Figures par Suppression

 

TRANSGRESSION PAR SUPPRESSION

“ La première fois que j’ai vu une femme

nue, j’ai cru qu’il s’agissait d’une erreur”.

(Woody Allen)

Quelques exemples de figures courantes

en mathématiques.

1) Au niveau morphologique d’abord

(métaplasmes par suppression)

On a vu l’aphérèse : on supprime la partie

avant d’un mot ou d’un symbole.

8500 au lieu de + 8500, au lieu de lecture

de gauche à droite, et hors de toute signification,

un peu comme “tention !” pour “attention

!”

Il y a la suppression de la partie arrière

d’un mot ou d’un symbole (apocope) : écriture

de 0,33 pour 1/3, de 3,14 pour pi, ou

toute troncature d’usage. Sin pour sinus, log

pour logarithme, cos pour cosinus, exp pour

exponentielle. d pour droite, f pour fonction,

p pour périmètre, a pour aire..., un peu comme

en français “fac” pour “faculté”

Il peut y avoir suppression “au milieu” (syncope)

:

Exemple : tgx pour tangente de x.

Il existe une variante graphique extrêmement

 importante pour les petites classes :

3+4

 écrit [3 + 4] (crochets ou parenthèses)

 

 

2) Au niveau syntaxique ensuite (grammatical)

(donc métataxes par suppression)

Il y a là toute la panoplie des ellipses. Ce

sont des suppressions d’un mot ou d’un groupe

de mots, d’un symbole ou d’un groupe de

symboles jouant un rôle : “Il partagea le pain

et le vin” pour “il partagea le pain et il partagea

le vin”. On en trouve beaucoup et elles

sont souvent décisives :

Ellipse en langage symbolique. Par exemples

ellipses de :

a mis pour . Exemple : calcule + a

a mis pour  a x 1 . Exemple : factorise a² + a

où a est mis pour a/1. Exemple : simplifie a + a/5

Voici une ellipse meurtrière, dont la gestion

est décisive pour le calcul sur les relatifs :

3 – 10 + 5 pour (+ 3) + (– 10) + (+ 5)

Et aussi pour les fractions:

 

 

pour (ellipse de parenthèses) ;

a b pour a x b

Dans notre problème :

– 180y pour – 180 x y

8500 – 180y pour 8500 – (180y)

8500 – 180y + y 2 pour [8500 – 180y] + y 2 ou

pas à pas de gauche à droite !!

Évidemment, toutes ces “figures” peuvent

être vues comme des applications de

“nouvelles règles” du code, par exemple des règles

de priorité. Il reste que ces nouvelles règles

se sont, à un moment donné, présentées

comme des violations du code antérieur. Elles

sont restées comme telles pour certains élèves,

à moins que, plus gravement, elles n’aient été

acceptées de façon passive et donc aient contribué

à la désagrégation du code tout entier.

 

 

 

Des exemples en calcul : la somme 2 +3/4

est écrite , où est associé à 2/1 ;

ou encore 3a + a pour 3.a + 1.a ; ici 1. est associé

à a.

Ce type d’ellipse est appelé “anacoluthe

(compagnon) : il est réductible par apprentissage

d’automatismes.

Il y a en L.N. des ellipses qui jouent un

rôle déterminant. Ce sont les ellipses de

conjonction de coordination dites asyndètes.

Exemple : “ hommes, femmes, enfants avan-

çaient en silence”, (ellipses de “et”). En algèbre :

(x – 3) (x – 2) = 0

x = 3 x= 2

Le ou a été supprimé, même si la disposition

dans la page le suggère, encore que... !!

Voici un bel exercice témoin :

Place dans un repère l’ensemble des couples (x,y) tels que

(x – 3) (y – 2) = 0. 50 % donnent le point (3,2)

seul : conséquence de l’habitude de ne pas

gérer la précédente ellipse.

Ou encore :

Résoudre :

x + y = 10

x y = 4

On conclut couramment x = 7 , y = 3. Le et est

supprimé.

 

Voici un bel exercice témoin : Résoudre le système :

3x + 3y = 30

x + y = 4

et 50 % donnent : x quelconque et y quelconque.

