éléments de théorie (détails)

 

 

 LE PROJECTEUR RHETORIQUE

Ombres et lumières sur les “erreurs ”

en algèbre et en géométrie

au collège (et ailleurs)

Alain MAGEN

Irem des Antilles et de la Guyane

 

Repas dansant (samedi 17 octobre à 20h, salle des fêtes)

Organisé par l’Amicale, animé par Richard Hennick, musette et variété - Tarifs non adhérent de plus de 11 ans : 23 €, enfant de 6 à 11 ans 6 €, gratuit pour les moins de 6 ans - Inscription ( 03 80 81 55 98 ou 03 80 91 48 04.

 


“Si le langage était parfait, l’homme

cesserait de penser”

(K. Valéry )

“C’est que je ne m’émeus pas facilement

maintenant et de moins en moins.

Elle a tant sonné, ma sensibilité,

que j’ai mis du mastic aux fêlures :

c’est ce qui fait qu’elle vibre moins clair.”

(Flaubert)

“La surprise est le grand ressort du nouveau”

(G. Apollinaire)

 

 

 

 

 

INTRODUCTION

Les remarques qui suivent sont à prendre

simplement comme le témoignage d’un enseignant

de collège, usé prématurément par

trente ans de lutte contre les mêmes “fautes”

ou “erreurs” d’élèves, en calcul algébrique ou

en géométrie… des calculs du type :

ou , des hauteurs [AH] qui font

un angle de 60° avec [BC], des primitives

d’un produit qui sont le produit des primitives,

sans parler des volumes de cube qui doublent

servilement quand on double le côté.

 

(le titre de cette oeuvre de magritte est très signifiant: " l'explication"

Je n’ai pas pu me consoler en me disant que mon métier était de corriger ou même de transformer positivement ces erreurs. J’ai cherché à faire le tri entre elles, en distinguant suivant le remarquable conseil de G. Glaeser

[11] le fortuit et le significatif, le symptôme et la cause, l’instable et le persistant. Pour la majorité des élèves elles étaient persistantes au moins sur deux ou trois ans (parfois elles disparaissent momentanément et reviennent en force trois mois après chez le même adolescent).

 



 
 

 

Et surtout, elles décidaient (c’est 2

ou 18, qu’on le veuille ou non) de l’avenir mathématique

de l’élève, de façon tellement brutale

(dans la mesure où se jouait là le rapport

de l’élève aux maths, sinon au symbolique,

sinon au savoir, sinon à l’école, sinon à lui-même)

que je peux dire “c’est de l’avenir tout court

qu’elles décidaient”. (Je ne culpabilise pas pour autant :

je ne suis pas responsable d’une société qui organise ce type de gâchis). La

théorie des deux faces de l’erreur est séduisante,

mais il faut avoir en permanence deux

paires de lunettes, une pour chaque face. De

plus, elle m’a toujours fait penser à la définition

des parties que donne Flaubert dans son dictionnaire :

 

PARTIES : Sont honteuses pour les uns,

naturelles pour les autres.

J’ai donc cherché un projecteur qui me permette

d’y voir plus clair par certains côtés et

évidemment, moins clair par d’autres (mais

c’est le propre de tout projecteur).

 

 

UN VIEUX PROBLÈME

 

Je partirai d’un vieux problème que je donne

à mes élèves dans toutes les classes (à partir

de la 4ème) et je ferai quelques digressions à

l’occasion. Je ne suivrai pas, non plus l’ordre

naturel. Ce problème a traversé les siècles et

les civilisations. On le trouve dans les traités

hindous, arabes, italiens, français du moyen

âge...

Deux arbres, l’un de 30 m. de hauteur,

l’autre de 20 m. sont séparés par une distance

de 90 m. Un morceau de viande se trouve en

un endroit M sur la ligne joignant les pieds

des arbres. Deux oiseaux, de même force, sont

au sommet de chacun de ces arbres. Ils partent

en même temps des sommets et se jettent

sur la viande. Ils arrivent en même

temps en M.

A quelle distance du plus grand arbre

se trouve la viande ? On donnera une solution

algébrique, une graphique et une géométrique.

