LES AMOURS DE L EQUERRE ET DU COMPAS ( courbes )

Manipulations enfantines de courbes savantes

Il s'agit ici de faire tracer a des enfants de CM1, 6ème, 5ème ou plus, des courbes connues en utilisant l'equerre et le compas, soit directement sur papier, soit en utilisant un logiciel de géométrie dynamique comme cabri, ou geogebra, ou carmetal ou geom. Le niveau mathématique est au maximum celui de 5ème ou début de 4ème ( celles ci sont marquées d'un double astérique). Ces dernières ont comme base au départ le report sur un cercle de l'abscisse d'un point variable de l'axe des abscisses, tandis que les autres ont comme base le choix d'un point variable d'un cercle

J'ai souvent fait faire des expositions préparées hebdomadairement par des élèves en traçant les courbes point par point.

En Guadeloupe, notre collègue de l'irem,

Violetta Colletin, le fait contre vents et marées

depuis des années.

 

Voici des textes tout prêts pour manipuler sur un logiciel (ici cabri). Grands et petits peuvent s'y lancer.

J'ai transformé les équations pour que seules des manipulations géométriques simples interviennent.

Charles Perraut avait écrit au 17ème siècle un joli petit poème intitulé : " les amours de la règle et du compas". Il est plus simple de choisir ici l'équerre , car les enfants maintenant tracent plus volontiers une perpendiculaire avec une équerre qu'avec un compas et une règle.

Dans certains cas, marqués d'un double astérisque, on a besoin de reporter une longueur sur un cercle, ce qui ne peut être fait qu'avec un ordinateur, à moins que ne se glisse dans le  couple amoureux compas-équerre un troisième larron qui serait l'odomètre, instrument à roulette permettant cette dernière opération.

Il y a seulement une cinquantaine de courbes ici prévues.

Il est important, pour le plaisir de l'élève, une fois qu'il a réalisé la construction, de l'automatiser en faisant une macro ( c'est capital pour la "récompense" et l'esprit de synthèse .

Ensuite, j'ai mis une feuille de "plaisirs possibles" à partir de la construction, plaisirs qui débouchent sur des émotions esthétiques librement explorées.

Mais ne jamais laisser l'enfant rester sur la courbe, fin de la phase de construction : il s'agit de le préparer à rebondir sans cesse.

 

Voici au départ quelques conseils préalables pour l'élève qui permettent de le rendre autonome et imaginatif et qui lui serviront après chaque courbe.

Conseils préalables ( élève): 1-stocker ton travail

 

Préalable pour stocker ton travail

 

 

1.  1. Quand tu as fini une figure dans Cabri, tu peux l’enregistrer ainsi :

2.  tu vas dans « fichier », puis enregistrer.

3.  une fenêtre s’ouvre, probablement dans « mes documents »

4.  tu cliques droit sur la souris

5.  puis « nouveau »

6.  puis « dossier »

7.  tu tapes par exemple « MOI » à la place de « nouveau dossier »

8.  Tu cliques sur « ouvrir »

9.  tu tapes le nom que tu veux donner à ta figure

10.                  tu cliques sur « enregistrer » et cabri l’enregistre dans le dossier « MOI » que tu as créé.

     11.Quand tu auras besoin de retrouver une figure, tu ouvres cabri, tu vas dans « fichier », puis « ouvrir » et une fenêtre s’ouvre. Tu verras le dossier « MOI », tu cliques dessus. Le dossier s’ouvre et tu choisis la figure que tu voulais. Tu cliques dessus et la figure s’ouvre dans l’état où tu l’avais enregistrée.

Conseils préalables ( élève): 2- enregistrer une macro

 

Pour les macros

 

1.    Pour enregistrer une macro, tu sais le

 

faire, mais je te le rappelle :

 

·      Tu cliques sur les objets initiaux

 

·      Tu cliques sur les objets finaux

 

·    

  Tu cliques sur « valider » une macro et

 

une fenêtre s’ouvre

 

·      Tu tapes dans le grand rectangle le

 

texte de l’aide qui te rappelle quels sont

 

 

les objets de départ dont tu as besoin

 

pour exécuter la macro.

