Les Transgressions en maths

 

Alain MAGEN                                                             IREM AG (Guadeloupe)

 

 

 

 

 

 

 

ELOGE DE LA DESOBEISSANCE

 

Faut-il déplacer le tabouret, ou le piano ?

 

Le problème des règles

Ceci est simplement le point de vue d’un enseignant réel sur l’enseignement des mathématiques à un élève réel .

 

Très tôt dans ma carrière, j’ai été amené à affronter, y compris contre moi-même, le point de vue courant selon lequel le développement d’un élève en mathématiques dépend de son aptitude à utiliser des règles apprises en utilisant les lois de la déduction, le travail de recherche préalable, individuel ou collectif, guidé ou non, étant fait.

Le non-dit étant par conséquent que l’aptitude à obéir était un facteur positif pour l’épanouissement « mathématique » de l’individu.

La docilité intellectuelle de l’élève devenait un objectif parfois honteux, mais réel, du cours de math conçu comme un dressage nécessaire, mais noble dans la perspective lointaine que se fixe tout de même explicitement l’institution : la  formation de la femme et de l’homme de demain.

Entendons : « Plus tard, toi élève, tu savoureras ta liberté si tu le désires, mais en attendant, je dois t’apprendre à obéir à des règles ».

(La pratique des enseignants, vivant avec les élèves, les amène, volontairement ou non, à lutter, un peu, contre cette tendance. L’institution le sait bien, qui tend à fabriquer des enseignants qui seront eux aussi des modèles d’obéissance pour leurs élèves : le libellé des programmes, le corset que sont souvent les commentaires, le rôle de « chausse-pied » que jouent parfois les recommandations et les pratiques des inspections générales ou régionales, sont des éléments du moule. Cependant, je ne parlerai pas ici de cet aspect.

Mais en lisant l’admirable thèse de Jean BICHARA sur la popularisation des mathématiques, et en particulier ce qu’il en reste dans le grand public, je me demande par exemple ce qu’il restera culturellement de l’incroyable énoncé de THALES que l’on demande actuellement d’apprendre aux élèves deTroisième

Quand on pense qu’il  s’agit quand même d’ un résultat capital pour l’humanité : grâce à lui, l’homme-mesurant  prolonge sa main !!)

obéir ou désobéir ?

 

Je me propose donc de vérifier, sans trop de détails, combien la qualité la plus importante pour faire des mathématiques, dans la pratique quotidienne, et avec les programmes même tels qu’ils sont, est précisément l’aptitude à désobéir aux règles, à les transgresser. De toutes façons, pour obéir à des règles, il faut les comprendre et pour les comprendre et se les approprier, il faut au moins fantasmer leur transgression.

Je n’en prendrai que quelques unes. Chacun avec sa pratique personnelle et ses souvenirs, pourra développer. Il ne faudra pas oublier les règles non explicitées que l’élève tire de sa pratique scolaire, en particulier l’observation des méthodes implicites de l’enseignant (évaluation par exemple, mais pas seulement).

Toute règle en math a pour destin d’être transgressée par l’élève et plus tard par l’adulte. Il faudra changer son angle d’attaque du savoir. Comme le pianiste assis sur le tabouret devant son piano.

Plutôt que de bouger le savoir-piano tout entier quand le besoin s’en fera sentir, il vaut bien mieux apprendre, très tôt, à chaque instant, à bouger le tabouret, à changer sa position par rapport au savoir, à inventer, de façon réglée, des transgressions.

La méthode est simple : ne pas cacher les perpétuelles transgressions que la pratique mathématique, celle du chercheur comme celle de l’élève, exige depuis la nuit des temps, « dépi nanni-nannan » comme on dit en créole.

 

musique de transgression

 

La musique guadeloupéenne traditionnelle , le gwo-ka ( traditionnelle mais toujours très vivante au quotidien)

est une école de la transgression, pendant la soirée populaire lewoz ( pas en concert)

Sur le fond de chant traditionnel du choeur,le chanteur improvise

sur le fond de tambours graves( boulas), et pour un rythme donné, le "marqueur"ou la marqueuse, tambour soliste improvise

sur le même fond , le danseur ou la danseuse s'accorde avec le marqueur, puis improvise, obligeant le marqueur à le suivre, mais celui-ci peut l'enfermer dans ses propres grilles, ect...

 

regressions ? normales

 

C’est, à mon avis, une explication des nombreuses régressions que tout enseignant réel constate dans l’apprentissage du calcul, ou même de tout autre apprentissage.

Une anecdote de Pierre Desproges résume ces milliers d’expériences de chacun de nous.

 - Et maintenant, comment s’appellent les mesures des liquides ?

 - Le litre.

-         Quelles sont les mesures inférieures au litre ? 

-         Le millilitre, le centilitre, le décilitre.

-         Et au dessus du litre ?

-         Le bouchon, monsieur.

 

C’est la nécessité d’un retour régulier sur le statut des diverses règles, dans la tête de l’apprenant, qui doit guider notre aide à l’appropriation. Là réside le respect concret de cet humain qui construit sa science, la science. 

Pour citer Paul Valéry  Une fois que l’on tient solidement le vrai, et que l’on ne craint plus de se perdre en de vaines lubies, la sagesse devrait revenir sur ses pas, et recueillir, comme choses humaines, tout ce qui fut créé, forgé, pensé et cru, tous ces prodigieux produits de l’esprit nôtre, ces histoires magiques et monstrueuses qui naissent si spontanément de nous »

Ce qui est une transgression pour l’éIève ne l’est pas pour l’enseignant en général. Et ce qui est une transgression pour un élève de niveau n ne l’est pas forcément pour un élève de niveau (n+1), ni pour lui-même un an plus tard. Cela s’explique.

un exemple : le théorème (k,k², k^3)

 

Ce qui est une transgression pour l’éIève ne l’est pas pour l’enseignant en général. Et ce qui est une transgression pour un élève de niveau n ne l’est pas forcément pour un élève de niveau (n+1), ni pour lui-même un an plus tard. Cela s’explique.

L’attitude scientifique consiste à voir des choses habituelles de façon extraordinaire (ARCHIMEDE, GALILEE, NEWTON ). Les questions conduisent alors à un certain nombre de réponses. Si on peut coordonner ces réponses en un tout cohérent, on obtient une mini- théorie.

Ensuite, on regarde comment cette théorie explique les choses extraordinaires.

Alors on voit celles-ci, à nouveau de façon ordinaire, mais sous un autre angle. Et ces deux moments se succèdent à nouveau.

 

Exemple  Je double le côté d’un carré en fil de fer. Son périmètre double, son prix double, son poids aussi : résultat ordinaire.

 

Je double maintenant le côté d’un carré en contreplaqué. Son périmètre double, son aire quadruple, son prix aussi.

 

 Résultat extraordinaire pour moi apprenant,qui m’attendait à ce que  “ça double”

Je travaille le côté mathématique de la chose et j’obtiens le théorème des agrandissements.

Plus de mystère, tout s’explique.

Retour à l’ordinaire.

Pour l’élève concret, singulier, le théorème des aires est une transgression des lois implicites de proportionnalité héritées de ses croyances ou de ses expériences antérieures : c’est une contre-règle. Pour le maître, c’est une règle : il n’y a aucune transgression pour lui. Notons tout de suite que ces questions ne se posent pas pour l’élève abstrait, celui des programmes, ni pour l’élève particulier (qui n’est qu’un avatar de l’élève général), celui des commentaires divers des programmes, ni pour celui de la pédagogie exclusive « de la classe ».

