MERCI à un grand pédagogue

J'ai écrit ce texte il y a 3 ans pour un homme qui a marqué plusieurs générations, dont la mienne.

Il nous a quitté cette année, mais son importance pour tout enseignant de mathématiques demeure.

LETTRE OUVERTE à Irneh LIERAB

 

 

Magen alain

Retraité 

IREM.AG Guadeloupe

 

 

Cher collègue

 

Juste quelques mots pour te dire combien j’ai apprécié ta remarque dans le dernier bulletin sur les utilisations généralisées de Cabri II Plus avec les élèves pour les faire rêver en mathématiques. Tu donnais l’exemple de courbes diverses qu’on voyait autrefois en « Spé » , mais qui étaient constructibles comme lieux géométriques.

C’est vrai qu’avec Cabri les élèves peuvent maintenant, très tôt les construire et les contempler. Quel dommage de les en priver !Ce sont en fait les briques des ponts entre la géométrie et l’analyse : les ponts sont peut-être hors programme, mais les briques sont au-delà de tout programme.

J’ai souvent imaginé un élève m’apostrophant à la façon de Brecht : « si tu ne te sers pas de ta science, donne la nous !! »

 

Je me permets de te tutoyer, car je te lis depuis bientôt 35 ans, sous un autre nom souvent, dans le bulletin de l’apm, puis de l’apmep, et au hasard des brochures. Tu nous as donné, à beaucoup d’entre nous, des raisons de faire notre métier avec passion, loin des misérables conceptions utilitaires, donc inefficaces en fait, que l’institution et ses divers rouages ont essayé d’imposer, et continuent d’imposer avec quelques concessions secondaires.

Donner à tout âge le goût de la recherche, faire sentir aux jeunes que les maths sont, par elles-mêmes une école de poésie, d’imagination, d’interrogations perpétuelles, c’est cela le travail du prof de math. De plus, il est un peu celui qui doit aider les adolescents à entendre les « mots gelés », en les réchauffant, pour faire revivre les savoirs morts à côtés de ceux qu’ils construisent.

Je t’envoie ci-joint un des plus beaux textes (pour moi) qui existe sur notre métier: il est tiré du Quart Livre de RABELAIS. Å

 

Les modes d'appropriation

Je me souviens aussi d’un texte, que tu as écrit en 1974 dans le premier tome de la brochure « GEOMETRIE au Premier cycle », page 140 : il parlait des modes d’appropriation.Å

C’était un glaçon dans le pastis tiédasse de la pédagogie par objectifs : il a aidé beaucoup de jeunes enseignants à regarder du côté des élèves, et à relativiser, sinon mieux, les commentaires castrateurs, passés et à venir, de l’inspection générale.

Quatre ans plus tard, je suis tombé par hasard sur un autre de tes textes, reproduit dans un livre des PUF, de César Birzéa, je crois, (« comment définir les objectifs pédagogiques ») qui parlait, outre les modes d’appropriation, des « projets mathématiques de l’élève » :l’auteur parlait d’une plaquette à venir de ta part et appelait ce travail le « tableau de BAREIL ». Ce texte aussi a fait bien des petits et a aidé bien des enseignants à devenir autonomes, ce qui devrait être un pléonasme.

A cette époque courait la blague de celui qui avait inventé la machine à devenir intelligent : un genre de cage de plongée, bardée de câbles électriques et d’aimants.

Il propose à un de ses admirateurs de servir de cobaye. Celui-ci entre dans la machine que l’inventeur met en marche. Le cadran, gradué de o à 100 indique 50 au départ .Au bout de 5 minutes, 60, puis 75 . C’est alors que se produit un léger court-circuit. La machine repart enfin , mais indique 65, puis 40 , puis 15, puis 5, puis 3 puis 2 : l’inventeur se précipite et arrache à temps la prise.

Le patient sort, à moitié groggy et balbutie, hébété : « Monsieur, quels étaient les objectifs de votre leçon ? »

 

 

 

 

plaisirs de la géométrie dynamique

Sur l’outil fabuleux qu’est Cabri, je voulais te donner un témoignage personnel.(il est clair qu'on peut utiliser d'autre logiciels de géométrie dynamique, comme "carmetal", "geogebra", ect....)