 

·      Tu coches la petite case carrée pour

 

enregistrer

 

·      Tu cliques sur « OK »

 

·      Tu peux vérifier que ta macro est dans

 

la boîte de macro de ta session en maintenant appuyé le 7ème bouton.

·     

 

 Tant que tu ne fermes pas Cabri, la

 

macro reste là.

 

Conseils préalables ( élève): 3- retrouver une macro

 

2.    Quand tu as besoin d’une macro que tu as déjà enregistrée quelques jours

 

avant :

·      Tu ouvres Cabri

 

·      Tu vas dans « fichier », puis « ouvrir »

 

·      Le fichier « Moi » s’ouvre, sinon tu le cherches et tu l’ouvres : tu as

 

devant toi la liste des figures que tu as enregistrées

 

·      Malheureusement, tu ne vois pas les macros. Patience : il y a deux petits

 

rectangles en bas, et dans celui du bas il y a écrit « fichiers de figures » et en

 

face il y a une flèche de déroulement (un triangle bleu vers le bas).

 

·      Tu appuies dessus, en maintenant appuyé.

 

·      Une liste se déroule alors et à la deuxième ligne de la liste, il y a le mot

 

magique  « macro »

 

·      Tu cliques dessus et là apparaissent les macros que tu as enregistrées la

 

veille ou la semaine précédente.

 

·      Tu cliques sur celle que tu veux

 

·      Puis tu cliques sur « ouvrir ».

 

·      Ton écran revient et si tu vas dans le 7ème bouton, tu vois en maintenant

 

 

appuyé que ta macro est là.

 

 

 

· Pour l’utiliser, tu l’allumes et tu appuies sur le bouton F1 si tu veux l’aide

 

au cas où tu ne te souviendrais pas des objets initiaux nécessaires pour

 

l’exécuter. L’aide que tu avais tapée en la faisant la semaine dernière se lit

 

en bas de l’écran.

 

 

·      Tu cliques sur les objets nécessaires.

 

Autorisation de délire ( après le travail)

Voici quelques idées pour faire durer et renforcer le plaisir qu'a pu te procurer ton

travail.

 

Autorisation de délire (après le travail)

 

Voici un mode d’emploi libre qui suivra chaque fiche de courbes. Il te permettra de te régaler en cherchant quelques figures plaisantes, au sens qu’elles te permettront de rêver dessus. Un peu comme le plaisir que tu peux avoir à peindre, découper, bouger, combiner, pour servir de « vaisseau spatial » à ton imagination.

 

1.  Il est très important de faire la macro de la courbe car en général en cliquant sur les deux points de départ,parfois trois, tu obtiens tout de suite la courbe : rapidité.

 

2.  De plus, une fois que tu as cliqué sur deux points, tu peux agrandir ou diminuer la courbe à volonté en tirant sur l’un des deux points.

 

3.  Si tu veux déplacer la courbe sans la changer, voici une astuce commode :

·      Une fois la courbe tracée à partir des deux points avec la macro, tu crées le segment [OA]qui les joint

·       puis tu attrapes le segment avec la souris et tu le tires où tu veux sur l’écran.

·      S’il y a trois points de départ, tu traces le triangle de ces 3 points et c’est lui que tu déplaces.

 

4.  Tu peux aussi épaissir la courbe avec la commande « épaisseur » du dernier bouton.

 

5.  Tu peux aussi animer la courbe en la déformant :

·      Pour cela, une fois que ta macro est faite, tu effaces tout.

·      Tu choisis par exemple O

·      puis tu dessines quelque part, pas trop loin, un segment, un triangle, un cercle ou un polygone.

·      Tu choisis alors un point A sur cet objet que tu as dessiné.

·      Avec ta macro tu construis d’un coup la courbe en désignant O, puis A.

·      Ensuite, tu vas dans « animation », avant dernier bouton, et tu tires A : la courbe s’anime en se déformant.