L’élève a extrapolé : c’est la source de sa surprise et de son erreur radicale.

oui au conflit ou non ?

 

Cette extrapolation est à la fois condition du progrès si elle est bien gérée et obstacle au progrès si elle est mal gérée. Il n’y aura pas de progrès réel si il n’y a pas appropriation, c’est à dire si le conflit entre la règle et la contre-règle n’a pas eu lieu dans la tête de l’élève, si on lui a évité le conflit en juxtaposant seulement les deux lois ou en lui signalant ce combat « à postériori » .

Deux conceptions opposées de la pédagogîe découlent de la question

“ cette extrapolation est-elle un bien ? ”  :

_  soit  on répond “non”, et alors : “je vais lui apprendre à ne pas chercher de réponse tant que l’institution (et son représentant, moi ) ne lui a pas donné les règles nécessaires » C’est la voie choisie en général par les programmes et leurs commentaires . L’exemple le plus frappant est la définition de 1a continuité (et celle de la limite en lycée), ou la conception de l’enseignement des équations en collège, excluant dès le début leur interprétation en terme d’opérateurs.

_ soit on répond « oui » (et je réponds oui  ) et je pars par exemple des intuitions “physiques” de la continuité, et je construis  la définition choisie par “exfoliations” successives, pour reprendre une expression de René Thom.

 

les règles en algèbre

 

Par exemple je considère comme naturel qu’un élève qui a vu que (ab)² = a²b²

  me dise que (a+b)² = a²+b²

 

et je vais faire surgir les contradictions, gérer la différence entre les deux situations

1)     pour le faire accéder à une nouvelle règle, sur le carré d’une somme, lui faire franchir une frontière réelle.

2)     pour le faire accéder à une compréhension nouvelle de l’ancienne règle,

     lui faire franchir une marche d’escalier..

3)     lui faire sentir que la règle du carré d’une somme est une contre-règle : il y a une double transgression.(penser aux ellipses du signe x dans la première espression)

Je dois même dire que j’ai plus confiance dans le futur mathématique d’un élève qui extrapole à tort, la première fois, en s’appuyant sur des règles ou des croyances antérieures, que dans celui d’un élève qui ne tente rien. La maîtrise de la contre-règle et donc de la sur-règle (qui englobe les deux ) sera souvent plus solide pour le premier.

 

De plus, l’acceptation trop passive de la nouvelle règle (le fait qu’elle n’ait pas été vécue un certain temps comme une transgression) va favoriser ce que l’on pourrait appeler “le retour du refoulé”, c’est à dire la réapparition d’erreurs dans des situations non canoniques. Par exemple, tel élève, qui semblait avoir accepté la règle du carré d’une somme, se trompera de façon persistante, après, dans des situations telles que :

(a+b+3)² ou (a+3/5)²

 

en passant par brecht et bolzano

 

Tout enseignant réel connait ces mystérieuses et exaspérantes régressions !

 

C’est là tout le problème de la gestion du “recul” dans la vie quotidienne. Pensons à Bertold Brecht, parlant de la distanciation au théatre :

« La distanciation est un acte triple : comprendre, ne pas comprendre, comprendre. Observer l’accumulation des faits incompréhensibles jusqu’à ce que naisse la compréhension, une chose étant comprise par l’intermédiaire d’une autre. »

 

Ainsi,si on considère la suite “comprendre, ne pas comprendre” ou (C, NC )

ou (C,NC,C, NC, C, NC, C,.....) .l’enseignant peut ponctuer sa relation par segments binaires :  [NC, C ], [ NC, C ], [NC, C ] ......

ou par segments ternaires : [ C,NC,C ],[ C, NC,C ],.....

ou même par [C,NC] , [C,NC] ….

etc.....

Chaque choix de ponctuation traduit un type de pédagogie, sinon d’idéologie.

 

On peut choisir en tenant compte que C est plutôt rassurant et NC plutôt motivant et jouer sa partition en fonction de cela .

Dans le même ordre d’idée, l’histoire mathématique d’un individu concret et son rapport au savoir peut être ponctuée de règle en règle ou de régle en contre- règle, s’il a encore conscience des transgressions .

Evidemment,le maître vole de règle en règle, comme l’aigle de clocher en clocher, mais ce n’est pas le cas de l’élève . Si je pose : “ règle = r” et  “ contre-règle = cr”, on a la suite : r, cr, r,cr, r,cr, r, cr ..........et on se trouve dans la situation de Bolzano qui devant la suite infinie: 1- 1+ 1-1+ 1-1+1+1+... trouvait comme résultat 1 ou -1 ou 0,5 suivant la manière dont i1 faisait les regroupements .

Le sens qui jaillit de la suite des règles et contre-règles n’est pas le même suivant la ponctuation. On pourrait penser au chien de PavIov :

dans la suite : sonnerie, salivation, nourriture , sonnerie, salivation,  nourriture

L’expérimentateur pense [sonnerie, salivation],

tandis que le chien pense [sonnerie, nourriture ] . Est-ce que là n’est pas la base d’un terrible malentendu pédagogique ?

lueur d'un grand monsieur de la pédagogie

 

Il me semble ainsi qu’une part très importante de l’activité mathématique consiste à gérer des transgressions, surtout pour un apprenant.

 

Mieux, c’est dans ces ruptures que va surgir le sens.

 

Pour citer le poète et pédagogue Henri Bassis :

 

Le sens d’un savoir, c’est de casser quelque chose que je croyais savoir 

Peut-être même que l’une des principales causes des difficultés de beaucoup de gens en

mathématique  ,“c’est qu’on veut leur faire faire l’impasse sur les crises, en faire faire

l’économie aux élèves, leur donner des savoirs

d’après crise, c’est à dire sans signification réelle

 

topographie des transgressions

 

Où repérer des transgressions, et comment les mettre en évidence ?

Une transgression suppose

 - un domaine,

 - des règles codifiées ou des pratiques explicites ,

 - un sujet qui transgresse

 - et une activité qui est le lieu de la transgression .

Le sujet a son histoire personnelle , il manipule plusieurs codes, agit suivant des habitudes ou contraintes explicitées ( les autres ne relèvent pas de la transgression ) dans ses rapports avec le réel, la classe, l’enseignant , la société . Beaucoup de ces rapports ont été stockés, à partir d’expériences réelles ou imaginées, sous forme de règles, apprises ou non, construites même inconsciemment , mais explicitées . Les règles peuvent concerner les mathématiques ou les rapports de celles-ci avec le réel ou avec d’autres domaines .

Précisons donc les 4 lieux .

1) A l’intérieur des maths, où fonctionnent au moins trois codes :

- la langue naturelle (langage courant et langage spécialisé ) : LN

- le langage symbolique : LS

- le code graphique : CG ( code iconique et code plastique )

                                  Iconique : le dessin est là pour autre chose que 1ui-même .

                                 Plastique : le dessin est là pour 1ui-même .

Attention : il faut évidemment dédoubler le langage naturel en écrit et oral, distinction capitale , mais gravement négligée, comme le montre les travaux de Jean Bichara , chercheur bien connu de notre IREM.