 

Un dernier cas plus pervers, où la réduction

de l’asyndète du “et” est décisive pour la

solution : Trouve le point M de (d) équidistant

de A et B, c’est-à-dire “point sur (d) et point

équidistant de A et de B”

 

 

 

Continuons. Il y a des ellipses au niveau

LN (langue naturelle) :

Angle de 45 degrés pour “angle de mesure 45degrés”

Bissectrice pour “bissectrice intérieure

Plus terrible : “racine carrée” pour “racine carrée

positive de”. L’impossibilité pour certains

de concevoir que = – a pour a négatif

ou que le carré de –Ö3 est 3 peut venir en partie

de là. L’arsenal pédagogique (remarquable

par ailleurs, mais trop peu connu)

consistant à lire “radical de 9” n’est qu’une

tentative désespérée de compenser les effets

dévastateurs (mais il y a aussi des effets dynamiques)

de cette ellipse.

En voici une bien ancienne (mais la raison

pédagogique et le souci de démocratisation

dans la construction des savoirs la fera

revenir) : “ (a + 2)x² est un monôme ” !!! pour

“ (a + 2) est un monôme en x ”. La mauvaise

gestion de cet écart peut suspendre momentanément

la compréhension profonde de ce qu’est

un polynôme.

Encore un exemple non anodin : pour

certains élèves le passage de a + (b + c) à

a + b + c est de même nature que celui de

a(b+c) à ab + ac (disparition des parenthèses

dans les deux cas). La mauvaise gestion d’un

de ces deux cas aura des conséquences perturbatrices

en calcul littéral.

Il faudrait bien sûr raffiner sur les diverses

ellipses, mais ce n’est pas encore l’objet de notre

travail. Remarquons cependant que quand

je dis : “Où il y a de la gêne, il n’y a pas de plaisir”,

il y a une ellipse de (où). Mais ce terme

supprimé est associé couramment au mot de

l’énoncé : . Le terme est associé d’habitude

à son “compagnon” . Ce mécanisme doit

faire l’objet d’une éducation particulière.

 

 

 

Des exemples en calcul : la somme 2 +3/4

est écrite , où est associé à 2/1 ;

ou encore 3a + a pour 3.a + 1.a ; ici 1. est associé

à a.

Ce type d’ellipse est appelé “anacoluthe”

(compagnon) : il est réductible par apprentissage

d’automatismes.

Il y a en L.N. des ellipses qui jouent un

rôle déterminant. Ce sont les ellipses de

conjonction de coordination dites asyndètes.

Exemple : “ hommes, femmes, enfants avan-

çaient en silence”, (ellipses de “et”). En algèbre :

(x – 3) (x – 2) = 0

x = 3 x= 2

Le ou a été supprimé, même si la disposition

dans la page le suggère, encore que... !!

Voici un bel exercice témoin : Place dans

un repère l’ensemble des couples (x,y) tels que

(x – 3) (y – 2) = 0. 50 % donnent le point (3,2)

seul : conséquence de l’habitude de ne pas

gérer la précédente ellipse.

Ou encore :

Résoudre :

x + y = 10

x y = 4

On conclut couramment x = 7 , y = 3. Le et est

supprimé.

 

Voici un bel exercice témoin : Résoudrele système :

3x + 3y = 30

x + y = 4

et 50 % donnent : x quelconque et y quelconque.

 

Un dernier cas plus pervers, où la réduction

de l’asyndète du “et” est décisive pour la

solution : Trouve le point M de (d) équidistant

de A et B, c’est-à-dire “point sur (d) et point

équidistant de A et de B”

 

 

Un deuxième groupe d’ellipses décisives

en L.N. sont les suppressions de la marque

de rapport causal. (suppression de : donc,

or, si, comme).

En français. “Les enfants courent, les

pigeons s’envolent”.

Cette figure est présente dans notre problème

: MH = x , MK = 90 – x . On la trouve

aussi “malheureusement” (ou heureusement ?)

dans les énoncés de théorèmes. Ainsi “Tout multiple

de 6 est multiple de 3”, ou “Dans un triangle

rectangle, le carré de l’hypoténuse...”

(en fait : SI ……., ALORS......).

 Dans les démonstrations aussi :

« M est équidistant de A et B,

M est sur la médiatrice de [AB]  »

 

Ce sont des parataxes.