 

6.  Tu peux essayer de faire la même chose en changeant le rôle de O et A : tu choisis un point A n’importe où, puis tu dessines un cercle par exemple , tu places le point O dessus, tu construis la courbe avec la macro, puis tu animes en tirant sur O.

 

7.  Tu peux aussi bouger la courbe sans la déformer. Voici comment :

·      Tu prends un segment s dans un coin en haut.

·      Tu dessines par exemple un cercle, ou un polygone, ou un segment grand (appelons-le w)

·      Tu choisis un point O sur cet objet

·      Avec la commande « compas », tu traces un cercle de centre O et ayant pour rayon le segment s (tu allumes, tu montres O et tu montres s)

·      Tu marques un des points de rencontre de ce cercle avec l’objet de départ et tu appelles ce point A.

·      Tu construis avec ta macro la courbe sur O et A.

·      Ensuite, avec « animation », tu tires sur O ( pas sur A) et le miracle arrive : la courbe se balade sans changer de forme

 

8.  Tu peux imprimer la courbe et peindre ou dessiner des objets à partir d’elles, à ta fantaisie.

 

9.  Tu peux aussi mettre plusieurs sortes de courbes dans la même figure en les  disposant pour que «  ça fasse joli ».

 

10.                  Tu peux aussi avoir envie de donner à ta courbe une très grosse épaisseur.

 

Voici une astuce.

·      Ta courbe étant tracée sur l’écran, tu lui donnes la couleur que tu veux.

·      Tu dessines le segment [OA]

·      Ensuite, tu vas dans l’outil «trace » dans l’avant dernier bouton. Tu cliques sur la courbe.

·      Tu attrapes le segment [OA] et tu le tires comme tu veux.

·      Au lieu de tirer le segment, tu peux seulement tirer A. Tu obtiens de jolis résultats.

 

 

·       Voilà. Un seul problème, c’est que tu ne peux pas conserver les traces

 

obtenues car même si tu enregistres la figure, les traces disparaissent. Voici

 

une astuce pour y remédier :

 

1.  tu appuies sur la touche

« impr écran » au haut du clavier de ton ordinateur : ton dessin a alors été mis automatiquement dans le presse-papier.

2.  Tu ouvres le logiciel « paint » qui est dans ton ordinateur( il est dans «  accessoires » et tu cliques dessus), ou un autre logiciel comme « adobe » si tu as, ou « gimp » qui est gratuit.

3.  quand tu as ouvert ce logiciel, tu appuies sur Control-V sur ton clavier

4.  alors tu vois que ton dessin est collé dans « paint » et tu n’as plus qu’à enregistrer dans un dossier à toi (un sous-dossier de « mes documents par exemple)

5.  Tu peux évidemment aussi travailler ta figure dans le logiciel comme une peinture ou un dessin.

6.Tu peux aussi aller sur internet et chercher le nom du mathématicien dont la courbe porte le nom. Tu peux placer ce nom sur une frise historique que tu peux fabriquer toi-même et que tu rempliras au fur et à mesure de tes travaux.

 

 

Un peu de magie pour pimenter le plaisir

 

Un peu de magie

 

On va faire quelques tours de magie, basés sur une bonne lecture du texte et un peu

 

de logique.

 

1.  Sur une droite

 

·      Trace une droite (d)

 

·      Sur cette droite, tu choisis deux points a et b

 

·      Tu traces le segment [ab]

 

·      Place un point m sur la droite et tire-le pour qu’il semble aussi sur le

 

segment.( En fait, il n’est pas sur le segment)

 

·      Par m, tu traces la perpendiculaire à la droite (ab).

 

·      Tu vas dans le bouton « point intersection », tu cliques sur la

 

perpendiculaire, puis sur le segment (attention, pas la droite) et tu tapes tout de

 

suite p

 

·      Cabri a créé un autre point p juste sur m, et ce point p, tu le mets en épais

 

orange.

