LA METAPHORE DE L'ICEBERG (Alain Magen)

 

 

 

LA METAPHORE DE L'ICEBERG.

 

(Place et conquête de la rigueur

dans l'enseignement des mathématiques)

 

 

 

Le mathématicien René THOM déclara un jour : « Quand il ne peut pas visualiser des idées abstraites, l’homme sombre dans la magie ou dans l’indifférence ».

Nous le constatons tous les jours dans notre enseignement et nombre d’actes pédagogiques ou d’outils didactiques en tiennent compte, peut être pas assez d’ailleurs.

Cela est vrai dans la vie quotidienne également. Et du point de vue culturel, cela explique toute l’importance que doit avoir la géométrie dans le développement du petit d’homme, quel que soit son destin. Mais il s’agit là d’un débat que je n’ouvrirai pas ici. Je voudrais simplement montrer, sur le simple plan de l’enseignement des mathématiques, à titre personnel, comment le fait d’avoir présente à l’esprit la remarque du père de la théorie des catastrophes peut aider.

 

 

Parmi les questions urgentes que nous nous posons, régulièrement ou non, il y a l’importance de telle notion, de tel problème ou de telle méthode, ou de telle activité, de telle stratégie pédagogique, la question du choix de son type d’enseignement, de son type d’évaluation, et surtout de l’interprétation de cette évaluation.

Parfois l’institution elle-même nous oblige à nous battre pour aider tous les acteurs à y voir plus clair. C’est le cas actuellement sur la suppression des TPE, comme sur la liberté pédagogique surveillée, sur le repli vers les « prétendus fondamentaux », sans parler des outils d’évaluation proposés, de leur utilisation, aux examens comme en classe, et même des nouveaux outils à proposer.

Pour relativiser tout cela, et y réfléchir, j’ai depuis longtemps eu en tête le schéma de l’iceberg.

On s’imagine l’ensemble des activités intellectuelles de l’élève à propos d’un problème donné comme un iceberg.

 

 

Sur la partie émergée, il y a une couche de neige, représentant tout ce qui a trait à la rédaction.

Dans la partie immergée se trouvent toutes les activités de recherche, les heuristiques préalables, à toute conjecture, à toute démonstration.

On peut imaginer l’enseignant « évaluant » comme arrivant en hélicoptère pour juger : certains ne se posent pas et évaluent l’allure de la neige, d’autres se posent et analysent la neige par prélèvements, d’autres toute la couche de neige,

D’autres font des prélèvements de la glace émergée sous la neige, les plus téméraires, à Montpellier par exemple, avec la narration de recherche, font des carottes de la glace immergée.

Et c’est donc ainsi que nous sommes amenés à évaluer l’iceberg pour dire s’il sera capable de tenir dans les lieux les plus variés.

 

 

 

Regardons de plus près ces lieux pour y repérer les qualités, indispensables soit pour faire des maths, soit pour utiliser les maths, soit pour profiter des traces culturelles que donnent les maths pour le citoyen moyen ou l’homme moyen.

 

La partie émergée est très connue, très étudiée, très évaluée, très interprétée.

Nous ne nous y attardons pas, sauf pour dire qu’elle est considérée comme la plus importante pour l’instant. L’état des sciences cognitives jusqu’aux années 80 pouvait le justifier. Encore que beaucoup de grands travaux didactiques aient montré, bien avant, indirectement qu’il fallait aussi chercher ailleurs, mais ces avancées restèrent « sans écho », l’institution utilisant la technique de l’effet « Ben Barka » chère à De Gaulle : « Qui c’est, Ben Barka ? ».

De plus une attitude un peu médiévale (au sens péjoratif du terme) de l’institution vis-à-vis de la psychologie et de la psychanalyse a pu faire penser qu’on n’avait pas à se préoccuper de la partie immergée.

