Figures par Suppression-adjonction

 

 

TRANSGRESSION

PAR SUPPRESSION-ADJONCTION

 

“ A toute erreur de sens correspondent

d’étranges fleurs de raison”.

(Aragon)

 

 

Commençons par le niveau des métasémèmes

(sémantique)

1) La métonymie : “ La solution de l’équation

900 = 8500 – 180x est le zéro de la fonction

7600 – 180x ”. Le zéro de la fonction,

c’est le nombre qui “annule” cette fonction

(ou qui a pour image 0). C’est donc la cause

de l’annulation. Quand je désigne ce nombre

par “le zéro”, je dis l’effet pour parler de la cause.

C’est une métonymie de l’effet.

De même, “Cet enfant est ma joie”.

De manière plus schématique : on a un

moyen terme qui englobe les deux autres. Et

dans cette totalité, effet et cause sont “contigus”.

Notons que la métonymie est la composée

( 5 + 3) 2 = 5 + 6 5 + 9

de deux synecdoques “opposées”.


 

 

 

 

 

Action de boire : « je bois un verre »

Contenu : liquide

 

Contenant : verre

 

 

Métonymie de l’instrument.

“ périr par l’épée”

une cubique, une quadrique...

Métonymie de l’auteur :

un Banach, un Laplacien, etc…

 

Voyons un aspect de la métonymie qui

nous servira plus tard. On peut imaginer des

séries :

série causale : dérivable, continue, définie.

série intensive : glacial, frais, tiède, chaud,

brûlant, torride.

série numérique : un, deux... cent...

série matérielle : biceps, bras, homme,

famille.

série spécifiante : complexe, réel, décimal,

entier relatif, naturel.

série abstraite : carré, rectangle, parallélogramme,

quadrilatère, polygone.

série constitutive : polygone, cotés, angles,

sommets, diagonales...

 

 
 

 

Autres exemples de métonymie du contenant

en mathématique :

Aire du cercle pour “aire du disque”,

 Volume de la sphère pour “volume de la boule”,

Aire du rectangle (on voit qu’il y a figure si

le rectangle est un polygone et pas une

intersection de bandes : quels problèmes pédagogiques

! ! ! )

Autre métonymie : la métonymie du signe

mis pour la fonction.

“ Au Chili, en 74, le sabre a pris le pouvoir”.

En maths : x² est continue.

Du même type, on peut reconnaître des métonymies

de l’image : “ f est convexe” pour “la partie

du plan située au dessous du graphique de

la fonction f est convexe”.

Opération de remplacement et calcul

du zéro de 180x- 7800

Cause 7600/180

 

Effet zéro

 

Action de boire : « je bois un verre »

Contenu : liquide

 

Contenant : verre

 

 

Métonymie de l’instrument.

“ périr par l’épée”

une cubique, une quadrique...

Métonymie de l’auteur :

un Banach, un Laplacien, etc…

 

Voyons un aspect de la métonymie qui

nous servira plus tard. On peut imaginer des

séries :

série causale : dérivable, continue, définie.

série intensive : glacial, frais, tiède, chaud,

brûlant, torride.

série numérique : un, deux... cent...

série matérielle : biceps, bras, homme,

famille.

série spécifiante : complexe, réel, décimal,

entier relatif, naturel.

série abstraite : carré, rectangle, parallélogramme,

quadrilatère, polygone.

série constitutive : polygone, cotés, angles,

sommets, diagonales...

 

 

Une des méthodes de fabrication ou de

réduction des métonymies et des synécologies

consistera à donner un élément d’une

série pour un autre élément de la même série.

“ La France a besoin de bras”, “ce quadrilatère

est fier d’exhiber ses quatre axes de symétries”.

On voit que la façon de travailler de la

métonymie est liée à une contiguïté de deux

termes sur une de ces séries. On peut constituer

des chaînes de métonymies possibles.

On voit tout l’intérêt que l’on peut tirer de

cela pour observer les mécanismes de

recherche des élèves, en géométrie ou non,

basée en partie sur ces véritables “trajets

métonymiques”.

Les passages de l’équation

(x+ 7) 2 – 2x – 14 = 0

à  (x+ 7) 2 – (2x + 14) = 0

à  (x+ 7) 2 – 2(x + 7) = 0

à  (x + 7) (x + 5) = 0

est de l’ordre de la métonymie. Par contre, le

passage à x + 7 = 0 ou x + 5 = 0 relève de la

métaphore.

 

la métaphore

 

 

La métaphore est donc la composée de

deux synecdoques : la première généralisante

(perte de sème, abstraction), la seconde

particularisante (gain de sèmes, “concrétisation”)

: c’est l’inverse pour la métonymie.

Exemples :

— erreur, incertitude, troncature, arrondi,

moyenne, espérance.

— affine par morceau, en escalier, col, filtre,

voisinage, base (d’un triangle), d’un solide, de

voisinage, d’un espace vectoriel, adhérence

(!), frontière, maximum, sommet, raffinement,

chaîne, treillis, limite.