 

2) Le rapport des maths avec l’expérience du sujet. 

 

3) Le rapport des maths avec d’autres disciplines.

 

4) Les rapports du sujet avec le maître ou avec l’institution

 

les lieux du discours mathématique

 

Le discours mathématique se présente donc comme un trajet entre les trois niveaux (LN, LS, CG)

Les trajets du sujet dans chaque niveau suivent les lois correspondantes ou alors 1es transgressent.

 

 

 

 


 

 

 

La pensée mathématique, elle, grossièrement bien sûr, est un trajet entre les 6 niveaux précédents

 

 

 [ 3 pour le discours mathématique et le 2) ,le 3) et le  4)  ]

 

De plus, pour chacun des trois codes, il y a 4 plans :

Le plan morphologique : la forme des signifiants.

Le plan syntaxique (grammatical) :l’organisation des signifiants.

Le plan sémantique (le sens : signifié associé)

Le plan pragmatique ou logique (la signification, plus précisément le rapport au réel, au contexte réel)

 

Les transgressions vont se faire sur l’un de ces 4 plans, pour l’un de ces 6 codes (même si les syntaxes des 3 derniers sont « lâches ».)

 

exemples

 

Donnons quelques exemples quotidiens de règles.

Pour le langage symbolique :

- plan morphologique : écriture d’un nombre négatif -3

d’un carré  , de l’image de x par f notée f(x)

-plan syntaxique : rôle des parenthèses : 17-(5+2), c’est 10.

 

-sémantique : , c’est la somme de deux carrés .

 

 

et l'espace ?

 

violations

 

Donnons maintenant quelques exemples de transgressions, parmi les centaines que voit un collégien ou un lycéen .

 

*   3 c’est +3 . Que de massacres sont commis en son nom ! Il y aurait un livre à faire sur elle seule.

**   5 c’est 5/1 .

***   3 c’est 3^1 .

Ce sont des transgressions sur le plan morphologique ; elles sont du type « suppression » (On supprime une partie du signe, dans sa forme, c’est à dire dans le signifiant ou le « représentamen » comme dirait Ch.Sanders Peirce ) .

 

*   4 x (2+3), c’est 20. Les parenthèses indiquent une violation de la règle de lecture, du « pas à pas de gauche à droite ».

 

**   8+2x5, c’est 18. Il y a une violation de la règle de présence des parenthèses ou mieux ellipse des parenthèses.(nous appelons cela la règle de priorité)

 

***   -3-5 c’est -8, car il s’agit de (-3) +(-5) : ellipse des parenthèses, mais surtout du signe + .

 

**** 3a^2, c’est 3x(a^2)ellipse des parenthèses et aussi du signe de la multiplication . (Ce sont des règles de priorité, mais elles se présentent avant tout comme des transgressions des règles de syntaxe mathématique antérieures.

 

*****   En quatrième, 3^0 , c’est 1.Voilà une violation du sens de la « puissance »  pourtant si chèrement acquis par l’élève !

******   De même 10^-1 c’est 0,1 . Il s’agit là de transgressions « sémantiques».

 

Il y a aussi des transgressions « pragmatiques», e’est à dire du rapport au réel. Un exemple fameux est le  « g°f », symbolisant la composition des applications : l’ordre de composition est l’inverse de celui de la lecture.

 

l'homme est-il analogique ou digital

 

De sérieuses questions se posent si on veut aider l’élève à gérer les transgressions.

Par exemple, la règle  

peut pour certains élèves se présenter comme une trangression de l’héritage de la règle

donc comme une transgression syntaxique. Mais pour beaucoup, il s’agit plutôt d’une violation de la règle des morphismes

f(a*b) = f(a) * f(b) , régle héritée de travaux sur les doubles ou d’expériences concrètes sur les aires disjointes, ou sur les masses, ou les prix .

On voit que les solutions pédagogiques seront totalement différentes.

On peut rencontrer des centaines d’exemples de ce type, depuis les logarithmes jusqu’aux probabilités, en passant par l’adhérence des ensembles ou la dérivée d’un quotient.

Il y a donc des règles pratiques mal gérées à l’origine de ces difficultés, et elles sont réactivées par le démon de l’analogie, qui est pourtant le compagnon indispensable de toute personne qui veut réfléchir par elle même, surtout en maths : il n’est pas de science sans analogie .

En fait, le moteur de cette tendance au fonctionnement analogique est superbement décrite  par le romancier portugais Fernando Pessoa : 

Nous attribuons généralement à l’inconnu, la couleur de nos conceptions sur le connu.

 

gare au goût immodéré de l'explicite !

 

Beaucoup de ces transgressions relèvent de la rhétorique des codes que j’ai étudié par ailleurs ( cf : “Le projecteur rhétorique” ) .

En particulier les ellipses,extrêmement fécondes, qui sont à la fois des freins, dans un premier temps, puis des tremplins pour la pensée .

Enoncer, et mémoriser le théorème classique sous sa forme lapidaire :

la projection parallèle conserve les rapports de segments » est un gain pour une pensée critique et féconde. Certes il manque des mots pour préciser,mais Thalès nous est plus proche ainsi .

N’oublions jamais le conseil de Paul Valéry :

Le manque d’un seul mot fait mieux vivre une phrase .Elle s’ouvre plus vaste et propose à l’esprit d’être plus esprit pour combler la lacune

 

 

Dans la violation des “règles d’expérience », se cachent souvent de véritables bonds de l’intelligence, ce que l’on pourrait appeler les “Très Grandes Transgressions” (TGT)

 

Les Très Grandes Transgressions

 

Par exemple, en Quatrième, le saut fondamental est le passage de l’ « arithmétique » à l’algèbre dans la résolution de problème. Comment se caractérise ce passage ? On passe de la démarche habitue11e :

« Partir du connu pour arriver à connaître l’inconnu »

à celle-ci :

 « Partir de l’inconnu pour arriver à connaître l’inconnu »

Exemple : trouver un nombre dont le double dépasse 25 de 7.

 

Voie arithmétique :

je pars de 25 je lui ajoute 7 je divise le résultat par 2

 

Voie algébrique : je pars de l’inconnue, que j’appelle x je calcule son double qui est donc 2x je lui enlève 7 je trouve 25 j’écris 2x -7 = 25 ect.......

 

On voit bien que la différence est là.

Dans la démarche algébrique, il y a un moment nouveau : je vis pendant quelque temps, avec une inconnue. Place au fantasme !

Peut être que cette différence entre les deux approches n’est pas assez soulignée, ni assez utilisée.

N’y a-t-il pas là une fréquente source de blocage par rapport aux maths ?

(évidemment  la notion de blocage peut faire sourire ceux qui s’occupent de l’élève général ou ceux qui raisonnent sur l’élève particulier, mais elle est capitale pour ceux qui ont en charge l’élève singulier, concret, réel ).

 

Comment cerner ce rapport à l’inconnu ?  ce raisonnement sur l’absent ?

Des travaux de psychanalyse sur la « relation d’inconnu » pourrait peut être nous aider. Nous serons obligé d’y arriver un jour !

Nous devrions peut-être nous montrer plus curieux ! Ainsi décider ou accepter de tenir des raisonnements sur ce que je ne connais pas est une forte transgression des règles habituelles de comportement en mathématique pour un élève de 4ème.