De même, les « émanations » des « idées » du livre de Sokal et Bricmont qui caricaturent les rapports réels des sciences « dures » et des sciences humaines peuvent empêcher de prendre en compte la partie non « communiquée » de l’activité mathématique d’un élève.

(ci-contre un tableau de magritte intitulé précisément "le thérapeute"

 
 

 

Dans cette partie émergée règnent en maître la logique classique et l’outil privilégié qu’est la déduction. On peut remarquer cependant la place de la rédaction et son rôle de filtre, et toutes les questions que cela pose.

Notons aussi que dans la rédaction, les catégories logiques qui interviennent ne sont pas seulement celles du « vrai » et du « faux » : il y a aussi celles du « permis » et de l’ « obligatoire », c'est-à-dire celles de la logique déontique : et pour beaucoup d’élèves, elles sont premières, d’autant que les habitudes rédactionnelles des enseignants ne sont pas les mêmes, sans oublier qu’elles changent en partie suivant les époques et les commentaires ( pensons aux diverses moutures de l’énoncé de Thalès ou à l’acceptation d’écritures comme « le segment ab », « le segment [ab] » ou [ab], ou « le vecteur ab » ou à l’utilisation du signe « = » comme l’indiquait magnifiquement il y a 10 ans Raymond Raynaud, dans un article du bulletin, peu après les journées d’Albi).

 

 

Passons sous l’eau.

Déjà, le problème de rallye court-circuite la rédaction. Seul intervient le résultat, et cependant nous savons tous quelle intense activité mathématique le caractérise. La question de son statut dans l’évaluation scolaire, y compris les examens traditionnels se pose à mon avis de façon urgente dans l’enseignement.

D’une autre façon, un autre type de problème, le problème ouvert marque lui aussi l’importance de la partie immergée : là aussi, il y a à réfléchir à son intervention dans les parties « officielles » de l’enseignement.

Enfin les menaces sur des activités comme les TPE montrent aussi quelles incompréhensions existent sur ce qui fait l’activité mathématique d’un élève.

Il en est de même pour les questions posées par les tentatives interdisciplinaires.

Ci-contre le tableau significatif de magritte intitulé " la maison de verre"

La déduction

 

Commençons par le raisonnement, c'est-à-dire grossièrement les inférences.

Elles sont de 3 sortes : la déduction, l’induction, et l’abduction selon le logicien, mathématicien, philosophe et sémioticien américain Charles Sanders PEIRCE.

Elles sont toutes les trois à l’oeuvre dans la recherche des problèmes, se mélangeant et se contrôlant mutuellement.

  • La déduction. Elle se caractérise par ce « donc » :


A vrai

La règle « A entraîne B » est vraie                                         donc 1 : B est vrai.

Reprenons carrément l’exemple parlant de Peirce :


Règle « Tous les petits pois de ce sac étaient blancs »

Ces petits pois proviennent de ce sac

Donc : ces petits pois sont blancs.

L'induction

 

  • L’induction. Elle se caractérise par ce « donc » :


A est vrai

B est vrai                                                donc 2 : la règle « A entraîne B » est vraie.

 

Ces petits pois proviennent de ce sac.

Ces petits pois sont blancs

Donc : «  tous les petits pois de ce sac sont blancs ».

L'abduction

 

  • L’abduction. Elle se caractérise par ce « donc » :

 

la règle « A entraîne B » est vraie

B est vrai                                               donc 3 : A est vrai


« Tous les petits pois de ce sac sont blancs »

Ces petits pois sont blancs

Donc : ces petits pois proviennent de ce sac.


Il suffit de s’interroger sur la recherche d’un problème, même élémentaire, pour voir que ces 3 outils interviennent constamment, pour tout le monde.

Les 3 "donc" sont incontournables

 

Evidemment, le seul « donc » admis dans la démonstration mathématique est le donc 1, celui de la déduction .Et c’est bien !


Mais ce n’est pas le cas dans la vie courante. L’abduction règne aussi .Par exemple dans les enquêtes de police (d’où moult bavures) ou dans les romans policiers. Pensons à ce que veut dire dans ce cas la phrase « il a l’esprit logique » et aux confusions qui en résultent.