A la section Guadeloupe de l’Irem avec Jean Bichara, Karine Perez , Serge Baudet, Muriel Luissint , Sandrine et Frédéric Louvet, nous avions il y a 3 ans travaillé sur la fabrication, par les enseignants eux-mêmes, de menus spécialisés de Cabri( et d’autres logiciels), à partir de la création de nombreuses macros  : 3 menus complets de géométrie non-euclidienne ( les 3 modèles hyperboliques) , un sur les probabilités géométriques( problème de Bertrand), un sur l’utilisation du théorème de 5ème de Viviani à l’alimentation(coordonnées trilinéaires) , un

travail sur le chaos , et un travail très original de Jean Bichara sur les pavages. Tout cela avait été présenté au colloque de l’Irem en martinique en 2002.Nous continuons en explorant d’autres lieux.

 

Il y a quelques semaines, avec un collègue Serge Baudet, pour une future brochure, on s’attaque à l’inversion, dans le plan et dans l’espace sans utiliser le plan complexe .

 L’énorme avantage de Cabri est que, lorsqu’on a fait des macros (et n’importe quel petit de 6ème le fait très bien, et dès le début), on

peut délirer et jouer avec les figures en les transformant. Transformer par inversion des configurations classiques sur les triangles devient un jeu d’enfant. Un défi motivant par exemple est de construire une guirlande de Steiner. Des macros bien choisies permettent de résoudre élégamment et rapidement ce genre de problème, même si on s’impose le nombre d’anneaux. Nous avons mis quelques énoncés de « manip » en annexe. Å

Tout va bien.

« Mais quand tout marche bien, il est temps de passer à autre chose » disait le

grand pédagogue Deligny.

Je décide de transformer un triangle par une inversion. Je bouge pour m’amuser, puis je décide de transformer le cercle d’inversion en droite, non pas par inversion, mais en envoyant le centre du cercle à l’infini : il suffit de refaire la figure en considérant le centre du cercle comme l’intersection de deux droites,  puis d’identifier l’une d’entre elles avec une parallèle à l’autre.

Et là, c’est la surprise : le triangle et son inverse deviennent des symétriques par rapport à une droite J’avoue que je ne le savais pas ! J’ai fait d’autres essais pour vérifier. La symétrie axiale serait donc une enfant des désirs d’infini de l’inversion.

C‘est bien ce que je disais : la poésie.

Mais c’est aussi là qu’on a vraiment envie de chercher une démonstration !

un exemple : l'homologie

 Pour un travail sur les cartes postales, nous avons besoin de travailler sur l’homologie. On part de Geospace pour voir la « vision »,c'est-à-dire la vitre, la ligne de terre, la projection m sur la vitre d’un point m1du sol et son rabattement m’. On s’intéresse au passage de m à m’. C’est une homologie dans le plan de la vitre. Å

On prend comme plan de face ce plan de la vitre et on « voit » en bougeant l’alignement de m et m’avec un point fixe o, puis on constate que deux droites homologues se coupent sur la ligne de terre. On retrouve dans le passage de m à m’ sur la vitre la définition classique de l’homologie plane avec ses deux axiomes sur l’image d’un point et celle d’une droite.

Etant donné un point o, dit centre d’homologie, et une droite d dite axe d’homologie, on appelle homologie h  une transformation ponctuelle plane (ici) telle que :

1.     un point m et son image sont alignés avec le centre o.

2.     l’image d’une droite est une droite qui coupe la première sur l’axe d’homologie.

h est définie dès que l’on se donne de plus un point a et son image a’ alignés  avec o

On peut attaquer dans Cabri en faisant une macro de h.

Puis on suit les conseils de Moreau selon lequel « le travail peut s’accommoder d’une injection de plaisir et de délire » : on cherche des images de formes remarquables, en faisant des macros pour étudier des formes plus complexes.

Magnifique outil que ce logiciel !

 

On peut ensuite vérifier que h laisse invariant le birapport de 4 points alignés.