 

Et la déduction ?

Un autre exemple de « TGT» est fourni par la place de la déduction. Dès le début du collège, les raisonnements mathématiques que l’on permet d’expliciter sont déductifs, puisque la perspective est la démonstration et sa rédaction .

 

Or la rédaction de la démonstration est la neige sur l’iceberg, la démonstration est la partie émergée. Les  8/9 du travail (c’est à dire trouver dans le texte ou sur la figure des indices qui permettent de découvrir la propriété ou sa démonstration) relèvent non seulement de déduction, mais d’activités de détective, donc d’abduction, ou d’activités de chercheur, donc aussi d’induction. .Ces raisonnements ont été étudiés par Peirce entre autres.

 

Ces deux types de raisonnement non déductif (bien qu’utilisant souvent des déductions partielles) sont les outils de l’activité de conjecture, de raisonnement plausible au sens de Polya.

Il faut bien comprendre que pour l’élève, attaquer le problème avec des outils de raisonnement qui ne sont pas évalués est une grande transgression. D’ailleurs, pour faire face à ce problème, sans d’ailleurs le résoudre, l’institution a tendance à donner des problèmes où la partie immergée est la plus réduite possible . Ce qui donne des problèmes souvent peu intéressants pour la majorité des élèves : le simple est rarement excitant, sauf pour les bons élèves qui jouent le jeu, en prenant d’ailleurs surtout en compte le méta-problème et non le problème lui-même.

L'ange gardien : le degré zéro

 

Pour de nombreux types de transgressions, un puissant outi1 d’analyse nous est fourni par la rhétorique de la langue et par son extension à la rhétorique générale des codes.

De façon précise, nous appellerons, avec le groupe Mû, “transformation rhétorique” la modification réglée des éléments d’un énoncé “telle qu’au degré perçu d’un élément manifesté dans l’énoncé, le récepteur doive dialectiquement superposer un degré conçu »

 

 

 

Exemple :devant la baie vitrée, il boit un verre . Je perçois “verre», mais je conçois “liquide”

Autre exemple:

(a+b)V = aV+bV

Je perçois le même signe d’addition, mais je conçois deux additions : une numérique, l’autre vectorielle .

On peut affiner davantage pour rendre opérationnelle ces conceptions .

Pour cela, nous rappellerons une définition valable pour les rhétoriques de tous les codes, qu’ils soient rigides ou non .

Etant donné un énoncé (E), verbal (écrit ou oral ), symbolique, graphique, gestuel ..., on appelle DEGRE ZERO, en un point M de l’énoncé, le terme X’ attendu en M à la place du terme présent X .

 

Exemples :

  “2x+3 est croissante”

 

“la fonction f définie par f(x) = 2x+3” est le degré zéro

 

 

-  , présent pour   ,attendu

-         Le trapèze ABCD a deux côtés parallèles.


Attendu : « les supports de deux côtés »

 

 

Le signe conçu apparait quand on a senti un écart entre X et le reste de l’énoncé (E).

En définitive : le producteur de l’énoncé a mis X à la place où il aurait dû mettre X’: il crée l’écart.

le récepteur a senti l’écart entre X et (E) .

le récepteur réduit l’écart en mettant X’ a la place de X.

Le degré zéro général

 

I)                  Le degré zéro généra1 Zg  On attend X’ en vertu d’une loi du code ou du système entier.

  Exemple : l’élève de 5ème (ou de 6ème) vient de comprendre et  « d’assimiler »( ?) le rôle des parenthèses .

Il se trouve confronté à

a = 8+2x5

il attend des parenthèses qui ont, il le sait, priorité sur l’ordre de lecture .Même si on vient de lui donner la règle de priorîté de x sur +, celle-ci n’est pas encore une règle : c’est une contre-règle et elle le restera encore plusieurs mois .Il va avoir à lutter, chaque fois, contre ses “pulsions” à utiliser l’ordre de lecture, puisqu’il n’y a pas de parenthèses .

Un autre exemple :  après  : l’élève a tendance à opérer additivement sur 4 et 4

C’est une réactivation de la règle des morphismes par projection : puisque, comme ma petite enfance me le laissait prévoir, le dénominateur d’un produit est le produit des dénominateurs, je pourrai m’attendre à ce que le dénominateur d’une somme soit la somme des dénominateurs !

 

Le degré zéro local

 

2) Le degré zéro local ZL

 

Ici, on attend X’ en vertu d’une régle de construction de l’énoncé lui-même, ou de la construction de son sens

 

Ex: A et B ont  pour milieu O (attendu : [AB] a pour milieu O) .

 

[AB] est parallèle à (d). Attendu : (AB) est parallèle à (d)

 

Il peut y avoir attente de X’ en vertu non pas de l’énoncé (du co-texte), mais du contexte de l’énoncé .Ainsi AB²= 9  donc AB=3 en 4ème : contexte implicite de nombres positifs.

Il peut arriver que l’énoncé lui-même produise ses propres règles et que l’impertinence se manifeste par rapport à ces règles . C’est souvent le cas en géométrie dans l’espace.

Ainsi ,il est clair que le milieu i du segment [ab] représente le milieu I du segment réel [AB] correspondant, tandis que le milieu k du segment [cd] ne représente pas le milieu M du segment réel [CD] correspondant .

L’énoncé graphique a créé des lois différentes suivant les faces .

On peut trouver des centaines de cas en algèbre : je ne les examinerai pas.

 

le degré zéro pragmatique local

 

3) Le degré zéro local pragmatique ZP

 

On attend X en vertu d’un contexte plus large, ou d’expériences antérieures, d’ordre pragmatique, non liées nécessairement aux mathématiques scolaires.

 

.

 Exemple : ombre au lampadaire du milieu d’un bâton

 


. ombre du milieu du bâton ?

 

Pour construire l’ombre du milieu, les meilleurs élèves prennent directement le milieu de l’ombre.

Ils utilisent le morphisme hérité de l’ombre au soleil :

ombre du milieu = milieu des ombres, ce qui est faux dans le cas de l’ombre au flambeau .

 

 

une histoire d'invariant

 

 

Un autre exemple : enlève, en 2 coups de ciseaux, un carré à ce carré de façon que son périmètre ne change pas.

Beaucoup, sous la pression de la “loi” héritée d’expériences sur les aires, vont répondre :

« impossible !» .Et pourtant …… !

on peut même raffiner en demandant d'augmenter le périmètre en enlevant un carré?

Au fait, peut-on le diminuer aussi ?

 

 

1)    J’ajoute un autre type de degré zéro, le degré zéro importé (ZI)

       (couplage de codes)

 

Ici, X’ est attendu en vertu d’analogies présumées avec les lois d’un autre code, ou même d’un autre registre.

Il joue un rôle décisif en mathématique, à cause de l'efficacité et aussi du danger des analogies. Son importance heuristique est évidente.

Mais sa bonne ou sa mauvaise gestion assure succès ou échec aux changements de cadre ou de registre si décisifs en mathématiques. Le nombre et l’importance des lieux où on le rencontre donne le vertige.

 

Donnons quelques exemples :

Le premier est souvent à l’origine de la confusion addition et multiplication :

oral : quinze seize

 écrit: 15 16

pas de morphisme !

dix-sept dix-huit dix-neuf vingt vingt et un ...