Ce n’est pas non plus le cas lorsqu’il s’agit de comprendre son environnement, le temps par exemple : de « nombreuses » coincidences de la vérité de A et de B font conclure à la règle de « sagesse » : « A entraîne B » : Là c’est l’induction qui domine, ainsi que dans les sciences expérimentales.

Mais il faut bien voir que même en mathématique, les facultés d’induction et d’abduction ont une importance capitale : au moment de la recherche.

Ce sont elles qui donnent naissance aux conjectures, intermédiaires ou principales, dans la résolution d’un problème. Sans elles, pas d’initiatives, pas d’essais-erreurs, pas d’appel aux diverses mémoires, pas de brassage d’idées, pas d’anticipation personnelle permettant d’ouvrir le débat face aux propos de l’enseignant, donc pas de conflit, pas d’appropriation vraiment personnelle, sinon celle de l’empreinte de l’Autre.

Mais il y a plus : en mathématiques, ce sont elles qui exigent l’intervention de la déduction, car c’est la déduction qui va trancher et permettre de valider un résultat, à chaque instant : ce sont elles qui donne à l’élève matière à déduction

de façon permanente. De plus, la déduction s’exerce alors sur les propres produits de l’élève et tout pédagogue sait que c’est sur ces produits que l’efficacité est maximale.

L'apprentissage de la rigueur

 

L’apprentissage de la rigueur se fait aussi hors de la communication, il faut le savoir et le préserver. Il ne se fait pas qu’en s’exerçant à ne dire que des choses vraies, il se fait surtout en s’entraînant à rejeter des choses fausses.

Ainsi un enseignement de la rigueur déductive ne peut se passer du foisonnement d’audaces inductives et abductives.

Il en résulte que la question se pose de favoriser aussi celles-ci, de reconnaître qu’elles font partie, et ont toujours fait partie de l’activité mathématique.

Nous le savons, mais comment le dire aux élèves, concrètement.

Parce qu’un des drames de la pédagogie est toujours la contradiction fréquente entre « ce qui est dit » directement, et « ce qui est fait », indirectement, c'est-à-dire entre le discours verbal, manifeste et le discours « des actes », latent.

Dans la société où nous vivons, nos élèves, (et parfois nous-mêmes ?) sont malheureusement marqués par la rentabilité : il faut savoir ne pas y céder, mais en même temps, pour les faire avancer, il faut en tenir compte. Or seul compte vraiment (hélas) pour la majorité des élèves, ce qui est évalué.

Ce qui se passe dans la partie émergée, la démonstration, doit pouvoir être évalué parfois en passant par la rédaction, mais aussi en la court-circuitant : des collègues ont eu certainement des expériences originales là-dessus.

Pour la partie recherche, nos collègues de l’Irem de Montpellier ont inventé la narration de recherche, fabuleux outil pour montrer aux élèves que ce n’est pas seulement l’habillage de leur pensée, mais leur « pensée laborieuse » qui nous intéresse et que nous « jugeons ».Que nous pouvons faire mentir, en ce qui nous concerne, la terrible remarque de d’André Malraux : « Le juge ne peut nous comprendre, car s’il nous comprenait, il ne pourrait pas juger ».

De même, il y a le problème de type « rallye », il y a le problème ouvert.

On peut même imaginer des exercices de conjectures, ect…

L'intuition, la mal aimée de la pédagogie

 

Ce mélange d’activités abductives, inductives et déductives dépend aussi des sous-problèmes que l’élève s’est crée, en prenant des parties du système des hypothèses. C’est ce qu’on pourrait appeler « l’intuition », au sens que lui donnait si lucidement Georges Glaeser en la définissant comme « l’art de conclure en présence d’un nombre insuffisant d’hypothèses ».

