FIGURE PAR PERMUTATION

 Toile de magritte, intitulée "le viol"

 

TRANSGRESSION PAR PERMUTATION

Terminons par deux figures meurtrières :

l’antimétabole et l’attelage. Dans le problème

précédent on a la phrase :

(90 – x) 2 = 8100 – 180x + x 2

car (x y) 2 = x 2 – 2xy + y 2

Il y a deux occurrences de x qui ont deux sens

différents dans la même phrase : dans la première

partie c’est une inconnue tandis qu’ensuite

c’est une indéterminée.

Dans le problème de l’encadré ci-contre,

le mot hauteur a trois occurrences correspondant

à 3 sens différents : 1) droite 2) segment

3) nombre. On a là une antimétabole

(plusieurs occurrences du même mot avec

des sens différents dans le même énoncé).

De graves incompréhensions résultent d’une

mauvaise gestion de cette nécessaire figure.

 

 

 

 

Exercice : On donne ce triangle ABC et son

orthocentre. Trouve un valeur approchée

de son aire.

Je sais que les trois hauteurs (1) du triangle

se coupent en H. Je trace (AH) qui coupe (BC)

en M. Je trace la hauteur [AM] (2). Puis, après

mesures, je prends le demi produit de la base

BC par la hauteur AM (3).

 

 

 

 

Autre exemple : [OA] et [OB] sont deux rayons

d’un cercle de 3 cm de rayon.

Ou : la première coordonnée d’un vecteur

s’obtient en enlevant la première

coordonnée de A à celle de B.

Ou encore : pour retrouver l’abscisse du point

de (x’Ox) situé sur la droite d’équation

y = 2x – 6 , je résous l’équation 2x – 6 = 0.

Voilà pour le langage naturel. Mais en langage

symbolique, il y a aussi de nombreuses

antimétaboles :

(3.2) .U : deux sens de “ .

3.(U.V) : deux sens de “ .

[(3.2) .U] .V : trois sens de “ .

 

 

[f + g] (x) = f(x) + g(x) : deux sens de “ +

absc. (U + V) = ab(U) + ab(V)

: deux sens de “ +

f(U) + f(V) = f(U + V ) : deux sens de “ +

Dans la convention d’Einstein : (ixei).ei = ix ,

“ i ” n’a pas le même sens des deux côtés.

(2a + 3) 2 = 4a2 + 12a + 9 ,

car (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 : on a deux

sens du “ a ”.

Et en analyse réelle quand on étend une fonction

f à l’ensemble des parties en écrivant

f(A) pour f*(A) !

Un cas particulier plus sophistiqué est

l’attelage. Cette fois-ci, une même occurrence

d’un même mot (symbole) assume deux

sens différents. On connaît : “ En remuant la

cendre de leur foyer et de leur coeur”. On

connaît moins : Le produit a est nul si l’un

des facteurs est nul: = ou a = 0 (2 sens).

Ou : “ le premier nombre premier est 2”.

On peut sourire, mais songeons à une classe

“concrète” de 6ème.

“ L ‘aire d’un carré est égale au carré de

son côté” ! !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il existe un type d’antimétabole qui peut

être redoutable pour la compréhension future

de l’élève si elle est mal gérée : c’est l’antanaclase.

“ Le mot, ou le symbole, est répété dans

deux sens différents et incompatibles” : Le

coeur a ses raisons que la raison ignore.

Si deux plans sont parallèles, toute droite

parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

Par contre, si d // P et si d’// P, alors on

ne peut pas dire d // d’. Il ne s’agit pas de la

même relation, mais les mots et les symboles

restent les mêmes.

u 0

u

Nous pourrions continuer longtemps, en

travaillant sur chaque niveau. Nous ne le

ferons pas. La figure est encore plus délicate

quand il y a aussi des ellipses :

Exemple : “ brûlée de plus de feux que je n’en

allumai”.

Ou : αβUV pour (αxβ).(U.V) donc trois produits

différents.

 

 

 

Ou encore plus pervers :

[3f](2X) ,

Ellipse d’une ellipse d’une

loi externe pas de loi loi interne

On appellera ce type de figure composée d’une

antimétabole et d’une ellipse un “zeugme” : le

symbole est supprimé deux fois ou plus, mais

dans des sens différents.

Nous allons seulement terminer sur un

métalogisme par permutation qui joue un

rôle important : l’inversion. Rappelons que

les métalogismes portent transgression du

rapport au réel, mais qu’il n’y a pas altération

du code. Dans notre problème : (90 – x 2) ; il

s’agit de prendre le carré d’une différence.

Exemple : (8 – 3) 2.

Dans la réalité, pour prendre le carré

d’une différence, il faut d’abord faire la différence,

puis prendre le carré. Code parlé : 1) carré,

2) différence. Réel : 1) différence, 2) carré. Il

y a renversement dans le discours de l’ordre

dans lequel se succèdent les idées dans la

pensée.

 

 

 

On pourrait aussi parler du paradoxe lié

au raisonnement par l’absurde que l’on peut

rencontrer couramment. Ou encore, par

exemple, en géométrie dans l’espace, des para-

-doxes qui naissent des visions différentes de

l’orthogonalité selon que l’on est dans telle face

d’un cube ou dans telle autre.