 

 

 

3) Examinons les suppressions au niveau du

sens, c’est-à-dire les “métasémèmes” par suppression.

Le type le plus important est la

“synecdoque généralisante” (le destinataire

du message est obligé de “généraliser” pour

réduire l’écart).

Exemple : “ Qui vit par l’épée périra par l’épée”.

Si cette phrase est prononcée dans un

western, épée doit être remplacée par “arme”.

Il s’agit bien d’une suppression de sèmes (éléments

de sens). (On passe de épée à arme en

supprimant certains “sèmes”, certains éléments

de signification de “épée” pour ne garder

que les éléments qui en font une “arme”).

Le mouvement de généralisation est bien une

suppression de sèmes, d’appauvrissement de

sens, d’abstraction.

Il y a plusieurs sortes de synecdoques

généralisantes :

- particulier donné pour le général

- partie donné pour le tout (ce bras

qui tant de

fois...)

- espèce donnée pour le genre.

En mathématiques, les exemples foisonnent :

 

 

Quand je dis “le rationnel 2/3 ” je signifie : “ le

rationnel dont un représentant est 2/3 ”.

Dans Q, « 2/3 = 4/6 » n’a de sens que par une

double synecdoque. On peut garder l’illusion

grammaticale en définissant la fraction comme

un quotient, mais quel sera le prix à payer plus

tard par l’enfant ? De même pour le vecteur « vect(AB) » :

«  le vecteur dont un représentant est

(A,B) » ou encore de même : la translation

A →B .

De façon générale : chaque fois qu’on

désigne une classe par un de ses représentants,

on utilise une synedocque généralisante.

En géométrie, le tracé d’une droite est une

synecdoque : je donne la partie pour le tout,

puisqu’en fait je trace un segment ; tout enseignant

réel sait quelles batailles il faut livrer

pour gérer celle-ci.

De même le tracé concret de la courbe d’une

fonction est évidemment de ce type (partie pour

tout : le problème des asymptotes par exemple).

Les élèves qui ne réduisent pas l’écart sont victimes

d’incompréhensions durables.

Par exemple l’impossibilité de tracer la hauteur

issue de A dans le triangle obtusangle ci-contre.

 

 

 

Ou encore de trouver l’intersection de (IJ) du plan

(ABCD) dans la figure du cube ci-dessous relèvent

de cette faiblesse.

A ce type se rattache aussi la désignation

d’une fonction par une image générique : la

fonction x², la fonction 2x – 3, au lieu de

x x² , ou f telle que f(x)= x² . On connaît toutes

les conséquences négatives qu’entraîne une mauvaise

gestion de ces écarts. (L’illusion des

années 70 portait en partie sur l’idée qu’il

était possible de ne pas avoir de tels écarts en

ayant un langage suffisamment strict. La

tentation puriste est battue en brèche maintenant

par les machines : touche x², touche e^x )

Pour sentir toute l’importance de cette activité

de l’élève, ailleurs qu’en mathématique,

remarquons que le fondement de la réduction

d’écart ici est le puissant outil de pensée

qu’est la subduction, essentiel en heuristique.

Ce mouvement de pensée est un processus

d’abstraction et d’appauvrissement

sémique, courant dans l’activité mathématique.

Par exemple quand l’élève interroge

“sa figure concrète” pour trouver les propriétés

de la figure générale.

 

 

 

 

 

4 ) Enfin examinons le cas de la suppression

au niveau logique, c’est-à-dire dans le rapport

à la “réalité” (il s’agit donc des métalogismes

par suppression). Le plus fréquent

est la litote : on dit moins pour dire plus.

La projection parallèle conserve les rapports

pour la “projection parallèle d’une droite

sur une droite conserve les rapports de

deux segments de la première” ou “la somme

des angles d’un triangle est 180° ” pour “la somme

des angles d’un triangle, en géométrie plane,

est 180° ”.

Dans notre problème : “ le carré de l’hypoténuse”

pour “le carré de la mesure de l’hypoténuse”.

(Pour les Grecs, il n’y avait pas figure).

Un exemple de “trajet de pensée” de ce

type : pour un carré et ses diagonales se coupant

en leur milieu, il y a deux types d’élèves.