Parfois d’ailleurs, la résolution des sous-problèmes dépend de « l’art de conclure en présence d’hypothèses surabondantes », définition que donnait encore Glaeser pour l’ « insight », ou le ha-ha de Martin Gardner.

Toutes ces qualités essentielles, dont nous sommes comptables, contrairement à ce qui est est pratiquement fait, se retrouvent et se développent dans des activités comme les TPE , je parle non pas du produit final, qui, nous seuls enseignants le savons, n’est pas l’essentiel, mais de l’activité continue qui y aboutit.


Mais il y a aussi d’autres trajectoires de pensée qui interviennent dans cette phase de recherche et nous allons en citer trois des plus importantes.

Comme les autres, elles s’éduquent et c’est pour cela que nous les mettons au jour.

Une image préalable : on peut se représenter grossièrement (dans un premier temps) les lieux de l’activité mathématique, comme un univers ruban avec 3 couches : celle du « réel » ou des référents, celle des signifiés donc des concepts, celle des signifiants donc des mots ou des symboles.

Le discours s’y présente comme un voyage où l’on passe alternativement et sans arrêt d’une couche à une autre, et de façon tout à fait désordonnée.

 

 

On peut alors décomposer toute association d’idée en trajets élémentaires, par exemple pour passer d’un signifiant A à un autre signifiant B, l’esprit peut plonger d’abord dans le réel, puis passer à un autre objet, puis associer à cet objet un concept, glisser à un autre concept, et aboutir au signifiant B.

On voit alors poindre un aspect de la responsabilité pédagogique de l’enseignant s’il décide, comme on devrait le faire, qu’il est comptable du développement de ces aptitudes de l’élève : un des buts des exercices proposés aux élèves est de munir chaque signifiant de multiples « crochets à signifiés », de « crochets à objets », et même de « crochets à signifiants » aussi.

De même pour chaque concept et de même pour chaque objet.

quelques "ductions" nouvelles

 

Il peut être commode pour chaque type de trajet élémentaire de lui donner un nom. En notant après Saussure et Lacan en majuscule S les signifiants, en minuscule s les signifiés, les objets en O, on aura les cas suivants.

 

S1-------s1--------s2--------S2 que nous appellerons « subduction ».c'est le passage d'un signifiant à un autre par l'intermédiaire du sens.


s1--------S1-------S2 -------s2 désignée par « transduction » :c'est le passage d'un signifié à un autre par l'intermédiaire des mots.


S1 ------O1-------O2 -------S2 : « métaduction » de mot ou de symbole :c'est le passage d'un signifiant à un autre par l'intermédiaire du réel ou du dessin .


s1 -------O1------O2 -------s2 : « métaduction » de concept :c'est le passage d'un concept un autre par l'intermédiaire des objets ou du dessin.

un exemple du rôle de l'abduction

 

Un exemple significatif concernant l’abduction .Il est significatif en ce sens qu’elle intervient dans la partie « analyse » de tout problème spéculatif que l’on décide de traiter par analyse-synthèse.

On donne un segment [bc] et un point non situé sur (bc). Construire un triangle abc admettant i comme centre du cercle inscrit.

On traite le problème par "analyse-synthèse"?

En raccourcissant un peu, la démarche est :

Si i est le centre du cercle inscrit, les droites symétriques de (bc) par rapport à (bi) et (ci) se coupent en un point qui est le troisième sommet du triangle.

Une abduction me conduit à tracer les deux symétriques et à prendre leur point d‘intersection pour point a.

Je peux passer au point de vue déductif : s’il existe un triangle solution, ce ne peut être que celui-ci.

La synthèse va me montrer que ce triangle trouvé n’est pas toujours solution.

autre exemple d'efficacité de l'abduction

 

Un autre exemple en 6ème : trouver le côté (entier) d’un carré dont l’aire est 729 cm².

Je peux abduire que le côté est entre 20 et 30 puisque l’aire est entre 400 et 900.