17 18 19 20 21 22

morphisme visible qui s’impose ! Cest :

10+7 10+8 10+9 20+l 20+2

l’absence de signe à l’oral veut dire + : règle implicite que se fabrique l’élève sans l’expliciter hélas !

 

Passons à quatre-vingt ou trois cents

80 =4x20 300=3x100

L’absence de signe à l’oral veut dire x : règle implicite qu’il se fabrique sans complexe !

Ainsi, dès le cours élémentaire, l’élève associe deux signes différents à une même absence ; la tentation reviendra en force plusieurs fois dans sa vie

d’écolier ou de collégien, de confondre les deux opérations, soit sur le plan syntaxique, soit sur le plan sémantique . On assiste à une véritable contamination du symbolique par l’oral : il faut simplement ensuite aider l’élève à la gérer, à savoir transgresser les tendances qu’un code a installées

 

 

 

Autre exemple : le langage naturel et le code symbolique du point de vue de l’ordre : le carré du suivant et ,

transgression dans la syntaxe symbolique de l’ordre culturel de lecture de gauche à droite .

 

Encore : code de la langue et code graphique.

  (d)

 

Soit la droite (d).

transgression sémantique : (d) est infinie ; or, je dessine un trait fini !

 

 

perception

 

 

J’ai voulu tracer un rectangle en perspective ! Le segment le plus court paraît le plus long.

 

Voici une double transgression : deux façons de tracer des parallèles, sur la même figure.

Si on veut tracer par le centre de la face avant une parallèle au côté noir ,et par le centre de la face supérieure une parallèle à l’autre côté noir , la méthode de tracé des parallèles n’est pas la même.

 

 

 

Voici une double transgression : deux façons de tracer des parallèles, sur la même figure.

Si on veut tracer par le centre de la face avant une parallèle au côté noir ,et par le centre de la face supérieure une parallèle à l’autre côté noir , la méthode de tracé des parallèles n’est pas la même.

 

Dans un cas on utilise une méthode plane de tracé de parallèle, dans l’autre cas on trace une droite passant par le point de fuite.


   

 

 

 

 

 

 

 

sur les codes graphiques

 

Bien que ce ne soit pas le lieu de développer la théorie, il est nécessaire de faire quelques remarques sur les codes graphiques.

Si je vois ici une tête, c’est que les segments rectilignes perçus sont conçus comme curvilignes

 

 

 


Si je vois ici un cube, c’est que le parallèlogramme perçu ou manifesté du haut est conçu comme un carré .

 

 

 

 


Il y aura en gros 4 types de transgressions suivant que le « perçu » et le “conçu” sont présents tous les deux ou non, puis au même endroit ou non .

 

 

transgressions des codes graphiques

 

 

Il y aura en gros 4 types de transgressions suivant que le « perçu » et le “conçu” sont présents tous les deux ou non, puis au même endroit ou non .

Nous préciserons plus loin, mais on peut déjà noter ceci :

 

Si en 6ème, je définis l’axe de symétrie d’une figure comme la droite qui la partage en deux morceaux tels que l’un soit l’image de l’autre dans un pliage suivant cette droite, aIors pas de problème : je peux ensuite passer à la symétrie .

 

Mais si je définis l’axe de symétrie comme une droite telle que l’image de la figure dans la symétrie d’axe (d) soit la figure elle-même, alors je me trompe lamentablement pour des raisons rhétoriques.

En effet, dans le premier cas coïncident, en un même lieu de l’énoncé, le triangle AHC et l’image de AHB . AHC est perçu comme objet, mais conçu comme image d’un autre objet .                                                                                                                       

 

                                                                                                                                                                                                                                                 Dans le deuxième, le même ABC est objet, image et sa propre image : le conçu et le manifesté coïncident en un même lieu de l’énoncé (énoncé graphique bien sûr).

La question reste posée, en réalité : axe de symétrie puis symétrie ;

ou au contraire symétrie, puis axe de symétrie . Je ne suis pas sûr que le bon choix ait été fait par les programmes. Même s’il est intéressant de démarrer par le global, donc l’axe, sous forme d’activités rapides, l’étude devrait porter d’abord sur “symétrie”, puis,  bien après , sur “axe de symétrie» .

 

substitutions diverses du percu et du conçu

 

a) Il peut donc y avoir substitution totale du perçu et du conçu :

cas de ABC et de son image dans le cas d’un triangle isocèle ayant un axe de symétrie

On pourrait assimiler ce procédé aux tropes classiques de rhétorique de la langue (métaphore “en absence”par exemple )

 

b) Il peut se passer que le perçu seul soit présent dans l’énoncé, le conçu étant projeté mentalement : quand je représente le vecteur AB

ainsi seul le bipoint (A,B) est présent,                                 B

le vecteur étant imaginé .

                                                                    A

 

c) Il peut y avoir aussi présence conjointe, mais aussi substitution partielle du perçu et du conçu (interpénétration). Un exemple en trigonométrie : le point B et l’arc pi/2, ou le point B et l’arc - 3pi/2.

 

Ils peuvent occuper des lieux différents tout en étant présents : la face avant d’un cube et ce

 

cube vus de face à hauteur adéquate ou encore plus pervers l’encadrement (a,b) et le segment

 

[ab] .

 

La base de l’efficacité de la représentation va être l’aptitude de l’élève à oublier certains traits

 

non pertinents du dessin, en fait, à procéder à une « narcotisation » sélective de son attention.

Par exemple, concevoir la face avant du cube comme la projection du cube sur la « vitre »

canonique.

les énoncés imprécis

 

Exemple : un cube inscrit dans une demi-sphère . Quel est le bon dessin?  

 

 



 

 

 L’élève, pour être efficace, doit fréquenter son dessin, l’analyser, le transformer mentalement assez pour pouvoir l’oublier.

Comme dirait DESNOS de son amante : “J’ai tant rêvé de toi que tu perds ta réalité

Parallèlement, il faut accepter de donner en classe, un statut a des énoncés tels que

le triangle ABC me semble isocèle” , « a l’air rectangle »

 

Ce sont des énoncés utilisés tout le temps, au moins mentalement : les rejeter hors du champ de l’explicite est un obstacle à leur transformation, à l’étude de leur rapport avec les autres propositions .Il en résulte alors des blocages, ou des inhibitions : c’est l’effet Ben Barka cher à De Gaulle. (pardon ? qui est Ben Barka ?)

 

 

signe plastique et iconique

 


 Voici un cube et les diagonales a et b de la face avant , puis les diagonales c et d

de la face supérieure :

a semble perpendiculaire à b : vrai

a est perpendiculaire à b : vrai

 

c semble perpendiculaire à d : faux

c est perpendiculaire à d : vrai

 

 

 

 

 


On voit donc qu’il s’agit de transgresser le statut réel, plastique de son dessin

 d’être capable d’observer, et de ne plus observer .

 

C’est Paul Valéry qui écrivait : “Alors le géomètre, quand il a suffisamment considéré la figure, ferme en quelque sorte les yeux, et se fait aveugle.”


 

 

Nous venons de voir une TGT (très grande transgression), celle du statut plastique d’une figure (elle est là pour elle-même) que nous devons faire accéder au statut d’icône (elle est là pour autre chose).

 

 

icône?