On peut même vérifier que, m ayant une image m’, si on désigne par μ le point de rencontre de (om) avec d, le birapport (o, μ, m, m’) est constant, ce qui nous conduit à une 3ème définition de l’homologie que nous pouvons étudier directement avec Cabri.

a propos des définitions

Cette question des définitions multiples, nous y sommes souvent confronté dans notre métier. Et la façon de la résoudre peut avoir de lourdes conséquences.

Dans une intervention à un colloque de « GALION », il y a trente ans, Kuntzmann décortiquait la forme du texte de la définition d’un concept en math, dans un travail passionnant et très enrichissant.Å

Mais il y a eu aussi tout un travail sur la définition, comme « au-delà » du texte, en particulier les travaux de Vilner sur le tableau mental associé à la définition, travaux qui permettent de se poser la question décisive pour l’enseignant :

« Que reste-il de telle définition ? » dans la tête d’un élève suivant son âge.

Le noyau dur est le texte, mais toutes les expériences qui y sont accrochés font qu’il est illusoire de considérer que la définition du triangle isocèle est la même pour tous, ici et maintenant. Et il est capital de savoir cela pour comprendre comment un élève réel donné la rappelle quand il en a besoin.

Je me suis toujours souvenu du texte d’Italo Calvino :

« Le mot « isocèle », pour avoir été associé au pubis d’Irina, s’est chargé pour moi d’une sensualité telle que je ne peux le prononcer sans trembler ». (Si, par une nuit d’hiver, un voyageur….)

UN PEU D'INFINI

Le texte qui m’a toujours aidé pour comprendre cela et éviter, si possible, les erreurs d’appréciation, est un superbe passage de Proust  Å que je mets en annexe.

Sa lecture fréquente m’a maintenu dans la nécessaire humilité pédagogique et elle est mille fois plus efficace que tous les commentaires des programmes depuis 100 ans !

 

Mais revenons à l’homologie.

Explorons encore. Comme pour l’inversion, soulageons les désirs d’infini de l’homologie.

Prenons un triangle et transformons-le par l’homologie h (o, d, a, a’) avec la macro « image d’un triangle » créée précédemment. Envoyons o à l’infini, dans une direction arbitraire. Surprise : h est devenue une homothétie, comme on peut le vérifier sur d’autres formes !

Il avait bien raison, monsieur Bachelard quand il disait que « la connaissance du réel est une lumière qui projette toujours quelque part des ombres ».

 

Bien sûr, on va recommencer en envoyant cette fois d à l’infini perpendiculairement à elle-même.

Un régal : on obtient une affinité orthogonale.

On pourrait en rester là. Mais Paul Eluard veille : « Les ombres que tu crées n’ont pas droit à la nuit ! ».Nous chercherons une démonstration !!

LA JOIE ?

Ce plaisir obtenu me semble comparable à celui du petit enfant de 18 mois qui découvre en bougeant devant le miroir que tous ses morceaux (bras, jambes, tête,….) forme  un tout : il n’est plus morcelé. « IL JUBILE », dit Lacan.

 

A ce sujet, je me demande d’ailleurs si on ne peut pas faire cette remarque : Dans les programmes des années 70, on montrait tout de suite le « tout », sans laisser à l’enfant ou l’étudiant le temps de découvrir « les morceaux », et dans les programmes actuels, on leur cache le « tout » : dans les deux cas, on prive l’apprenant de cette jouissance si caractéristique de la progression en mathématique.

Tout cela paraît évident, mais les pratiques de l’institution vont en sens contraire.

Il y a 3 ans encore, je suis tombé sur un texte du commerce abominable qui disait doctement, pour des élèves de 3ème, qu’il ne

fallait jamais écrire « je » dans une démonstration !

Qui a jamais pu faire de math sans son « je » ? Je suis convaincu qu’en math le « je » est bien plus fondamental que le « jeu ». Sinon, avec les multiples définitions de la continuité que nous avons officiellement subies, nous nous serions « éclatés » au sens propre !

« Pas de mémoire sans émotion, pas d’émotion sans relations » nous disent maintenant les chercheurs : il n’y a pas que la mémoire.

Et la démonstration en math, c’est justement le moment de la « relation avec autrui ».

 

En tout cas, l’homothétie et l’affinité sont filles de l’homologie !!

Encore une preuve de l’hypergénésie des mathématiques.