Une abduction plus fine me conduit à penser que le côté est terminé par 3, donc est 23. La synthèse me permet de déduire que ce nombre ne convient pas.

Une autre abduction me fait abduire qu’il s’agit d’un nombre terminé par 7, donc que c’est 27.La synthèse m’assure qu’il s’agit bien de ce nombre.

On voit là que la possibilité d’imaginer est donnée par l’abduction tandis que la liberté d’imaginer est assurée par l’existence du moment déductif.

On trouvera sans peine des milliers d’autres lieux, à tous les niveaux d’apprentissage.

éloge de l'induction

 

Regardons un exemple d’induction en 5ème.

Prendre cinq nombres consécutifs et les multiplier. Diviser le résultat par 5.

Recommencer avec d’autres nombres. Remarque ? Démontrer ce résultat.

Ici la loi à trouver est suggérée et est l’objet de l’exercice. Mais la plupart du temps, c’est au détour de la recherche que l’induction intervient : la règle apparaît comme un besoin pour avancer.

Evidemment, souvent la règle est stockée dans la mémoire ou dans un livre, et dès qu’on l’a trouvée, on déduit. Mais avant de l’avoir, au moment où son besoin apparaît, à la suite d’essais et erreurs, on travaille inductivement.

Les fameux théorèmes-élèves sont la plupart du temps sincères et correspondent à des inductions libres non démontrées. Leur importance pour la qualité de l’apprentissage n’est plus à prouver en 2005.

L’aptitude à induire est la condition du passage à l’age adulte, à la culture scientifique, à la « sagesse ».

Une parenthèse sur la responsabilité des programmes dans l’hypothèse où ils seraient contraignants et ne laisseraient pas une large marge de manœuvre à l’enseignant réel me semble nécessaire.

Si, dans les inductions préparatoires au théorème sur les 180 degrés d’un triangle en 5ème, je ne

 glisse pas un petit travail sur la sphère (terrestre par exemple) avec le triangle trirectangle,

 montrant que la somme des angles est 270 degrés, je condamne l’élève à être géométriquement infirme sur beaucoup de questions.

De même, si dans les transformations géométriques, dès le début du collège, je ne glisse pas un exemple du type correspondance droite-cercle, ( exemple en 5ème om.om’ = 20 ) je le condamne

 à croire que 3 points alignés ont pour correspondants 3 points alignés . Que d’inductions fausses vont germer dans son cerveau ! Une bonne manip’ contre-exemple peut suffire à en éliminer beaucoup.

De même, pour l’espace, si le programme indique « perspective cavalière », il faut absolument injecter quelques manipulations de perspectives à point de fuite, sinon il croira toute sa scolarité que le « dessiné » du milieu est le milieu des « dessinés ».

Et pour en terminer, la disparition du langage des projections enlève à l’élève des contre-exemples canoniques imagés sur la non-injectivité, qui comme chacun sait, est au programme réel de l’école maternelle ou du cours préparatoire depuis plusieurs siècles.

Cette prolifération des inductions est indispensable au développement de l’intelligence. Et le prof de math, parce qu’il est celui qui est, plus que d’autres chargé de la déduction, en est comptable.

Demander à l’élève de les éviter pour apprendre à déduire, serait aussi stupide que de prôner l’abstinence pour lutter contre le sida.

Ainsi, s’intéresser à la façon dont l’élève développe ses capacités à abduire et à induire, donc à conjecturer, est une condition nécessaire pour apprendre à déduire et à démontrer.

éloge de la transduction

 

Illustrons par un exemple l’association d’idée du type « transduction », c'est-à-dire le passage d’un concept à un autre par un glissement dans la chaîne des signifiants.

Soit un cercle de diamètre [bc] et un point quelconque a. Tracer, en utilisant uniquement la règle non graduée, la perpendiculaire à (bc) passant par a.

