduction .Il est significatif en ce sens qu’elle intervient dans la partie « analyse » de tout problème spéculatif que l’on décide de traiter par analyse-synthèse.

On donne un segment [bc] et un point non situé sur (bc). Construire un triangle abc admettant i comme centre du cercle inscrit.

En raccourcissant un peu, la règle est :

Si i est le centre du cercle inscrit, les droites symétriques de (bc) par rapport à (bi) et (ci) se coupent en un point qui est le troisième sommet du triangle.

Une abduction me conduit à tracer les deux symétriques et à prendre leur point d‘intersection pour point a.

Je peux passer au point de vue déductif : s’il existe un triangle solution, ce ne peut être que celui-ci.

La synthèse va me montrer que ce triangle trouvé n’est pas toujours solution.

 

 

Un autre exemple en 6ème : trouver le côté (entier) d’un carré dont l’aire est 729 cm².

Je peux abduire que le côté est entre 20 et 30 puisque l’aire est entre 400 et 900.

Une abduction plus fine me conduit à penser que le côté est terminé par 3, donc est 23. La synthèse me permet de déduire que ce nombre ne convient pas.

Une autre abduction me fait abduire qu’il s’agit d’un nombre terminé par 7, donc que c’est 27.La synthèse m’assure qu’il s’agit bien de ce nombre.

On voit là que la possibilité d’imaginer est donnée par l’abduction tandis que la liberté d’imaginer est assurée par l’existence du moment déductif.

On trouvera sans peine des milliers d’autres lieux, à tous les niveaux d’apprentissage.

 

Regardons un exemple d’induction en 5ème.

Prendre cinq nombres consécutifs et les multiplier. Diviser le résultat par 5.

Recommencer avec d’autres nombres. Remarque ? Démontrer ce résultat.

Ici la loi à trouver est suggérée et est l’objet de l’exercice. Mais la plupart du temps, c’est au détour de la recherche que l’induction intervient : la règle apparaît comme un besoin pour avancer.

Evidemment, souvent la règle est stockée dans la mémoire ou dans un livre, et dès qu’on l’a trouvée, on déduit. Mais avant de l’avoir, au moment où son besoin apparaît, à la suite d’essais et erreurs, on travaille inductivement.

Les fameux théorèmes élèves sont la plupart du temps sincères et correspondent à des inductions libres non démontrées. Leur importance pour la qualité de l’apprentissage n’est plus à prouver en 2005.

L’aptitude à induire est la condition du passage à l’age adulte, à la culture scientifique, à la « sagesse ».

 

Une parenthèse sur la responsabilité des programmes dans l’hypothèse où ils seraient contraignants et ne laisseraient pas une large marge de manœuvre à l’enseignant réel me semble nécessaire.

Si, dans les inductions préparatoires au théorème sur les 180 degrés d’un triangle en 5ème, je ne glisse pas un petit

 travail sur la sphère (terrestre par exemple) avec le triangle trirectangle, montrant que la somme des angles est

270 degrés, je condamne l’élève à être géométriquement infirme sur beaucoup de questions.

De même, si dans les transformations géométriques, dès le début du collège, je ne glisse pas un exemple du type correspondance droite-cercle, ( exemple en 5ème om.om’ = 20 ) je le condamne à croire que 3 points alignés ont

 pour correspondants 3 points alignés . Que d’inductions fausses vont germer dans son cerveau ! Une bonne manip’

contre-exemple peut suffire à en éliminer beaucoup.

De même, pour l’espace, même si le programme indique « perspective cavalière », il faut absolument injecter

quelques manipulations de perspectives à point de fuite, sinon il croira toute sa scolarité que le « dessiné » du milieu

 est le milieu des « dessinés ».

On voit combien il est dangereux de respecter les programmes à la lettre.

 

 

Et pour en terminer, la disparition du langage des projections enlève à l’élève des contre-exemples canoniques imagés sur la non-injectivité, qui comme chacun sait, est au programme réel de l’école maternelle ou du cours préparatoire depuis plusieurs siècles.

