4 LES AMOURS DE L EQUERRE ET DU COMPAS

POISSON COMME ANTIPODAIRE

 

  1. On trace un segment aa’ et un point f sur ce segment
  2. Avec la macro « ellipse a a’ f », on trace l’ellipse
  3. On choisit un point m sur cette ellipse
  4. On trace le segment [fm] et la perpendiculaire à ce segment en m
  5. On va dans « options, préférences, lieux », on décoche « lier les points »,  on coche « enveloppe »
  6. On cherche le lieu (ici l’enveloppe) de cette perpendiculaire quand m varie
  7. On obtient un genre de poisson, ou de torpille

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, b
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « Poisson comme antipodaire »

poisson-antipodaire-d-ellipse-pour-un-foyer.jpg

PAPILLON DE SAUTEREAU

PAPILLON DE SAUTEREAU (**)

 

  1. 1.  On prend deux points o et a
  2. 2.  On mesure oa, ce qui donne un nombre R
  3. 3.  On trace le repère centimétrique sur oa
  4. 4.  On trace le cercle de centre o passant par a
  5. 5.  On mesure la longueur de ce cercle, soit L
  6. 6.  On ouvre la calculatrice et on calcule L/L, ce qui donne évidemment le nombre 1.00 que l’on met dans un coin
  7. 7.  On reporte sur l’axe des x la longueur L, ce qui donne un point d
  8. 8.  On trace le segment [od] et on le met en orange
  9. 9.  On prend un point m sur ce segment, plutôt entre o et a pour que la figure soit commode
  10. 10.                On mesure om et on trouve un nombre que l’on reporte sur le cercle  à partir de a, ce qui donne un point t
  11. 11.                On ouvre la calculatrice et on calcule 5*t et on reporte le nombre trouvé sur le cercle à partir de a, ce qui donne le point 5t.
  12. 12.                 Avec le compas, on trace le cercle de centre o et de rayon 1.00 trouvé précédemment et on le colorie en vert
  13. 13.                La demi-droite [ot) coupe le cercle vert en t’. on demande les coordonnées de t’ soit x et y.
  14. 14.                La demi-droite [o, 5t) coupe le cercle vert en un point 5t’ :on demande les coordonnées de ce point, soit x’ et y’
  15. 15.                On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre R*(y’+3*x) que l’on reporte sur la demi-droite [ot) ce qui donne un point z (si le nombre est négatif, il sera sur la demi-droite négative non tracée)
  16. 16.                 
  17. 17.                On demande le lieu de z quand le point m varie
  18. 18.                On ouvre à nouveau la calculatrice et on calcule le nombre R*(y’-3*x) que l’on reporte sur la demi-droite [o, 5t’), ce qui donne un point z’
  19. 19.                On demande le lieu de z’ quand le point m varie

Les deux lieux obtenus donnent un superbe papillon

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : les lieux
  • Valide « papillon de sautereau »

papillon-de-sautereau.jpg

PAPILLON DE SAUTEREAU 2

PAPILLON DE SAUTEREAU 2 (**)

 

  1. 1.  On prend deux points o et a
  2. 2.  On mesure oa, ce qui donne un nombre R
  3. 3.  On trace le repère centimétrique sur oa
  4. 4.  On trace le cercle de centre o passant par a
  5. 5.  On mesure la longueur de ce cercle, soit L
  6. 6.  On ouvre la calculatrice et on calcule L/L, ce qui donne évidemment le nombre 1.00 que l’on met dans un coin
  7. 7.  On reporte sur l’axe des x la longueur L, ce qui donne un point d
  8. 8.  On trace le segment [od] et on le met en orange
  9. 9.  On prend un point m sur ce segment, plutôt entre o et a pour que la figure soit commode
  10. 10.                On mesure om et on trouve un nombre que l’on reporte sur le cercle  à partir de a, ce qui donne un point t
  11. 11.                On ouvre la calculatrice et on calcule 2*t et on reporte le nombre trouvé sur le cercle à partir de a, ce qui donne le point 2t.
  12. 12.                On ouvre la calculatrice et on calcule 7*t et on reporte le nombre trouvé sur le cercle à partir de a, ce qui donne le point 7t.
  13. 13.                 Avec le compas, on trace le cercle de centre o et de rayon 1.00 trouvé précédemment et on le colorie en vert
  14. 14.                La demi-droite [o,2t) coupe le cercle vert en t’. on demande les coordonnées de t’ soit x et y.
  15. 15.                La demi-droite [o, 7t) coupe le cercle vert en un point 7t’ :on demande les coordonnées de ce point, soit x’ et y’
  16. 16.                On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre R*(-3x+y’-1) que l’on reporte sur la demi-droite [ot) ce qui donne un point z (si le nombre est négatif, il sera sur la demi-droite négative non tracée)
  17. 17.                On demande le lieu de z quand le point m varie