Un trajet de pensée qui conduit à la solution passe par les signifiants suivants par exemple :

Triangle, perpendiculaire, hauteur, orthocentre, hauteurs, perpendiculaires, diamètre, demi-cercle, théorème du demi-cercle,…En fait les mots se font écho les uns les autres jusqu’au rappel du théorème.


Un autre exemple plus global est l’utilisation systématique des phénomènes de dualité. On utilise des glissements élémentaires codifiés (dictionnaire) du type :

Point – droite ; droite – point ; (alignement de points)-(concourance de droites) ;

Sécante – tangente ; circonscrit-inscrit.

Le théorème de Pascal disant « les côtés 1-4,2-5,3-6 d’un hexagone inscrit dans un cercle se coupent en 3 points alignés » suggère le théorème de Brianchon :

« Les diagonales 1-4, 2-5,3-6 d’un hexagone circonscrit sont concourantes en un même point. »

Le passage entre les deux « signifiés », théorème de Pascal et théorème de Brianchon se fait par un travail dans les signifiants.

(je prends ici « signifiés »dans le sens qu’aurait pu lui donner, avant Saussure, Ch.Sanders Peirce, c'est-à-dire qu’un théorème, ou une phrase entière, ou un livre entier, est un signe).

 

Un dernier type d’exemple en prenant les dessins comme signifiants (et non plus les mots) : je veux passer parmi les homéomorphismes de « difféomorphisme » à « non-difféomorphisme ». Pour passer de l’un à l’autre, je plonge dans le plan familier en utilisant la double restriction d’une projection centrale à une source «cercle » et un but « ellipse » , puis la double restriction à une source « cercle » et un but rectangle .

 

La première transformation est dérivable et continue.

La deuxième transformation n'est évidemment pas dérivable quoique continue.

 

 

autre exemple : extension de définition

 

Illustrons maintenant l’association d’idée dite « subduction », c'est-à-dire le passage d’un signifiant à un autre par la couche des signifiés.

Un élève de 4ème est devant l’expression « trapèze isocèle » pratiquement jamais vue. Il démarre

 sur le mot

« trapèze » et son signifié, sans succès. Il passe au mot « isocèle », puis à « triangle isocèle », il

plonge sur le signifié correspondant « côtés égaux » toujours sans trop de succès, puis se déplace au 2ème signifié « axe de symétrie » et

 peut déboucher sur le bon signifié de « trapèze isocèle ».

 

 

un exemple pour adulte

 

Pour mieux saisir, tentons un exemple à notre niveau d’apprentissage.

Considérons les mots « logique classique » et « logique intuitionniste ».

Par quels signifiés peut-on passer pour aller et venir des énoncés de l’une à ceux de l’autre ? (Par exemple, dans l’une le principe du tiers exclu est vrai, c'est-à-dire que l’on a toujours « p ou non-p », et il est faux dans l’autre).


  • Je choisis un ensemble E .J’associe à une propriété la partie des éléments de E qui vérifient cette propriété. Ainsi à « p » j’associe la partie A de E ayant la propriété p. Il est clair que la réunion de A et du complémentaire de A est E. Voilà pour la logique classique.

  • Je choisis un espace topologique (E, O), O étant la famille d’ouverts.

J’associe à une propriété l’ouvert de E dont les éléments vérifient cette propriété, ce qui revient à prendre l’intérieur de la partie de E dont les éléments vérifient la propriété.

J’associe à « p » l’ouvert A’ dont tous les éléments vérifient p, ce qui

revient à prendre l’intérieur de la partie A des éléments de E qui vérifient

p. Alors le complémentaire de A’ est un fermé.

Son intérieurA’’représentera « non p », et il est clair que la réunion de A’’

et de A n’est pas E . Ainsi le principe du tiers exclu n’est plus vrai.

Ainsi le travail rapide d’une logique à l’autre passera par des bonds d’un signifié à l’autre, calcul ensembliste vers calcul topologique.

On pourrait continuer de la maternelle à l’université.

éloge de la métaduction

 

Examinons le cas de la « métaduction » pour employer un terme imagé.