JEU DES MACROS NUMERIQUES

Il faut affiner encore, en suivant le conseil que Desnos aurait pu donner au prof de math : « lorsqu’on a la prétention, comme moi, d’entraîner les gens dans l’imaginaire, il faut pouvoir les ramener dans le réel…ensuite, et sans dommage.

C’est une responsabilité. Parce que vous entraînez les gens dans l’imaginaire et il y en a qui vont  plus loin que vous ! Et vous rentrez tout seul ! »

 

Les macros numériques sur le birapport réel et ses diverses invariances nous permettent de deviner de nombreux résultats.

Alors apparaît naturellement la fonction homographique.

Je pars de la définition classique de l’homographie : deux droites d et d’ repérées d’origines o et o’, puis à un point m d’abscisse x sur d, on associe et  on associe le point m’ d’abscisse y sur d’ tels que : Axy +Bx+Cy+E = 0.

 Je baptise h une telle transformation de d vers d’.

Je me débarrasse du cas a=0 qui nous est familier, puis en divisant par A, j’obtiens une relation xy + bx +cy + e = 0 et je fais une macro me donnant m’  à partir de d, d’, o, o’, b, c, e.

 

Ensuite, je vais rêver en fabriquant à partir de h une transformation du plan vers lui-même défini ainsi :

Soit deux points o et o’ du plan et 3 nombres b, c, e.

A tout point m du plan, je fais correspondre le point m’ construit ainsi :

·        Je trace la droite (om) munie d’un repère : r. Je désigne par x l’abscisse de m.

·        Je trace par o’ la parallèle à (om) munie d’un repère compatible : r’

·        Je place sur cette parallèle le point m’ d’abscisse y tel que

             x y+bx+cy+e=0  

Je désigne par H cette transformation du plan (qui en fait est l’enfant des diverses h engendrées sur les droites (om) et leurs parallèles par o’).

FANTAISIES

Je m’amuse comme d’habitude à chercher les images de droites, segments, cercles, coniques, en prenant les points o et o’ un peu n’importe où, y compris sur ces objets.

H transforme des droites en courbes, des courbes en « presque droites » parfois.

Bizzare : ça me rappelle vaguement quelque chose .

Calvino me sussure : « Lecteur, il est temps que cette navigation agitée trouve enfin un point où aborder ! ».

Je reviens à h.

Je décide de transformer la relation en factorisant partiellement (souvenir d’un heureux temps où le calcul littéral avait une dimension esthétique), d’où :

(x+b)(y+a) +c = ab  ou encore  (x+b)(y+a) = k , k étant une autre constante.

Je décide d’appeler A le point de la première droite d’abscisse –b et B le point de la seconde droite d’abscisse –a.

La relation devient en mesure algébrique  Am.Bm’=k

Je vais ainsi définir une transformation φ qui envoie une droite d d’origine A vers une droite d’ d’origine B de façon que, un point m de (d) ait pour image un point m’ tel que Am.Bm’ soit égal à un nombre k donné (on peut aussi dire que le produit des abscisses est égal à k)

Je fais une macro pour φ donnant m’à partir de d, A, d’, B, k et m.

Ensuite, je définis comme précédemment la transformation plane Ф :

 

Soit deux points a et a’ du plan et un nombre k.

A tout point m du plan, je fais correspondre le point m’ construit ainsi :

·        Je trace la droite (am) munie d’un repère : notée r. Je désigne par x l’abscisse de m.

·        Je trace par a’ la parallèle à (am) munie d’un repère compatible : notée r’

·        Je place sur cette parallèle le point m’ d’abscisse y tel que

             xy = k

Je désigne par Ф cette transformation du plan (qui en fait est l’enfant des diverses φ engendrées sur les droites (om) et leurs parallèles par o’).

Je fais une macro de Ф que je nomme faute de mieux « homographie parallèle ».

(Jules Renard me rassure : « avec aplomb, les hommes donnent des noms aux étoiles »)

 

Puis je cherche l’image d’une droite ne passant ni par a, ni par a’ et j’obtiens un cercle passant par a’.

De la même façon, l’image d’un cercle passant par a’ est une droite, celle d’un cercle quelconque est un cercle, ect….

Je peux trouver les images des coniques, ect….