 

·      Ensuite tu traces un cercle de centre p et de rayon quelconque. Tu le remplis

 

de « jaune ».

 

·      Puis tu vas dans « animation » et tu tires sur m.

 

·      Tu vas voir apparaître puis disparaître le cercle.

 

2.  Tu peux faire la même chose avec une macro que tu as faite déjà. Tu refais la

 

droite, le segment, le point m, la perpendiculaire, le point p, puis tu fais ta macro

 

avec comme second point le point p

Tu peux aussi faire la même chose avec un cercle de centre o (qui joue le rôle de la

droite, un arc de ce cercle (a, b, c) qui joue le rôle du segment, un point m du cercle,

la droite (om) qui joue le rôle de la perpendiculaire, et le point p intersection de (om)

avec l’arc.

ASTROIDE


ASTROIDE 1

 

  1. Un point O et un point A.
  2. La droite (OA).
  3. La perpendiculaire en O à (OA), nommée (d).
  4. un segement s en haut de l'écran
  5. Un   point M sur (d), qui sera pilote.
  6. Trace avec la commande « compas » le cercle de centre M et de rayon s . Le cercle obtenu coupe la droite (OA) en N et P. (s’il ne coupe pas la droite , on tire M).
  7. Trace le milieu I de [MN] et le symétrique K de O par rapport à ce milieu.
  8. Trace la perpendiculaire de K sur [MN] : elle coupe [MN] en M’.
  9. Demande à Cabri le lieu de M’ quand M bouge. Tu obtiens une courbe.
  10. Trace le milieu J de [MP],le symétrique H de O par rapport à J, puis la perpendiculaire par H à [MP] : elle coupe [MP] en M’’.
    1. Demande le lieu de M’’ quand M bouge : tu as ainsi obtenu une courbe en forme d’étoile qui s’appelle une astroïde.
    2. Pour pouvoir faire des choses intéressantes plus tard, tu vas faire un macro qui te donnera directement l’astroïde quand tu en auras besoin. Tu vas dans le 7ème bouton : 
  • Objets initiaux : désigne O et A et le segment s
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « astroide » : aide O et A. Essaie-la.

astroide-2-1.jpg

ASTROIDE comme enveloppe

ASTROIDE 2

 

  1. Un point O et un point A.
  2. La droite (OA).
  3. La perpendiculaire en O à (OA), nommée (d).
  4. on trace le segment [oa]
  5. Un   point M sur (d), qui sera pilote.
  6. Trace avec la commande « compas » le cercle de centre M et de rayon oa.
  7. Le cercle obtenu coupe la droite (OA) en N et P. (s’il ne coupe pas la droite , on tire M).
  8. On demande à Cabri le lieu de la droite (MN) quand M bouge et et ensuite le lieu de la droite (MP).
  9. 9.  On obtient une famille de droites. On regarde et on s’émerveille. On peut changer la couleur du lieu. On efface le lieu obtenu en cliquant dessus et en tapant « suppr ».On va en haut dans « options », « préférences » puis « lieux », et  on tape 500 points au lieu de 50, on tape OK, on recommence avec « lieu » ,on a encore plus de droites.

Ces droites dessinent une courbe en forme d’étoile. Clique sur le lieu et supprime-le. Puis tu vas dans « options », « préférences »,

« lieux », et tu coches la case enveloppe. Tu obtiens la courbe seule Tu fais maintenant une macro avec comme objets initiaux le point

O, le point A, et le segment [s] ; puis comme objet final le lieu (les deux morceaux)..


astroide-2-2.jpg

ASTROIDE 3

ASTROIDE 3

 

  1. Place un point O et un point A.
  2. Trace le cercle de centre O et passant par A.
  3. Trace la perpendiculaire en O à (OA): on l’appelle (d)
  4. Place un point M sur le cercle
  5. Trace la perpendiculaire de M sur (OA).On obtient le point H. 
  6. Trace la perpendiculaire de M sur (d).On obtient le point K.
  7. Trace le segment [HK]. Trace la perpendiculaire de M sur le segment [HK]. On obtient le point M’.
  8. Demande le lieu de M’ quand le pilote M bouge.
  9. Tu obtiens une astroïde.
  10. Fais une macro avec :
  • Initiaux : O et A
  • Finaux : le lieu
  • Valide : Astroïde géométrique.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


astroide-2-3.jpg

 