Il s’agit là du passage par le réel (ou même le réel imaginé). Il y a deux formes : d’un signifié à un autre, ou alors d’un signifiant à un autre.

Voici un exemple de métaduction du concept, pour un élève de collège.

Il veut passer du parallélogramme au losange. Il imagine un parallélogramme articulé, formé de deux segments mobiles autour de leur milieu commun, le quadrilatère étant matérialisé par un élastique passant par les 4 extrémités.

S'il s’arrange pour que les diagonales soient perpendiculaires, il obtient un losange. Cette expérience de pensée stabilise définitivement cette propriété du losange et sera plus tard la clé de nombreux passages.

 

 

 

Un jeu analogue sur deux diamètres d’un cercle assurera des associations d’idées du carré au

rectangle.

 

 

Pour un étudiant ou un enseignant, voici un exemple.

Je reprends le théorème de Pascal sur l’hexagone inscrit abcdef .( Si un hexagone est inscrit dans un cercle, les points de rencontre des côtés 1 et 4, puis 2 et 5, puis 3 et 6 sont alignés)

J’imagine les points mobiles sur un cercle. Je fais tendre en pensée a vers b , c vers d, e vers f. Alors (ab), (cd), et (ef) deviennent des tangentes au cercle circonscrit en b, d, f , l’hexagone devenant le triangle bdf. J’ai ainsi glissé à la conjecture « Si je trace les tangentes au cercle circonscrit à un triangle en ses sommets, ces droites rencontrent les supports des côtés en 3 points alignés ».

Amusez-vous à conjecturer deux théorèmes analogues pour le pentagone, puis pour le quadrilatère.

conclusion provisoire

 

Ainsi il est clair que le développement de la rigueur déductive est inséparable du développement des autres types de raisonnement qui servent de contrepoint ou en tout cas de tuteurs . Contrairement à ce qu'on pourrait croire, ils coexistent en permanence avec lui. Éduquer à la rigueur,c'est apprendre à chaque élève la spécificité de chacun ,et ne pas lui faire croire que seul l'un d'entre eux intervient dans le reste dans l'activité mathématique.

Il devrait en résulter de nécessaires modifications dans la conception de notre évaluation : la narration de recherche,le problème de rallye, le problème ouvert, l'utilisation des logiciels de géométrie dynamique ou d'autres, devraient accompagner les tests classiques . Sans aller encore jusqu'à des QCM de conjectures complexes, on pourrait aller jusqu'à la reprise, tôt dans la scolarité, des problèmes demandant une discussion, et par conséquent réintroduire ( en fait en l'explicitant, car ils interviennent tout le temps, même à l'école primaire, et pour tout élève qui distingue les classes de problèmes) à tous les niveaux la notion de paramètres.

On pourrait également introduire les techniques de rumination des hypothèses, du processus de démonstration, de la conclusion.(par rumination, j'entends l'interrogation sur les conséquences qu'aurait sur la conclusion, la suppression ou la modification d'une partie des hypothéses, ou les modifications qu'il faudrait apporter aux hypothèses si on changeait une partie de la conclusion, ou les autres processus de démonstration qui mèneraient des mêmes hypothèses à la même conclusion ).

On mettrait en évidence alors clairement que la démonstration en mathématiques, loin d'être uniquement un outil de contrôle ou de consensus, a aussi une dimension heuristique : Pour une question donnée , la démonstration sert en fait à trouver d'autres résultats non prévus. C'est ce qui en fait la force, la nécessité et la beauté .La démonstration est elle-même une usine à conjecture : elle peut être créative .Mais on ne peut pas oublier que ce n'est pas seulement en démontrant qu'on apprend à démontrer.

N'oublions pas, comme le signalait Poincaré, que « la rigueur ne sert qu'à sanctionner les conquêtes de l'intuition ».

On a vu qu'avec la rumination, elle permettait aussi de provoquer nouvelles intuitions.