En bougeant a’ on s’aperçoit qu’il n’a aucune influence sur la forme du lieu, ni sa grandeur, par contre si on bouge le point a, le lieu change de forme et de grandeur.

 

Si, avec la commande « redéfinir un objet, j’identifie a et a’, je retombe exactement sur l’inversion.

Nous sommes donc en présence en quelque sorte de la mère de l’inversion !

La sexualité des mathématiques me laissera toujours pantois !

UNE AUTRE FACON DE LIRE

On peut délirer encore en définissant une transformation Ф’ que l’on noterait « homographie orthogonale » en faisant jouer le rôle de la parallèle à la perpendiculaire à (om) passant par a’.

 Que de jolies démonstrations en perspective !!

 

Cabri permet ainsi de rebondir en mathématique dans les moments « où on a des nausées de pensées abstraites » selon le mot de Fernando Pessoa. Et nous savons tous qu’ils sont nombreux.

Il permet de lutter soi-même contre le « bof » mathicide du blasé qu’il y a en nous et en tout élève.

Il permet de fabriquer , soi-même, à peu de frais, des machines à rêver, ce qui est capital en math si l’on pense, avec Bachelard, « qu’on ne peut étudier que ce que l’on a d’abord rêvé ».

Il permet à l’apprenant (le vilain mot !) de se construire un point de vue, ce qui lui permettra de se confronter activement au discours de sa maîtresse (pourquoi toujours le maître ?) et d’inhiber si nécessaire les lois localement vraies mais globalement fausses qu’il s’est construites. Ce qui lui évitera plus tard d’avoir à dire comme Woody Allen : « Non, je n’ai rien étudié à l’école : c’est eux qui m’ont étudié.»

Il permet aussi de lutter contre la compréhension « à peu près » (qui est extrêmement utile, mais insuffisante).Je me souviens de la lecture il y 10 ans d’un article de Stewart où il se proposait de déterminer, à partir d’une photo de Paris et d’une carte de Paris, le lieu d’où elle avait été prise.

Il partait de considérations sur l’invariance du birapport par projection centrale et du fait que le lieu des points m tel que le birapport du faisceau m(a,b,c,d,e) soit constant (les points a,b,c,d,e étant donnés) est une conique. Ensuite, un calcul de « taupin » donnait les équations de deux ellipses, d’où la détermination sur la carte du point de prise de vue.

J’étais enthousiaste, mais comme la majorité des lecteurs, je n’ai jamais fait les calculs, faisant confiance.

Eh bien, avec Cabri, tout change : on reprend l’article, on prépare quelques macros pour saisir la théorie et la vérifier (en attendant mieux un jour) ; ensuite pour opérer, on importe dans Cabri la photo, puis la carte, les macros donnent immédiatement les birapports sur la photo, d’autres macros les lieux sur la carte, et le point de rencontre des lieux (en annexe, nous avons détaillé le travail).

Pas besoin de connaissances mathématiques à priori : en tout cas, on « lit » réellement l’article. C’est en ce sens qu’on pourrait parler de la responsabilité culturelle de l’enseignant de mathématique dans l’utilisation des logiciels de math pour une lecture aisée des textes de vulgarisation scientifique.

Penser à côté

Un autre de tes articles avait fait pas mal de petits. C’est celui qui avait paru dans les années 70 dans la brochure « Activités mathématiques en 4ème et 3ème ».

C’était une audacieuse utilisation de l’extension de la notion de distance d’un point m à une autre figure F (c’est le minimum des distances de m aux divers points de F) .Tu étudiais les ensembles de points à la distance r d’un segment, ou ceux équidistants d’un point a et d’une droite ou de deux paires de points.

J’ai pu écrire un texte non publié, intitulé « Penser à côté », Å en pensant à B.Riemann, à partir de ces idées et d’expériences sur Cabri en utilisant des macros définissant ce que j’appelais des « kerkles » de rayon donné ayant pour centre une paire de points, ou un segment ou une droite ou un cercle, ect…..

De même en définissant des médi-hatrices de deux segments, ou d’un segment et d’un point, ou d’une droite et d’un segment comme ensemble de points équidistants de deux objets.