Mon expérience personnelle concernant

cette figure en mathématiques me conduit à

distinguer par rapport à ces cas extrêmement

nombreux, deux attitudes :

Ou bien j’adopte le point de vue grammatical,

c’est-à-dire “définitoire” : j’adopte la

définition de la “limite” qu’on me donne par

exemple, en considérant le signifiant “limite”

comme entièrement nouveau. Cette attitude est

généralement adoptée dans 99 % des cas (malheureusement).

L’avantage est que l’on peut travailler

efficacement à court terme, sans se

poser de question, tout de suite, dans un

domaine bien délimité des mathématiques

(celui où a été introduit la notion).

Ou bien j’adopte de point de vue rhétorique,

c’est-à-dire que j’accepte de sentir l’écart entre

mon idée usuelle de limite et celle qu’on me donne

maintenant. Alors il faut réduire l’écart ! Cela

peut être long et douloureux à court terme, la

définition donnée n’est pas opérationnelle tout

de suite. Je dois passer par des stades divers

qui diminuent peu à peu l’amplitude de l’écart

“perçu-conçu”. Mais le bénéfice est immense ensuite.

On gagne en profondeur, en étendue (extension

et adaptation plus rapides à d’autres

domaines des mathématiques ou d’ailleurs).

Les avatars de la définition de limite dans l’enseignement

depuis quarante ans me semblent explicables

seulement par une tentative désespérée

(et à mon avis illusoire) de faire adopter par

l’élève toujours le point de vue grammatical et

d’escamoter le point de vue rhétorique pour lui.

A long terme, cela me semble inefficace :

d’ailleurs, nous enseignants, c’est toujours le

point de vue rhétorique que nous avons (heureusement).

Seulement est-il honnête de demander

à un élève de mettre au congélateur son expérience

usuelle de la limite, pour lui éviter de

vivre quelque temps un conflit ? Et si c’était

justement le conflit qui était le moteur de la

compréhension ? Ici et ailleurs ?

 

Un exemple plus courant en 6ème ou en

primaire : base d’un triangle et hauteur.

Est-il sain, sous prétexte que plus tard le

mot hauteur ne sera pas lié à la verticalité

d’apprendre tout de suite à l’élève que [BK]

est la hauteur du triangle ? Je dis non ! (C’est

un point de vue). Il faut que la hauteur soit

d’abord [AH], pendant longtemps. Puis il va

être confronté à une métaphore liée à la possibilité

de tourner la figure pour que [BK]

soit vertical. Il y a là toute une rhétorique du

signe iconique ([1] et [2]) qui va nous aider à

gérer avec lui ce nécessaire conflit. Ensuite à

le dépasser. Ensuite le mot hauteur prendra

un nouveau sens, etc

 

moment rhétorique

 

 

 

C’est une vision commode de la métaphore, liée

à des équivalences. Réduire une métaphore

peut donc consister à construire et calculer une

4ème proportionnelle. Les travaux sur la proportionnalité

comportent ainsi deux approches :

une liée à “produit des extrêmes” = “produit

des moyens”, une autre fondée sur des “métaphores”

importées d’un domaine à un autre

et faisant intervenir les morphismes.

Nous ne développerons pas plus avant, sauf

pour signaler que dans les équations, le passage

de :

6 + 2x = 30   E1

à 3 + x = 15   E2

à x = 15 – 3    E3

relève de l’équivalence “a le même ensemble

de solutions que” et donc relève de la métaphore.

Le passage de E1 à E2 , puis à E3 relève de l’équivalence,

de la paraphrase, de la similarité, aussi

dans notre problème, le passage de :

+ 900 = – 180x + 8500

à 900 = – 180x + 8500

est-il de ce type.

 

 

 

On a donc, en tenant compte de ce que nous

avons dit plus haut deux axes de travail sur

les équations. Un axe lié à la contiguïté, à la

synonymie, à la métonymie. Un axe lié à

l’équivalence, à la similarité, à la paraphrase,

à la métaphore. La résolution d’une équation

se présente donc comme un trajet du

type suivant :

 

 

 

Remarque : Le passage du problème concret

à l’équation est fait sur l’axe de la similarité,

dans l’ordre de la métaphore. Or les enfants

ne se distribuent pas de la même façon par rapport

à ces axes. Devant 2x + 5x – 2 = 3x + 18,

il y a deux types de réactions (persistantes !) :

1) 7x – 2 = 3x + 18 (contiguïté, métonymie)

2) 2x + 5x – 3x = 2 + 18 (similarité, métaphore)

Un peu comme devant le mot maison

(Jakobson, [12]), on peut observer deux types

de réactions

maison→fenêtre →porte →toit →jardin

ou :

maison →hutte →cabane →palais →villa…

Le rapport des adolescents à ces types de

figures dans les équations mériterait une

étude particulière.

 

 

George J. Lewis est un acteur américain né le 10 décembre 1903 à Guadalajara (Mexique), décédé le 8 décembre 1995 à Rancho Santa Fe (Californie).

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