 

Il en existe une voisine : l’inverse, la transgression du statut d’icône.

Un exemple,en 3ème ou en Seconde :

Est-il vrai que dans un trapèze, la somme des carrés des bases est égal à l’excès de la somme des carrés des diagonales sur la somme des carrés des autres côtés?

 En général :

1) L’élève fait un dessin qui tient lieu de figure du prob1ème (dessin pour autre chose que lui-même :signe iconique )

2) Il fait diverses mesures, calculs et regarde si c’est plausible. Il conclut “on dirait que c’est vrai” .( dessin pour lui-même : signe plastique )

3) Il confronte ce résultat avec ses camarades ou avec d’autres dessins.(dessin pour lui-même : signe plastique )

4) Il cherche une démonstration. (dessin pour la figure du problème : signe iconique ) Il a changé le statut du dessin.

On peut raffiner, et intercaler entre le 2) et le 3) des cas particuliers, où on donne des démonstrations partielles (trapèze isocèle, trapèze rectangle, rectangle, carré, parallélogramme,...).

Il restera le 4) bien sûr ! La démonstration, quand elle est à sa portée.

 

transgression de définition

 

Examinons maintenant le mécanisme d’une transgression les plus utilisées : la transgression de la définition d’un concept.

Un exemple : « Que dire du quadrilatère formé par les milieux des côtés d’un rectangle ? »

 

Nous appellerons, selon l’usage, « sème», tout élément de signification d’un concept, tout trait constitutif du sens (il s’agit évidemment d’une approximation grossière).

Prenons une démarche possible.

1) Je coupe le quadrilatère ABCD avec [AC]

2) Le théorème des milieux (parallèles) appliqué à ABC puis à ADC, me montre que [IJ] et [KL] sont parallèles. De même, [IK] est parallèle à [JL]. On en déduit que IJKL est un parallélogramme. (J’aurai pu utiliser directement le théorème de VARIGNON)

3) Comme ABCD est un rectangle, les diagonales sont égales, donc AC=BD

La deuxième partie du théorème des milieux me permet de conclure que les moitiés sont égales, donc I J=KL.

4) IJKL est donc un losange .

 

Le dynamisme de cette démonstration est basé sur le fait qu’à un moment donné j’ai seulement besoin que le rectangle ABCD soit un quadrilatère, ensuite que ABCD soit à nouveau un rectangle.

Evidemment, on considère d’habitude que rien n’a changé : ABCD est toujours resté un rectangle.

Mais si on se place du point de vue du cerveau humain, alors il y a bien eu ce double changement :

[rectangle ABCD] – – – > [quadrilatère ABCD] – – – >[rect.ABCD]

                                     ml                                           m2

Le mouvement m1 correspond à un appauvrissement sémique,à une abstraction , à une dématérialisation, à une désémantisation : le raisonnement sous-jacent est ce que l’on appelle une subduction .

 


 

Le mouvement m2 correspond au contraire à un enrichissement sémique, à une forme de concrétisation, qu’on peut appeler une transduction. C’est aussi un mécanisme classique de passage d’une idée A à une autre B.

Le passage se fait ainsi :

                 A  subduction    I   transduction  B

La souplesse de la démarche dépend de l’aptitude à transgresser la définition de A, puis celle de B. Nous pouvons déjà faire trois remarques rapides.

Si je considère par exemple A comme l’idée de 1a chose nommée (référent) et B comme l’idée de la classe (signifié), on retombe sur les mouvements d’abstraction et de concrétisation par l’intermédiaire du signifiant (symbole).

un début de géométrie des associations d'idées

Deux moments

 M1  « je modifie mes concepts et mes schèmes, sous la pression des expériences perceptives »

 M2 : « j’applique mes concepts et mes schèmes au réel »

..

Si je prends pour A et B deux concepts situés en gros sur la même chaîne perceptive d’un 3ème concept C, les deux mouvements peuvent être de « facilité» différente :

perception – – – -> – – A – – – > – – – – B – – – -> – – -C

 

 

On peut penser par exemple aux diverses appropriations de la notion de fraction, ou aux rapports continuité-limite .

Prenons en collège le lien parallélogramme-rectangle :

réel – – > – – -carré – – -> – – rectangle – – -> – – -parallélogramme :

sur un dessin : je laisse tomber des propriétés

OU

réel – – > – – -parallélogramme – – > – – rectangle – – > – - carré

 sur des tiges articulées : j’ajoute des propriétés

 

 

On peut en tirer des stratégies pédagogiques.

Il existe une « géométrie» des associations d’idées qui est utile quand on pose la question de l’appropriation des concepts, par l’élève, et celle de leur mobilisation

Elle est liée aux deux grands types de décomposition d’un concept

Prenons l’exemple du rectangle.

Il entre dans une “série” conjonctive, ”matérielle” de constituants: côtés, angles, diagonales, sommets, aire, périmètre ....

Il entre aussi dans une série disjontive de modalités : quadrilatère, parallélogramme, carré ...

Ainsi, à partir du mot “rectangle”, l’esprit va voyager parallèlement à deux axes sémantiques “perpendiculaires”

  -rectangle, côtés, angles, diagonales, sommets, aire, périmètre

  -carré, parallélogramme, quadrilatère, polygone.

Il peut arriver que l’appropriation ou la mémorisation se fassent par verticales ou par horizontales.

 

les trajets sémantiques

La plupart du temps, suivant la leçon, c’est un de ces trajets qui est choisi comme « organisateur». C’est à l’élève de faire l’autre parcours, à déconstruire puis à reconstruire : encore une transgression. En fait, les trajets réels seront presque toujours en escalier, si on veut bien se donner la peine de les décomposer à-posteriori. Un bon choix d’exercices pourrait être caractérisé par le nombre d’escaliers différents qu’il oblige à parcourir .C’est l’aspect plus ou moins serré de la trame obtenue en définitive qui pourrait témoigner de la solidité de l’appropriation, et qui assurerait le développement de l’intuition géométrique ou algébrique .

J’ai indiqué ailleurs ( « Le projecteur rhétorique » ) que ces sauts d’un maillon à l’autre d’une chaîne de signifiants relevaient de la figure de rhétorique appelée synedocque (classiquement »voile » pour » bateau» ) .

Une réflexion sur cette remarque peut aider à comprendre un certain type d’association d’idées, essentiel en math : quand, pour appliquer Varignon, je vais en pensée : de « rectangle ABCD » à « quadrilatère ABCD» j’utilise une synedocque particularisante (le décodeur devra particulariser, donc ajouter des sèmes)

Quand  je vais de « diagonales du quadrilatère ABCD» à « diagonales du rectangle ABCD », j’utilise une synedocque « généralisante » (le décodeur devra généraliser, donc enlever des sèmes) .

transgression du statut des lettres en algèbre

 

Il y a un type de transgression particulièrement puissante et en même temps meurtrière pour beaucoup d’élèves : c’est celle du statut des lettres en algèbre.

De façon classique, on distingue  plusieurs statuts pour une lettre :inconnue , nom , variable , indéterminée et paramètre. Les lois qui régissent leur utilisation respectives sont différentes et il est essentiel de distinguer ces cas.