ROSACE A 4 PETALES

ROSACE à 4 pétales (méthode 1)

 

  1. Un point O et un point A.
  2. La droite (OA).
  3. La perpendiculaire en O à (OA), nommée (d).
  4. on trace le segment [oa]
  5. Un   point M sur (d), qui sera pilote.
  6. Trace avec la commande « compas » le cercle de centre M et de rayon oa. Le cercle obtenu coupe la droite (OA) en N et P. (s’il ne coupe pas la droite , on tire M).
  7. Trace la droite passant par O et perpendiculaire à [MN] : appelle H le point d’intersection.
  8. Trace la droite passant par O et perpendiculaire à [MP] : appelle K le point d’intersection.
  9. Demande maintenant le lieu de H quand M bouge et celui de K quand M bouge.

Tu as obtenu une courbe en forme de fleur à 4 pétales.

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « rosace à 4 pétales ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


rosace-quadruple.jpg

 

ROSACE A 4 PETALES ( deuxième approche)

ROSACE à 4 pétales  (méthode 2)

 

 

  1. Choisis deux points O et A
  2. Trace la droite (OA)
  3. Trace la perpendiculaire à (OA) en O : tu la nommes (d)
  4. Trace le cercle de centre O passant par A . (attention de bien désigner A)
  5. Choisis un point M sur le cercle : ce sera un pilote
  6. Trace la perpendiculaire de M sur (OA) ; tu obtiens un point H au croisement.
  7. Trace la perpendiculaire de M sur (d) ; tu obtiens un point K au croisement
  8. trace le segment [HK]
  9. Trace la perpendiculaire de O sur [HK]
  10. Tu obtiens un point M’.
  11. Va dans le cinquième bouton et allume la commande « lieu ». Clique sur M’, puis sur le pilote M . Tu obtiens le lieu où se balade M’ quand le pilote M décrit le cercle.
  12. C’est une rosace à 4 pétales.
  13. Fais maintenant une macro : dans le 7ème bouton :
  • Objets initiaux : clique O, puis A
  • Objets finaux : clique sur le lieu ( la rosace)
  • Valider une macro : clique, puis tu tapes dans le nom de la macro :  « rosace à 4 », puis dans le grand rectangle tu tapes «  O et A » ou « deux points » si tu préfères.
  • Puis OK. Ta macro est maintenant dans le bouton des macros. Tu peux le voir en maintenant appuyé le 7ème bouton.
  • Si tu l’allumes, en cliquant sur deux points, elle te donnera autant de rosace que tu veux. En tirant sur A , tu peux l’agrandir. Si tu traces le segment [OA], en tirant sur le segment tu peux la déplacer sans la déformer.
  • Lis maintenant l’autorisation de délire.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

rosace-quadruple-1.jpg

 

Voici une autre approche plus simple

 

ROSACE à 4 pétales  (méthode 3)

 

  1. Deux points o et a
  2. La droite (oa)
  3. Le cercle de centre o passant par a
  4. Un point variable m sur le cercle
  5. La droite (om)
  6. Le symétrique de a par rapport à (om), soit m1
  7. La perpendiculaire en o à (oa), soit (d)
  8. On trace par m1 la perpendiculaire à (d), ce qui donne un point h.
  9. On trace par h le cercle de centre o passant par h
  10. Ce cercle coupe la droite (om) en deux points m’ et m’’
  11. On demande alors le lieu de m’ quand m varie

On obtient une rosace à 4 feuilles  Fais maintenant une macro : dans le 7ème bouton :

  • Objets initiaux : clique O, puis A
  • Objets finaux : clique sur le lieu ( la rosace)
  • Valider la macro : clique, puis tu tapes dans le nom de la macro :  « rosace à 4 pétales »