 (le tableau ci-contre de magritte, "la mémoire" nous rappelle que celle-ci est affaire surtout d'émotions )

 

1. LECTURE DU TEXTE

Je ne m’étendrai pas sur cette question, mais d’emblée on peut remarquer qu’il faut l’interpréter. Il ne sert à rien ici de comprendre le vocabulaire, la syntaxe, si le texte n’évoque pas que :

  Les arbres sont verticaux

  Le sol est horizontal

  La ligne qui joint les pieds des arbres est un segment de droite (ou une droite ?)

  Les oiseaux “de même force” (vont à la même vitesse)

  Il n’y a pas de vent !!

  Ils se jettent (ligne droite)

Il faut donc mettre à jour des “présuppositions”.

Il y en a toujours beaucoup en mathématiques et il est très dangereux de faire croire à l’élève qu’il n’y en a pas. Le fait

de dire “un endroit M”, “en même temps en M” permet de comprendre que M est un point (habitude d’élève). L’élève va donc pouvoir considérer un arbre comme un segment, etc. Il va même peut-être choisir des noms pour d’autres lieux.

Le texte a fabriqué un lecteur modèle.

le tableau ci contre de magritte, "les valeurs personnelles" nous dit aussi qu'un élève, comme nous d'ailleurs, lit un texte d'abord avec ses propres valeurs.

 
 

Contrairement à ce que l’on pourrait penser, les élèves les plus efficaces ici ne seront pas ceux qui seront les plus prudents dans leurs

évocations, mais ceux qui vont délirer le plus :

cela se comprend aisément. En effet, l’aptitude à interpréter un texte et donc à symboliser dépend de quatre activités :

  Évoquer

  Narcotiser certaines informations réelles ou évoquées

  Réactiver des infos “endormies”.

  Aimanter certaines d’entre elles pour créer des liens stables et pertinents.

C’est cela qui permettra à l’élève de faire une figure pertinente

d’une part, puis après de faire fonctionner des scenarii opératoires

: théorème de Pythagore,théorème de la médiatrice…

L’élève construit à partir du texte des mondes possibles qui seraient plus

ou moins facilement “mathématisables”.

On voit tout l’intérêt que le professeur de mathématiques peut porter aux théories de la narration.

 

 

 

 

 

Nous reviendrons plus tard sur la figure,

mais notons qu’ici elle n’est pas là pour ellemême,

elle n’est pas là pour une classe de situations,

mais elle est là pour représenter la

situation géométrisée. Elle serait plutôt de l’ordre

iconique (si elle avait été là pour elle-même,

elle relèverait plutôt du signe “plastique”).

On a donc un fonctionnement qui relève

du schéma suivant .

 

Exemple :

— dans l’objet, l’arbre n’est pas exactement

vertical, ni le sol horizontal,

— dans le référent, l’arbre idéal est exactement

vertical, le sol exactement horizontal,

— dans le signifié l’angle AHK est droit,

— dans le signifiant, AHK est à peu près

droit...

 

 

 

 

 

 

 

 

Signifié

Deux triangles rectangles

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Objet :situation réelle

Référent

Arbre idéal et sol idéal

 

Signifiant :

Ce dessin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

2. LES TROIS SOLUTIONS.

Solution algébrique du “bon élève”

Choix de l’inconnue.

Il y a beaucoup d’inconnues : le nom des

oiseaux, les distances MA, MB,

le poids des oiseaux, la vitesse des

oiseaux … Quatre sont pertinentes (après

réflexion ) : MA, MB, MH, MK.

J’en choisis une comme principale : la distance

MH. Je vais lui donner un nom : x

MH = x

MK = 90 – x

etc. MA = MB

Mise en équation

MA2 = MB2

x 2 + 30 2 = (90 – x) 2 + 20 2

x 2 + 900 = 8100 – 180 x + x 2 + 400

x 2 + 900 = 8500 – 180 x + x 2

900 = 8500 – 180 x

J’interprète l’équation :

 

 

Solution graphique

On dresse deux tableaux numériques pour

deux fonctions.

