Echecs en maths côté pédagogique (25%)

 

4ème. Pythagore. Admis dans cette classe sans démonstration, mais après deux belles

justifications.Les meilleures, car ce sont des manipulations.Les voilà d'ailleurs: elles sont bien

 connues .La première : C1 = K-4T et C1+C2 = K- 4T

d'où Pythagore     C1= C2 +C3

Bien sûr , il faut du carton et "découper".

le second découpage

 

La suivante explication est encore plus magique ( par "expliquer un résultant", j'entends "rendre

évident ce résultant"

Là aussi, si on ne découpe pas, on passe à côté de l'essentiel.

une démonstration pour la 3ème

 

Ces justifications suffisent largement pour la quatrième.

On peut en troisième tenter alors, un an après ( quand existera-t-il des groupes de recherches sur

l'écologie des programmes ?) tenter la splendide démonstration du mathématicien Georges

 Bouligand.

En effet, on a en troisième le théorème sur les agrandissement/ réduction.

"Quand on multiplie les côtés d'un triangle par k, son aire est multipliée par k²".

Ensuite, on a besoin d'un lemme, c'est à dire d'un théorème intermédiaire qui se prouve sans

difficulté et qui a une importance culturelle décisive, bien que les programmes aient commis la

 faute de l'escamoter en collège:

"Si deux triangles ont les mêmes angles, l'un est une réduction de l'autre"

Les outils sont là.

Soit un triangle rectangle ABC. On trace la hauteur AH. Elle partage le triangle en deux triangles

rectangles

 ayant les mêmes angles que ABC: ABH et ACH.

On trace un trace un triangle rectangle d'hypoténuse 1( unité) et ayant les mêmes angles que

ABC, donc que les deux autres. Appelons T l'aire de cet étalon.

Les hypoténuses des 3 triangles sont AB, AC et BC et sont donc les coefficient d'agrandissement

 de l'étalon!

L'aire de ABH est AB²*T

Celle de ACH est AC²*T

Celle de ABC est BC²*T.

Comme l'aire de ABC est la somme des aires de ABH et de ACH.

donc BC²*T = AB²*T + AC²*T

d'ou BC²= AB²+AC²

et voilà!!!

 

Cette notion et cette étape, le lemme, est une vieille technique pédagogique qui simplifie

énormément l'appropriation d'une démonstration.

Elle joue le rôle d'une marche d'escalier intermédiaire et permet une vision plus globale .

Deux ou trois lemmes rendent l'articulation d'une démonstration plus visible, plus mémorisable

aussi à long terme.(Songeons à son rôle possible dans l'apprentissage d'un "r;o.c" par exemple.

J'ai cherché dans les programmes cette notion : elle semble avoir disparu.

Pourtant, si pour des élèves brillants elle peut paraître inutile, pour la majorité et surtout pour les

élèves en difficulté, elle simplifierait beaucoup les choses.

Quand je m'interroge sur cette étonnante disparition, je ne peux pas m'empêcher de penser à une

suppression analogue qui a bloqué une majorité d'élèves en calcul littéral.

Ce sont les concepts intermédiaires que sont les monômes , les mônomes semblables, les

polynômes, les fractions rationnelles qui ont disparu des programmes de collèges et même de

 lycée, bien qu'on laisse parfois échapper le "mot", ce qui est bien ridicule en regard de l'outil

pédagogique qu'ils peuvent constituer pour l'apprentissage du calcul littéral.

Un excellent élève de collège et de lycée peut s'en passer en ramenant un  calcul un peu long

à la manipulation d'associativité et de distributivité sur les nombres.

Mais pour un élève courant, ou en difficulté, les raisons pour lesquelles on ne peut pas grouper

3x² et 5x, ou réduire 3+2x, pourquoi le prof s'acharne à écrire 3x au lieu de x3 dans un calcul un

peu long sont peu claires sont trop " loin": redescendre à la distributivité, ou à l'associativité ou à

 une règle de priorité est trop complexe : il faut des stades intermédiaires qui seraient le concept

 de monômes, de produit de monômes, d'additions de monômes semblables, ect...

Le fait de supprimer ces marches d'escalier en pédagogie pénalise toujours les élèves moyens ou

 en difficulté et conduit  à cette aberration qu'est un enseignement tronqué du calcul littéral qui

 élimine tout de suite, en collège, ou plus tard , au lycée. Parce que vient un moment où l'intuition

 dans le calcul littéral est nécessaire , et une longue pratique est nécessaire pour cela.

Ceux qui ne le maîtrisent pas seront impitoyablement éliminés et sans perspectives en

mathématiques courantes.( l'opposition avec le calcul numérique n'est pas recevable :

les deux s'éclairent mutuellement de façon permanente).

On pourrair trouver bien d'autres exemples.

Ainsi, il me semble que la suppression de marches intermédiaires dans les programmes peut

 fonctionner comme un accélérateur de l'échec en maths : d'où la nécessité d'une large

 concertation des enseignants quand ces suppressions sont envisagées.

escalier ou sentier continu ?

Cela ne veut pas dire qu'il faut systématiquement découper le gigot en petits morceaux avant de

 le proposer à l'élève: loin de là. Il vaut mieux le lui présenter entier et lui laisser trouver le

découpage adéquat, le découper lui même: ce sont les résistances justement qui le feront avancer.

Mais la durée de cette phase sauvage peut avoir des conséquences inégales sur l'évolution de

 l'élève suivant que la notion doit être maîtrisée rapidement ou non .

Quand il s'agit de questions qui conditionnent la poursuite des études en maths, on doit proposer

 des découpages qui ont fait leurs preuves, et la dialectique tout/parties permettra de faire à

rebours ce que l'élève concerné n'a pu faire seul, Mais on ne peut laisser aux seuls bon grimpeurs

le plaisir et le privilège de profiter des sommets de l'escalade : pour certains, on met des pitons.

Sinon, on participe à l'entreprise programmée par certains milieux d'augmentation systématique

de l'échec scolaire, bien que la pédagogie n'ait pas la plus grande part de responsabilité dans ce

sinistre mouvement.

Par exemple, je peux tenter de faire émerger la notion de groupe à partir d'expériences

numériques ou géométriques variés étudiées directement.

Mais une fois que certains élèves réels commencent à se tirer d'affaire, si pour cette classe la

notion est décisive pour la suite, je dois construire un escalier dont les marches peuvent être par

exemple:

complexe, complexe unitaire, groupoïde, demi-groupe, demi-groupe inversif, semi-groupe,

quasi-groupe, groupe.

On voit que dans la démarche des premiers, la construction du sens est directement sollicitée et

 conquise. Ils peuvent ensuite revenir à une organisation logique, à la signification.

Dans le cas des seconds, c'est la signification qui est construite et c'est à partir d'elle que se

construira le sens.