Prenons un problème classique que j’ai déjà utilisé dans un autre but dans l’article « LE PROJECTEUR RHETORIQUE »( revue « repères » d’octobre 2001)

Deux voiliers sont au mouillage et la distance HK qui sépare leurs mâts est 80m. Le premier a un mât HA de 20m et le second un mât KB de 30m.

Deux colombes  a et b sont placées au sommet de chaque mât. On place en un point M du segment HK une nacelle avec un bébé. Les deux oiseaux se précipitent en même temps ( et en ligne droite) sur la nacelle pour caresser le bébé. Ils y arrivent en même temps. En désignant par x la distance HM, calculer cette distance.(On donnera une solution algébrique, une graphique et une géométrique).

 

 

analyse de la solution

 

Solution algébrique.

En utilisant le théorème de PYTHAGORE, on obtient l’équation :

x² + 400 = (80 – x)² +900

que l’on réduit grâce à la remarque : (80-x)² = 80²-2.80.x +x²

 

Solution graphique.

On trace sur du papier millimétré le graphique des fonctions associées à x²+400 et à (80-x)²+900 .

Les deux morceaux de parabole se coupent en un point dont l’abscisse a l’air d’être 43.

 

 

Or si on réfléchit à ce qu’a été la lettre x :

·        Elle a d’abord été un « nom », celui de HM.

·        Ensuite elle a été l’inconnue d’une équation

·        Ensuite une indéterminée (dans la remarque)

·        A nouveau une inconnue

·        Lorsqu’on a interprété l’équation avec les fonctions, x était une variable.

·        On peut poursuivre en ajoutant la question : si le second bateau s’éloigne,

la nacelle restant fixe , à quelle hauteur z (fonction de x) faut il placer l’oiseau b pour que , dans les mêmes conditions , ils arrivent encore en même temps.

On voit là que le problème revient à traiter une famille d’équations en z de paramètre x

   

Ainsi la lettre x sert-elle de masque à plusieurs personnages, et c’est ce qui fait la puissance de l’algèbre.

Pour y voir clair, l’élève doit distinguer ces différents personnages, mais pour agir efficacement, il doit les confondre dans la même lettre .C’est une très grande transgression.

transgression de méthodes

 

En voici une petite (mais difficile à gérer au collège) : un segment de droite, objet limité, représente une droite (objet réputé illimité).De façon générale, on a souvent besoin de changer le « sens » des objets géométriques élémentaires

( comprenons bien qu’il est nécessaire que l’élève le fasse , mais en même temps il lui est recommandé de ne pas le faire : « un segment , c’est un segment ! »)

 

 

Les très grandes transgressions sont d’autant plus délicates à assumer qu’elles portent sur des méthodes non explicitées (rapport au contrat didactique).

Ainsi l’ordre données-résultats est-il l’angle d’attaque courant d’un problème.

Même si l’enseignant ne le dit pas, l’élève se fabrique une règle implicite.

Or l’efficacité commande parfois de commencer par la fin.

Il est nécessaire que l’élève soit formé à transgresser ses propres règles, ou celles qui ont émergé de sa vision du contrat didactique.

(On se souvient d’un article célèbre d’André ANTIBI dans un bulletin de l’APMEP des années 90.)

 

Transgression par extension sémantique

 

Examinons une autre TGT dont l’importance est évidente et dont le traitement a alimenté bien des polémiques il y a trente ans, mais dont le traitement actuel est tout aussi inefficace, ce qui est bien regrettable car cette transgression est constante dans la construction mathématique de tout individu.

C’est ce qu’on pourrait appeler, en utilisant la vision de Thom, l’extension du bassin sémantique d’un concept.

Il est clair que, pour un élève du primaire, un carré et un rectangle sont deux types d’objets ou de figures différentes d’un certain point de vue.

Un rectangle n’est pas un carré, mais un carré n’est pas non plus un rectangle.

Et c’est très bien ainsi ! Cette distinction lui permet de se repérer dans le monde.

Il serait ridicule, et dangereux pour son développement mathématique, de lui dire le contraire : les définitions implicites qu’il a ne lui permettraient pas de le comprendre.

Si, quelques années plus tard, une expérience mécanique bien choisie (par exemple le raccourcissement continu de la longueur d’un rectangle) lui est proposée, le « passage à la limite » lui permettra de saisir que le carré peut être enfanté en douceur à partir d’un rectangle .

Puis une définition abstraite du rectangle, couplée avec une bonne maîtrise de l’expression « au moins », complétée par une définition abstraite bien choisie du carré, lui fera accepter une nouvelle définition du carré comme rectangle particulier.

Mais cette définition est une conquête, qu’on ne peut pas court-circuiter.

(je dirais même que la définition du carré , c’est justement ce processus de conquête).Il doit transgresser ses premières (ou même « les premières ») définitions pour accéder aux nouvelles.

Et il aura à le faire des centaines de fois dans sa vie mathématique, même si elle est officiellement courte.

Un rectangle n’est  pas un parallélogramme, dans une première partie de ma vie. Un entier naturel n’est pas une fraction .Un entier naturel n’est pas un décimal.

3 n’est pas un entier relatif. Un réel n’est pas un imaginaire. Une droite n’est pas un cercle. Un cercle n’est pas une ellipse.

Bien sûr, chaque fois, les choses finissent par changer, plus ou moins rapidement suivant le degré d’abstraction de la définition première.

Le délai peut être de plusieurs années à quelques minutes. Mais c’est une erreur que de céder à la tentation de supprimer cette « exfoliation » des définitions en donnant tout de suite la dernière définition. (Y en a-t-il une ?).Tôt ou tard, le prix à payer pour cette erreur serait une perte de sens et une infirmité mathématique à venir.

 

On peut imaginer le phénomène en regardant un espace sémantique comme un paysage avec des collines, des plaines, des bassins, des cols.

Chaque concept occupe un bassin, dans la mesure où il est relativement stable.

Par exemple, à 10 ans, les deux bassins de « rectangle » et de « carré » sont séparés par une ligne de crête présentant un col.

Mon prof de 5ème ou de 4ème me fait transformer des rectangles articulés et jouer sur des

 

définitions du carré et du rectangle. Il me permet ainsi de baisser ainsi le col .Le bassin du rectangle absorbe celui du carré. J’ai alors à la fois un nouveau concept de rectangle, comprenant comme cas particulier celui de carré.

Notons que l’idée de bassin est commode du point de vue pédagogique : elle permet d’illustrer le fait que le concept (carré par exemple), à une étape donnée de mon développement, résiste à de petites perturbations sémantiques dues à des modifications perceptives ou discursives.

transgression du tabou de la figure

 

Une autre transgression nécessaire est celle du caractère « intouchable » d’une figure. Une règle « implicite », héritée de pratiques liées à un choix « facilitant » de problèmes est celle-ci : on ne rajoute pas de traits supplémentaires à la figure d’un problème donné. Ceci pour ne pas avoir à gérer des hypothèses supplémentaires qui compliquerait l’analyse. Evidemment personne ne la formule ainsi, mais l’immense majorité des problèmes posés en classe ou aux examens n’exige pas d’initiatives à prendre sur la figure.

Ces initiatives, pourtant nécessaires dans la majorité des situations hors évaluation, prennent pour l’élève le statut d’astuce valable pour les problèmes de rallye, souvent hélas, dévalorisés pédagogiquement alors qu’ils devraient être un des critères d’évaluation à tous les niveaux et à tous les examens.