 

Remarque : tu verras plus tard que ce texte un peu long est simplement résumé par la formule algébrique    r = a*sin( 2 t)

ROSACE A 3 PETALES

ROSACE  à 3 PETALES

 

  1. Un point O et un point A.
  2. La droite (OA).
  3. La perpendiculaire en O à (OA), nommée (d).
  4. Le cercle de centre O passant par A.
  5. Un point M sur ce cercle.
  6. Trace la droite (OM).
  7. Le symétrique m1 de A par rapport à (OM).
  8. Trace (Om1) et le symétrique m2 de Mpar rapport à (Om1)
  9. Puis la perpendiculaire de m2 sur (d): on obtient H.

10. Trace le cercle de centre O passant par H : il coupe (OM) en M’.Puis cache ce cercle.

11. Avec la commande « lieu », désigne M’, puis M : tu obtiens le lieu de M’ quand le pilote M décrit le cercle. C’est une sorte de rosace à 3 pétales.

   Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « rosace à 3 pétales ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


rosace-triple-2.jpg

ROSACE A 6 PETALES

ROSACE à SIX PETALES

 

 

 

  1. Un point O et un point A.
  2. La droite (OA).
  3. La perpendiculaire en O à (OA), nommée (d).
  4. Le cercle de centre O passant par A
  5. Un point M sur ce cercle.
  6. Trace la demi-droite [OM).
  7. Le symétrique m1 de A par rapport à [OM).
  8. Trace [Om1) et le symétrique m2 de m1par rapport à [Om1)
  9. Puis la perpendiculaire de m2 sur (d): on obtient H.
  10. Trace le cercle de centre O passant par H : il coupe [OM) en M’.Puis cache ce cercle.

Avec la commande « lieu », désigne M’, puis M : tu obtiens le lieu de M’ quand le pilote M décrit le cercle.  C’est une sorte de rosace à 6 pétales

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « rosace à 6 pétales ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


rosace-sextuple.jpg

KAPPA DE BARROW

 KAPPA  de Barrow

 

 

  1. Un point O et un point A verticalement par exemple.
  2. le segment [OA]
  3. la perpendiculaire en A à [OA]
  4. un point M variable sur cette perpendiculaire
  5. la droite (OM)
  6. le segment [AM]
  7. avec la commande compas, trace le cercle de centre O et de rayon AM.
  8. Ce cercle recoupe la droite (OM) en deux points M’ et M’’.
  9. 9.  Demande le lieu de M’ quand M varie, puis celui de M’’ quand M varie. Tu as obtenu un kappa.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « kappa de Barrow ».Essaie-la.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

kappa-de-barrow-1.jpg

KAPPA DE BERNOUILLI

 KAPPA de Bernouilli

 

 

  1. un point O et un point A.
  2. le cercle de centre O passant par A.
  3. un point M de ce cercle
  4. la droite (OM)
  5. le symétrique K de M par rapport à (OM)
  6. la parallèle à [OA] passant par M
  7. Elle coupe la droite (AK) en M’
  8. Trace le lieu de M’ quand M pilote.( bouton « lieu »).

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « kappa de Bernouilli ».Essaie-la.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

kappa-de-bernouilli.jpg

DEMI KAPPA

DEMI KAPPA  (avec les tangentes)

 

 

  1. Commençons par faire une macro permettant de tracer la tangente à un cercle issue d’un point donné
  2. Trace un cercle de centre P et place un point Q quelconque extérieur au cercle.
  3. Place le milieu I de [PQ].
  4. Trace le cercle de centre I passant par P .( attention, il faut bien désigner P).
  5. Ce cercle coupe le premier en deux points T et T’, puis cache ce dernier cercle.
  6. Trace les droites (PT) et (PT’) : ce sont les tangentes au cercle.
  7. Fais une macro avec
  • comme objets initiaux le cercle et le point P
  • comme objets finaux les deux tangentes
  • valide sous le nom « tangente à un cercle issues d’un pt »
  • Tu peux enregistrer cette macro : elle te servira souvent.