Par exemple : a(x) = x 2 + 900

et b(x) = (90 – x) 2 + 400.

On trace les graphiques des deux fonctions

sur papier millimétré.

Les deux courbes se coupent en un point E.

L’abscisse de E donne la solution , soit environ

42 m.

– 7600

x(–180) + 8500

/(–180) – 8500

x

42,2 900

La distance cherchée est 42 m.

 

 
 

 

 

 

Solution géométrique

Je trace sur du papier millimétré, à l’échelle un millième

, HK = 90 , AH = 30 , BK = 20.

MA = MB

donc M est sur la médiatrice de [AB] : Δ.

M doit être sur [HK].

Δ coupe HK en un point : c’est le point M

cherché.

Je mesure HM.

Je trouve 42 mm à peu près.

 

 

 

3. AMBIGUÏTÉS ET PREMIÈRES

FIGURES DE RHÉTORIQUE

Suivons le conseil de Flaubert : “ Si tu

veux des perles, jette-toi à la mer.”. Nous allons

en examiner quelques-unes.

Les premières vont nous permettre de

chercher un bon projecteur. Nous utiliserons

cet outil ensuite. Une difficulté déjà : la distinction

entre l’inconnue (la distance de M à

H) et le nom de l’inconnue : x. On connaît les

conséquences pédagogiques de la confusion.

L’enjeu, c’est la distinction entre signifié et signifiant.

C’est du côté de la linguistique que

nous irons chercher : la distinction entre “la

chose” et “le nom de la chose”. La confusion

est entretenue par nous et par les manuels.

Les problèmes n’ont jamais “une seule inconnue”,

même si on se limite aux pertinentes.

Quand je dis “je me ramène à une inconnue”,

je dis seulement que je vais exprimer le nom

de toutes les inconnues pertinentes en fonction

du nom d’une de ces inconnues. En fait,

je donne au “signe” les propriétés de la chose,

comme quand un sot dit : “ le croissant étouffera

la croix au petit déjeuner” ou “la couronne

a rendu la justice”. Il s’agit d’une attitude

rhétorique, et plus précisément, nous le verrons

plus tard, d’une métonymie du signe.

 

 

 

 

Un deuxième exemple. Quand l’élève décide

d’interpréter “ 8100 – 180 x ” comme :

“ + 8100 – 180 x ”,

il doit restituer d’abord un signe absent (+),

c’est-à-dire lire d’abord l’expression comme :

“ + 8100 – 180 x ”, un peu comme quand il entend

“ ’man ” et qu’il sait qu’il s’agit de “maman”.

Observons le mécanisme :

1) il a conçu + 8100

2) il a écrit 8100

plus loin

3) il a perçu 8100

4) il a conçu + 8100

Le 1) et le 2) correspondent à la fabrication

d’une figure de rhétorique particulière

(l’aphérèse). Le 3) et le 4) correspondent à

la lecture de cette figure. Liquidons tout de suite

l’idée selon laquelle ce comportement serait

anodin : on peut formuler l’hypothèse qu’il est

à la base d’innombrables erreurs en calcul. La

mauvaise gestion de la suppression du “ + ”

a des conséquences incalculables. Voici une

dérive fréquente :

+3 → 3 , + n’a pas d’importance, donc a + b

est lu ab , donc écrit ab , confusion alors avec

la multiplication pour certaines propriétés...

etc.

De même : – 7 – 3 = – 4 n’est qu’un refus de

voir le + dans (–7) + (–3) ainsi que les parenthèses.

Bien sûr, dans le premier cas, la disparition

porte sur un signe prédicatoire, dans le

second, sur un signe opératoire.

Nous allons faire un mini-inventaire de

ces lieux d’ambiguïté en les classant suivant

les mécanismes qui y conduisent, puis nous

mettrons en évidence deux catégories de règles

en mathématiques et en géométrie dont la nature

explique la majorité des erreurs d’élèves du

point de vue de “l’application” de règles.

Enfin, nous en déduirons des pistes d’enseignement

ou de remédiations. (le vilain mot).

 

 

 

même chose pour ce parallélogramme

mis en géométrie dans l’espace pour un carré.