Jules Renard m’autorisait à créer ces mots, « pourvu que le mot ne fasse pas un croc-en-jambe à l’idée ».

Les macros permettent « d’intuiter », mais il faut ensuite raisonner car les découpages du plan nécessaires ne sont pas évidents, Cabri n’approximant pas avec assez de précision suivant la disposition des éléments de départ, et même est incapable de donner le lieu si celui-ci est une région du plan de dimension plus grande que 1 : splendide exemple de la nécessité de raisonner exigée par Cabri lui-même ! Cabri est un outil d’apprentissage de la rigueur. Les frileux rigoristes, comme les frigoristes, peuvent aller se rhabiller.

J’ai utilisé souvent ce travail avec mes élèves de collège ou de lycée, et de façon parfois efficace à court ou moyen terme, nnobstant les programmmes officiels. Je n’ai jamais oublié la remarque de

Dostoïevski : « Ce qui est important, ce n’est pas le but, mais le mouvement vers le but ».

Qui doit faire le menu

Parfois, pour mieux nous rassurer sur nos initiatives pédagogiques quotidiennes, il peut être bon de regarder, de côté, notre métier. L’auteur du magnifique « Graine de crapule » des années 50, Deligny toujours, le comparait au métier de l’ébéniste. Il disait : « Il fait des copeaux. Les copeaux, c’est ce qui reste et c’est ce qui était peut-être le meilleur ! ».

L’utilisation de Cabri permet souvent aux élèves, comme tu le signales, d’anticiper des résultats. On peut alors discuter de LEURS RESULTATS, même s’ils ne sont pas au programme.

Il faut l’accepter pour ne pas se mettre dans la situation ridicule du restaurateur de Michaux :

« PLUME déjeunait au restaurant, quand le maître d’hôtel s’approcha, le regarda sévèrement, et lui dit d’une voix basse et mystérieuse : « ce que vous avez là, dans votre assiette, ne figure pas sur la carte ».

 

Il est bon de promener tôt l’élève dans quelques lieux de cet océan que constituent les résultats mathématiques. Les programmes et leurs commentaires sont comme des colliers où sont enfilés à une époque donnée certains concepts et méthodes, ce qui est nécessaire. Mais pensons à la mise en garde du mathématicien et poète Al-Kayyam :

« Ces perceurs maladroits des perles du savoir

   ont dit de l’univers tout ce qu’ils ont cru voir

   Ils n’ont fait, ignorants des mystères du monde,

   Qu’agiter leur menton avant le sommeil noir. »

(Il me vient l’exemple terrible des programmes de primaire qui énoncent sévèrement depuis 30 ans qu’il faut apprendre la notion de perpendiculaire à partir de l’observation de solides usuels. Quelle aberration consensuelle !

C’est probablement vrai pour beaucoup de notions géométriques, mais surtout pas celle-là. Les angles droits que je perçois en observant une boîte ou un angle d’une pièce n’ont pratiquement jamais l’air droit (et il s’en faut souvent de beaucoup) pour d’évidentes raisons de perspective, sauf si je regarde dans l’axe de la face ou par terre près du mur « bien en face ». Même l’angle de l’équerre posée sur la table ne peut pas me donner la perception de l’angle droit.

Par contre, si je manipule l’équerre pour vérifier qu’un angle est droit sur mon cahier ou pour en construire un, je suis amené à avoir par rapport à l’équerre une position qui fait que je perçois effectivement un angle droit.

Seul le tracé sur MA feuille de papier posée devant moi (vue de dessus) ou MON livre de même, ou encore certaines lignes du quadrillage, me donneront une perception correcte, puis une intuition de la « perpendicularité ».

Les élèves de collège qui tracent très mal les hauteurs (et ils sont nombreux) témoigne de ce conflit mal géré entre la naturelle vision en perspective et le « discours » sur les perpendiculaires.

Et ces derniers ont, de plus à construire des angle droits sur des représentions de solides, ce qui n’arrange rien si le départ a été faussé.

(Il y aussi d’autres raisons, analysées elles par René Thom, Å dans son article sur les travaux de Liliane Lurçat concernant les dessins d’enfants)

Les conséquences de ces démarrages faussés par les commentaires de programme seraient appréciées à leur juste valeur si des travaux sur « l’écologie des programmes » étaient publiés.