 

Exemple1 : démontrer que dans un triangle, une bissectrice intérieure partage le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents.

Délicat si on ne trace pas de parallèle bien choisie.

Exemple2 : Calculer le côté oblique d’un trapèze rectangle connaissant les 3 autres côtés.

Délicat encore si on ne trace pas une perpendiculaire bien choisie aux bases.

 

C’est vrai que cette règle de prudence est commode dans les cas simples, mais elle empêche l’élève d’accéder à « l’appropriation méréologique de la figure » si remarquablement analysée par A.Mesquita.

Elle le bloque dans ses activités heuristiques gratuites qui font la vie de

« l’élève-en-math » .Il faut donc cultiver cette transgression.

 

transgression du tabou des hypothèses

 

Dans le même ordre d’idée, il y a une règle qui fait considérer comme intouchables les hypothèses d’un problème.

C’est une bonne règle, mais on a souvent besoin de la transgresser, au moins à deux moments.

D’abord dans la phase de recherche, où il est commode de restreindre les hypothèses pour examiner des cas particuliers dont le traitement va déclencher les idées pour le cas général.

Ensuite, après la conclusion du problème, dans la phase si nécessaire de retour sur les hypothèses, où on examine quelles sont les hypothèses qui étaient indispensables et comment la conclusion aurait été modifiée si on les changeaient un peu.

Avec Jean Bichara , nous avons examiné cette question dans une brochure

« la dimension heuristique de la démonstration : dis maman , à quoi ça sert de démontrer ? ».

On peut voir ce texte sur la dimension heuristique de la démonstration ici dans le site « A quoi ça sert de démontrer ».

 

table de quelques transgressions

 

DEBUT DE TABLE  DES TRANSGRESSIONS

 

(les plus utilisées en mathématiques et dans leur enseignement)

Je propose ici cette table réduite de quelques transgressions indispensables en mathématiques et dans leur enseignement.

C’est avec l’espoir que des enseignants en explore systématiquement quelques unes et fassent profiter les autres de leurs expériences .

Afin aussi que de terribles malentendus, qui empêchent le développement urgent de notre discipline chez les jeunes soient levés.

 

1) transgressions de la forme (morphologie)

2)transgressions des syntaxes

3) transgressions du sens (sémantiques)

4) transgressions des logiques (pragmatiques)

5) transgressions de la présence des symboles (ellipses)

6) transgressions de règles d’expériences personnelles

7) transgression de la démarche canonique CONNU vers INCONNU

8) transgression du statut de la figure (ICONIQUE ou PLASTIQUE)

 9) transgression VECUE et transgression REELLE

10) transgression du statut des lettres en algèbre

       ( inconnue,  indéterminée,variable, paramètre,nom)

11) transgression du statut du dessin en géométrie (schéma, épure, dessin sujet, figure, figure codée, diagramme)

12) transgression du statut des éléments d’une démonstration (hypothèse, théorème de passage, conclusion, dans l’arc transitif de substitution (ATS))

13) transgression du sens des signes géométriques élémentaires

14) transgressions officielles de définition (conventions transgressives)

15) transgression du niveau de structure d’une démonstration           

     ( structure  profonde et structure de surface)

16) transgression de la règle “respect de l’énoncé écrit”

17) transgression de la règle “être conscient du pourquoi” (problème des automatismes, problème du changement de niveau [Watlawick et Bateson])

18) transgression de la règle de comportement “image unique en géométrie”

     ( imagerie  géométrique)

19) transgression de l’omniprésence de la rigueur (suspension de rigueur : passage rapide à la limite par exemple)

20) transgression de l’ordre cause-effet (en particulier, communication discordante)

21) transgression de l’ordre données-résultats  ( étudier le problème réciproque d’abord, ou commencer par la fin ou résoudre des équations f(x) = a).

22) transgression des limites d’un concept , par exemple définir la médiatrice d’un point et d’une droite .(bassin d’un concept : Thom)

23) transgression sémantique par contiguïté : laisser fonctionner la contamination du sens par une notion proche dans l’organisation du savoir.( par exemple rapport entre puissance et exponentielle)

24) transgression sémantique par similitude : laisser fonctionner la contamination du sens par une notion semblable.

 

25) transgression du caractère intouchable d’une figure (trangression méréologique )

26) transgression perceptive organisée (par exemple, utilisation des cas d’égalité des triangles)

27) transgression séquentielle (utilisation des transformations géométriques pour changer l’ordre de  construction)

 

 

28) transgression du caractère statique d’une figure

( recherche  préalable d’un lieu non demandé ou animation sur ordinateur)

30) transgression du statut immuable des hypothèses dans un problème

(  par  exemple, utilisation heuristique de la démonstration )

31) transgressions diverses comme auxiliaires de la mémoire

 32) les transgressions canoniques

TS suppression TA adjonction TSA suppression-adjonction TP permutation

33) transgression et refoulement : retour du refoulé

34) dynamique de la transgression:

 souplesse  d’un concept ou d’une règle

35) la transgression comme changement de niveau : substitution d’un objet à sa classe ou inversement (travaux de G.Bateson)

36) règle, contre-règle et transgression

37) transgression et attente

(rôle de la surprise et du paradoxe)

38) transgression de la convention «  présence explicite des présupposés » : voir parfois l’essentiel dans le non-dit.

 39) la transgression, comme nécessité pour l’appropriation d’un code .

40) transgression par extension

(d’une règle,d’un concept, d’un domaine )

41) transgression des rapports entre singulier, particulier, général

 S-P, S-G ,P-G, G-S ,G-P, P-S .

En particulier, contamination du général par le singulier

42) transgression de l’obéissance au formalisme : l’interprétation

43) transgression du statut du lecteur

44) transgression de l’omniprésence de la déduction en math

(   induction, abduction, transduction, subduction)

45) trangression des distances entre concepts

46) transgression de la coutume scolaire d’appel à un seul cerveau ( raisonnement local de proche en proche, ou raisonnement global)

47) transgression du caractère mort des symboles

48) transgression par glissement sémantique volontaire (exponentielle de réel, exponentielle de complexe)

49) l’auto-transgression : retour au moment d’avant la transgression (par exemple :  3 n’est plus une fraction )

50) transgression de l’ordre d’appropriation d’un code (géométrie, algèbre)

51) transgression du rapport d’importance : chose évaluée / chose non évaluée.

 

 

L’examen critique de ces aspects peut susciter une autre pratique de notre enseignement pour peu que notre objet d’étude soit, comme dans toute classe réelle, l’élève réel .

Et de même, on peut travailler sur  une autre vision des rapports de notre enseignement avec le reste de la culture .

En particulier, dans la formation du citoyen, les mathématiques ont une place privilégiée parce qu'elles sont une école d'interrogation, de remise en cause des ordres établis, si nécessaire aux progrès des sociétés : d'Hypathie à Galois, d'Al Khayyam à Einstein et à Poincaré, en passant par les mathématiciens de la révolution de 89, l'histoire le rappelle. Pourquoi ne pas tordre le cou à cette néfaste croyance qu'elles ne servent qu'à apprendre à appliquer der règles , et que la rigueur intellectuelle consiste à suivre des règles ?

C'est cette dimension subversive et créatrice qui peut donner envie à la jeunesse de s'en emparer.