 

  1. Maintenant efface tout et prends deux points O et A. Trace la droite (OA).
  2. Trace en haut de l’écran un segment s.
  3. Choisis un point M de cette droite et trace avec « compas » le cercle de centre M de rayon s.
  4. Avec ta macro, trace une tangente issue de O à ce cercle. Appelle T le point de contact.
  5. Demande le lieu de T quand M varie. Tu obtiens une courbe qui est un demi-kappa.

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A, le segment s.

 

  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « demi-kappa».Avant de clique OK, je te conseille de noter dans l’aide « deux points et un segment.
  • Essaie-la, en n’oubliant pas qu’il faut te donner au départ un segment et deux points
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

 Note que si tu veux le kappa entier, tu demandes aussi le lieu du deuxième point de tangence T’.

 demi-kappa.jpg

 

 

CARDIOIDE comme podaire

 

CARDIOIDE (comme conchoïde)

 

 

 

 

 

  1. Deux points O et A.
  2. le cercle de centre O passant par A.
  3. la droite (OA) recoupe le cercle en B, et on trace le segment [AB] qui est donc le diamètre.
  4. Choisis un point variable M sur le cercle.
  5. trace la droite (AM).
  6. Avec la commande « compas », trace le cercle de centre M et de rayon AB : il coupe la droite (AM) en deux points M’ et M’’. Cache ce deuxième cercle.
  7.  Demande le lieu de M’ quand M varie, puis le lieu de M’’ quand M varie.
  8. L’ensemble des deux morceaux forme une cardioïde.

 

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

 

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « cardioide comme conchoide ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


cardioide-2.jpg




CARDIOIDE comme conchoide

CARDIOIDE (comme conchoïde)

 

 

  1. Deux points O et A.
  2. le cercle de centre O passant par A.
  3. la droite (OA) recoupe le cercle en B, et on trace le segment [AB] qui est donc le diamètre.
  4. Choisis un point variable M sur le cercle.
  5. trace la droite (AM).
  6. Avec la commande « compas », trace le cercle de centre M et de rayon AB : il coupe la droite (AM) en deux points M’ et M’’. Cache ce deuxième cercle.
  7.  Demande le lieu de M’ quand M varie, puis le lieu de M’’ quand M varie.
  8. L’ensemble des deux morceaux forme une cardioïde.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : les deux morceaux du lieu.
  • Valide « cardioide comme conchoide ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


cardioide-3.jpg

CARDIOIDE comme enveloppe

CARDIOIDE (comme enveloppe)

 

 

  1. Deux points O et P.
  2. le cercle de centre O passant par P.
  3. un point M variable sur ce cercle et on trace (PM)..
  4. On trace par O la parallèle à (PM). On obtient le diamètre [AB].
  5. On trace les droites (MA) et (MB).
  6. On demande le lieu de ces deux droites quand M varie : elles donnent chacune un morceau de la cardioïde.
  7. On voit qu’en fait, quand M bouge, ces droites enveloppent une cardioïde.
  8. Si on veut seulement la courbe, il faut cocher « enveloppe », sinon on obtient des familles de droites qui font deviner la courbe.

 Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « cardioïde enveloppe ».Essaie-la.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

cardioide-4.jpg

BIFOLIUM REGULIER

BIFOLIUM régulier

 

  1. Deux points O et A.
  2. Trace le cercle de centre O passant par A.
  3. Trace le segment [OA]
  4. Trace la perpendiculaire en O au segment [OA]

 nommée (d)

  1. Choisis un point M variable sur le cercle.
  2. Trace la perpendiculaire de M sur [OA] : tu trouves H à l’intersection.
  3. Trace la perpendiculaire de H sur la demi-droite [OM): tu obtiens K
  4. Trace la perpendiculaire de K sur (d) : tu obtiens G.
  5. Trace le cercle de centre O et passant par G. Il coupe la demi-droite [OM):en un point M’ .
  6. Demande le lieu de M’ quand M varie
  7. Ce lieu est une courbe qui s’appelle un bifolium régulier.
  8.  

       Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne O et A.
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « bifolium régulier ».Essaie-la.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

 

bifolium-regulier-1.jpg

BIFOLIUM QUELCONQUE

BIFOLIUM quelconque

 

  1. un cercle
  2. deux points a et b sur ce cercle
  3. la droite (ab)
  4. un point m sur le cercle
  5. la perpendiculaire de m sur (ab) coupe cette droite en h
  6. la droite (am)
  7. la perpendiculaire de h sur (am) la coupe en m’
  8. demande le lieu de m’ quand m est pilote.
  9. tu obtiens un bifolium non régulier que tu peux déformer en agrandissant le cercle ou en tirant sur a ou sur b

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : désigne le cercle, a, b.
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « bifolium quelconque».Essaie-la (attention, pour exécuter la macro, il faut d’abord tracer un cercle, prendre sur ce cercle deux points a et b, puis allumer la macro et cliquer sur le cercle, sur a, sur b)

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


bifolium-quelconque-1.jpg

OEIL OU BOUCHE

ŒIL ou BOUCHE

 

  1. Deux points O et A et le segment [OA]
  2. Un point B sur le segment [OA]
  3. La perpendiculaire en O à [OA] nommée (d)
  4. le cercle de centre O et passant par B
  5. Un point M sur ce cercle
  6. la perpendiculaire par M à (d) : on obtient le point H1sur (d)
  7. le cercle de centre O passant par H1: il coupe la droite (OM) en M1.
  8. La perpendiculaire à (d) passant par M1 coupe (d) en H2.
  9. Trace le cercle de centre O passant par H2 coupe la droite (OM) en M2
  10. On trace la perpendiculaire à (d) par M2 : on la met en pointillé.
  11. On trace le cercle de centre O passant par A. Il coupe la droite (OM) en un point N.
  12. On trace la perpendiculaire à [OA] passant par N. On la met en pointillé.
  13. Les deux droites en pointillé se coupent en un point M’.
  14. Demande le lieu de M’ quand le pilote M bouge ( tu allumes « lieu », tu cliques sur M’, puis tu cliques sur M. Tu obtiens une courbe qui ressemble à un œil ou à une bouche.

 Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : le segment [OA] et le point B
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « œil ou bouche ».Essaie-la.
  • Attention, il faut commencer par tracer un segment [oa], puis placer un point b sur ce segment et c’est ce segment et ce point qu’il faut montrer pour exécuter la macro quand elle est allumée.

Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec


oeil-ou-bouche-raphael-1.jpg

CAUSTIQUE DE TCHERNAUSEN

CAUSTIQUE de TCHERNAUSEN

 

 

  1. Deux points o et a
  2. le cercle de centre o passant par a
  3. le segment [oa]
  4. un point variable m sur le cercle
  5. la parallèle (d) à [oa] passant par m
  6. la droite (om)
  7. la symétrique (d’) de (d) par rapport à (om)
  8. va dans « options », « préférences », « lieux », cocher « enveloppe »
  9. Demander le lieu de (d’) quand m varie comme pilote
  10. on obtient une jolie courbe à deux parties qu’on peut voir dans les miroirs circulaires au soleil.

 caustique-de-tchernausen.jpg

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « caustique de tchernausen ».Essaie-la.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

OEUF DOUBLE

ŒUF DOUBLE

 

  1. deux points O et A
  2. la droite (OA)
  3. le cercle de centre O passant par A
  4. un point M sur ce cercle
  5. la droite (OM)
  6. la perpendiculaire de M sur (OA) qui donne le point H
  7. la perpendiculaire de H sur (OM) qui donne le point M’sur (OM)
  8. Demande le lieu de M’ quand M est pilote
  9. On obtient une sorte de double boucle

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : le segment [OA] et le point B
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « masque de booth ».Essaie-la.
  • Et n’oublie pas l’autorisation de délire : essaie si elle marche et amuse-toi avec

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