Cette prolifération des inductions est indispensable au développement de l’intelligence. Et le prof de math, parce qu’il est celui qui est, plus que d’autres chargé de la déduction, en est comptable.

Demander à l’élève de les éviter pour apprendre à déduire, serait aussi stupide que de prôner l’abstinence pour lutter contre le sida.

Ainsi, s’intéresser à la façon dont l’élève développe ses capacités à abduire et à induire, donc à conjecturer, est une condition nécessaire pour apprendre à déduire et à démontrer.

 

Illustrons par un exemple l’association d’idée du type « transduction », c'est-à-dire le passage d’un concept à un autre par un glissement dans la chaîne des signifiants.

Soit un cercle de diamètre [bc] et un point quelconque a. Tracer, en utilisant uniquement la règle non graduée, la perpendiculaire à (bc) passant par a.

Un trajet de pensée qui conduit à la solution passe par les signifiants suivants par exemple :

Triangle, perpendiculaire, hauteur, orthocentre, hauteurs, perpendiculaires, diamètre, demi-cercle, théorème du demi-cercle,…En fait les mots se font écho les uns les autres jusqu’au rappel du théorème.

 
 

 

Un autre exemple plus global est l’utilisation systématique des phénomènes de dualité.

On utilise des glissements élémentaires codifiés (dictionnaire) du type :

Point – droite ; droite – point ; (alignement de points)-(concourance de droites) ;

Sécante – tangente ; circonscrit-inscrit.

Le théorème de Pascal disant « les côtés 1-4,2-5,3-6 d’un hexagone inscrit dans un cercle se coupent en 3 points alignés »

suggère le théorème de Brianchon :

« Les diagonales 1-4, 2-5,3-6 d’un hexagone circonscrit sont concourantes en un même point. »

Le passage entre les deux « signifiés », théorème de Pascal et théorème de Brianchon se fait par un travail dans les signifiants.

(je prends ici « signifiés » dans le sens qu’aurait pu lui donner, avant Saussure, Ch.Sanders Peirce, c'est-à-dire qu’un théorème, ou

une phrase entière, ou un livre entier, est un signe).

 

 

Un dernier type d’exemple en prenant les dessins comme signifiants (et non plus les mots) : je veux passer parmi les homéomorphismes de « difféomorphisme » à « non-difféomorphisme ». Pour passer de l’un à l’autre, je plonge dans le plan familier en utilisant la double restriction d’une projection centrale à une source «cercle » et un but « ellipse » , puis la double restriction à une source « cercle » et un but rectangle .

 

 

Illustrons maintenant l’association d’idée dite « subduction », c'est-à-dire le passage d’un signifiant à un autre par la

couche des signifiés.

Un élève de 4ème est devant l’expression « trapèze isocèle » pratiquement jamais vue. Il démarre sur le mot

 « trapèze » et son signifié, sans succès. Il passe au mot « isocèle », puis à « triangle isocèle », il plonge sur le signifié correspondant « côtés égaux » toujours sans trop de succès, puis se déplace au 2ème signifié « axe de

symétrie » et peut déboucher sur le bon signifié de « trapèze isocèle ».

 

 

Pour mieux saisir, tentons un exemple à notre niveau d’apprentissage.

Considérons les mots « logique classique » et « logique intuitionniste ».

Par quels signifiés peut-on passer pour aller et venir des énoncés de l’une à ceux de l’autre ? (Par exemple, dans l’une le principe du tiers exclu est vrai, c'est-à-dire que l’on a toujours « p ou non-p », et il est faux dans l’autre).


  • Je choisis un ensemble E .J’associe à une propriété la partie des éléments de E qui vérifient cette propriété. Ainsi à « p » j’associe la partie A de E ayant la propriété p. Il est clair que la réunion de A et du complémentaire de A est E. Voilà pour la logique classique.

  • Je choisis un espace topologique (E, O), O étant la famille d’ouverts.

J’associe à une propriété l’ouvert de E dont les éléments vérifient cette propriété, ce qui revient à prendre l’intérieur de la partie de E dont les éléments vérifient la propriété.