Par exemple : Quelles notions un élève de fin de 4ème ne sachant pas « voir » un angle droit a-il ratées ? Le nombre de ces

notions donne le vertige. Cela permettrait d’interroger différemment et efficacement l’enseignement « en spirale ».

 

Cette promenade peut être efficace et motivante pour aller plus loin si on n’oublie pas l’apostrophe de Nietzche :

« Il est atroce de mourir de soif au milieu de la mer. Faut-il que vous saliez vos vérités au point qu’elles ne soient plus même bonnes à étancher la soif ? »

 

 

Je pense qu’il faut continuer comme certains d’entre vous l’ont fait, et le font encore, à donner envie de concevoir des activités très ouvertes, en sachant que l’apprentissage rigoureux d’une notion mathématique, prévue dans les programmes au niveau n, exige d’avoir manipulé cette notion de façon sauvage et partiellement intuitive, aux niveaux n-1 ou n-2 ou n-p. Sinon, l’appropriation restera « formelle » : le plus bas niveau des modes d’appropriation selon ta classification des années 70 Å (formel, structurel, relationnel, amplifiant, créateur)

Des logiciels comme Cabri ou Geospace  permettent ce travail aisément, pourvu qu’on permette aux élèves ou aux étudiants de les maîtriser très tôt, ce qui est très facile si les conditions d’enseignement permettent de les manipuler au moins une heure par semaine : et c’est du temps gagné !

On peut ainsi lutter contre la conception « stimulus-réponse » de l’enseignement des maths qui a fait et fait encore tant de mal.

Bien sûr, il y a d’autres obstacles qui se font jour : je pense à certaines conceptions liées aux « pédagogies du projet ». Il est curieux que, 50 ans après les articles de Gregory Bateson sur les effets du « but conscients », on en soit encore à manipuler sans d’énormes précautions des méthodes qui peuvent massacrer intellectuellement des milliers d’enfants.

On peut  d’ailleurs se demander comment certaines perversions de l’enseignement des mathématiques ont été ou sont possibles et acceptées, par ceux qui sont enseignés. Mais c’est l’image des mathématiques à une période donnée qui le permet. On peut illustrer ce phénomène avec cette belle parabole d’Henri Michaux :

« Si, le jour de vos noces, vous mettez votre femme à tremper la nuit dans un puits, elle est abasourdie. Elle a beau avoir toujours eu une vague inquiétude… « Tiens, tiens, se dit-elle, c’est donc ça le mariage. C’est pourquoi on en tenait la pratique si secrète. Je me suis laissée prendre en cette affaire. ».

Mais étant vexée, elle ne dit rien. C’est pourquoi vous pourrez l’y plonger longuement et maintes fois, sans causer aucun scandale dans le voisinage. Si elle n’a pas compris la première fois, elle a peu de chances de comprendre ultérieurement, et vous avez beaucoup de chances de pouvoir continuer sans incident (la bronchite exceptée), si toutefois cela vous intéresse. »

Une des choses les plus difficiles dans l’enseignement des mathématiques (et c’est aussi le sens que je retire de beaucoup de tes articles) que ce soit avec les  élèves ou les enseignants, est de faire comprendre qu’il faut toujours veiller à avoir plus de questions que de réponses, sinon on s’arrête, et par conséquent on recule.

Le temps des questions n’est jamais du temps perdu, n’en déplaise aux fanatiques de la rentabilité, résonateurs du MEDEF à la rue de Grenelle.

Il faut donner à tous ceux qui visitent les mathématiques le beau conseil de Rainer Maria Rilke à un jeune poète : 

« Je voudrais, cher monsieur, vous prier de mon mieux de vous montrer patient devant tout ce que votre cœur n’a pas résolu, de chercher à aimer vos questions elles-mêmes comme des pièces closes, comme des livres écrits dans une langue très étrangère. N’allez pas maintenant à la recherche de réponses qui ne peuvent pas vous être apportées, car vous ne sauriez les vivre. Or il s’agit de vivre tout. Pour l’instant, vivez vos questions. Peut-être qu’un jour, un jour lointain, votre vie vous fera insensiblement, à votre insu, entrer dans la réponse ».