J’associe à « p » l’ouvert A’ dont tous les éléments vérifient p, ce qui

revient à prendre l’intérieur de la partie A des éléments de E qui vérifient

p. Alors le complémentaire de A’ est un fermé.

Son intérieurA’’représentera « non p », et il est clair que la réunion de A’’

et de A n’est pas E . Ainsi le principe du tiers exclu n’est plus vrai.

Ainsi le travail rapide d’une logique à l’autre passera par des bonds d’un signifié à l’autre, calcul ensembliste vers calcul topologique.

On pourrait continuer de la maternelle à l’université.

 

 
 

 

Examinons le cas de la « métaduction » pour employer un terme imagé.

Il s’agit là du passage par le réel (ou même le réel imaginé). Il y a deux formes : d’un signifié à un autre, ou alors d’un signifiant à un autre.

Voici un exemple de métaduction du concept, pour un élève de collège.

Il veut passer du parallélogramme au losange. Il imagine un parallélogramme articulé, formé de deux segments mobiles autour de leur milieu commun, le quadrilatère étant matérialisé par un élastique passant par les 4 extrémités.

S'il s’arrange pour que les diagonales soient perpendiculaires, il obtient un losange. Cette expérience de pensée stabilise définitivement cette propriété du losange et sera plus tard la clé de nombreux passages.


Un jeu analogue sur deux diamètres d’un cercle assurera des associations d’idées du carré au rectangle.

 

 

Pour un étudiant ou un enseignant, voici un exemple.

Je reprends le théorème de Pascal sur l’hexagone inscrit abcdef .

J’imagine les points mobiles sur un cercle. Je fais tendre en pensée a vers b , c vers d, e vers f. Alors (ab), (cd), et (ef) deviennent des tangentes au cercle circonscrit en b, d, f , l’hexagone devenant le triangle bdf. J’ai ainsi glissé à la conjecture « Si je trace les tangentes au cercle circonscrit à un triangle en ses sommets, ces droites rencontrent les supports des côtés en 3 points alignés ».

 

Ainsi il est clair que le développement de la rigueur déductive est inséparable du développement des autres types de raisonnement qui servent de contrepoint ou en tout cas de tuteurs . Contrairement à ce qu'on pourrait croire, ils coexistent en permanence avec lui. Éduquer à la rigueur,c'est apprendre à chaque élève la spécificité de chacun ,et ne pas lui faire croire que seul l'un d'entre eux intervient dans le reste dans l'activité mathématique.

Il devrait en résulter de nécessaires modifications dans la conception de notre évaluation : la narration de recherche,le problème de rallye, le problème ouvert, l'utilisation des logiciels de géométrie dynamique ou d'autres, devraient accompagner les tests classiques . Sans aller encore jusqu'à des QCM de conjectures complexes, on pourrait aller jusqu'à la reprise, tôt dans la scolarité, des problèmes demandant une discussion, et par conséquent réintroduire ( en fait en l'explicitant, car ils interviennent tout le temps, même à l'école primaire, et pour tout élève qui distingue les classes de problèmes) à tous les niveaux la notion de paramètres.

On pourrait également introduire les techniques de rumination des hypothèses, du processus de démonstration, de la conclusion.(par rumination, j'entends l'interrogation sur les conséquences qu'aurait sur la conclusion, la suppression ou la modification d'une partie des hypothéses, ou les modifications qu'il faudrait apporter aux hypothèses si on changeait une partie de la conclusion, ou les autres processus de démonstration qui mèneraient des mêmes hypothèses à la même conclusion ).

On mettrait en évidence alors clairement que la démonstration en mathématiques, loin d'être uniquement un outil de contrôle ou de consensus, a aussi une dimension heuristique : Pour une question donnée , la démonstration sert en fait à trouver d'autres résultats non prévus. C'est ce qui en fait la force, la nécessité et la beauté .La démonstration est elle-même une usine à conjecture : elle peut être créative .Mais on ne peut pas oublier que ce n'est pas seulement en démontrant qu'on apprend à démontrer.