Le lieu obtenu est un superbe papillon

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : les lieux
  • Valide « papillon de sautereau n°2 »

papillon-de-sautereau-second.jpg

SVATISKA

SVATISKA 2 (**)

 

  1. 1.  Deux points o et a pas trop éloignés
  2. 2.  Le cercle de centre o passant par a
  3. 3.  On mesure la longueur de ce cercle, soit L
  4. 4.  On construit avec la bonne macro le repère centimétrique sur (o, a)
  5. 5.  On reporte le nombre L sur l’axe des abscisses ce qui donne un point g
  6. 6.  On trace le segment [og]
  7. 7.  On place un point m sur ce segment, plutôt près de a
  8. 8.  On demande les coordonnées de m : son abscisse est un nombre
  9. 9.  On reporte ce nombre sur le cercle a partir de a, ce qui donne un point t.
  10. 10.   On ouvre la calculatrice et on calcule 2*t que l’on reporte sur le cercle à partir de a ce qui donne un point 2t
  11. 11.   On trace la tangente en a au cercle.
  12. 12.   Elle coupe la demi-droite [o2t) en un point k.
  13. 13.   Soit k’ le symétrique de k par rapport à a. On trace la demi-droite [ak’).
  14. 14.   On divise L par lui-même et on trouve 1.00. On trace avec « compas » le cercle de centre a et de rayon ce 1.00, en vert.
  15. 15.   Ce cercle coupe la demi-droite [ak’) en un point h
  16. 16.   On place le milieu de hk et on trace en jaune le cercle de diamètre hk. Il coupe l’axe des abscisses en un point p. On trace le segment ap.
  17. 17.   Avec la commande « compas » on trace en noir le cercle de centre o et de rayon ap.
  18. 18.   Il coupe la demi-droite [ot) en m’.
  19. 19.   On demande alors le lieu de m’ quand m varie.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : les lieux
  • Valide « svatiska 2»

svatiska-2.jpg

POISSON FACILE

POISSON FACILE

 

  1. 1.  On prend deux points o et a et la demi-droite [oa)
  2. 2.  On choisit un point k sur la demi-droite
  3. 3.  On trace la perpendiculaire en a
  4. 4.  On trace le cercle de centre a passant par o. Il coupe la perpendiculaire en b et c (b en bas)
  5. 5.  On cache ce cercle
  6. 6.  On trace le cercle de centre o passant par a. Il est bleu.
  7. 7.  On trace le segment [ok] et on le colorie en orange
  8. 8.  On choisit un point m sur le cercle bleu
  9. 9.  Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre m et de rayon ok. On le colorie en vert .
  10. 10.   Ce cercle coupe le cercle bleu en deux points p et q, p en haut.
  11. 11.   On trace les droites (bq) et (cp).
  12. 12.   Elles se coupent en un point m’
  13. 13.   On demande le lieu de m’ quand m varie.

 

On obtient un magnifique poisson dont on peut changer la forme en bougeant le point k sur la demi-droite [oa).

 

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a et k
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « poisson facile»

poisson-facile.jpg

NEPHROIDE comme enveloppe

NEPHROIDE (comme enveloppe)

(sans calculs)

  1. Deux points o et a
  2. Le symétrique de a par rapport à o, soit a’
  3. On trace le diamètre [aa’]
  4. On choisit un point quelconque m sur le cercle
  5. On trace la perpendiculaire de m sur le diamètre, ce qui donne le point h sur ce diamètre
  6. On trace le cercle vert de centre m passant par h : il est donc tangent au diamère
  7. On va dans « options, préférences, lieux » ;

On décoche la case « lier les points », on coche la case « enveloppe », et on demande le lieu du cercle vert quand m est pilote.

 

On obtient une courbe qui ressemble à deux reins, d’où son nom de « néphroïde » et c’est l’enveloppe des cercles verts

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « néphroïde»

mais elle ne marche pas parce que l'enveloppe est une " trace " et pas un lieu

 

NEPHROIDE avec calculs

NEPHROIDE (**)

(avec calculs)

 

  1. Deux points o et a
  2. On mesure oa=R
  3. Le cercle bleu de centre o passant par a
  4. Le repère centimétrique construit sur (o, a) avec la macro qui donne les points unités
  5. Un point m sur le cercle bleu et la demi-droite [om)
  6. Le cercle de centre o et de rayon 1cm, construit sur les points unités du repère et on le colorie en vert
  7. La demi-droite [om) coupe le cercle vert en p. On demande les coordonnées de p qui sont deux nombres x et y

On ouvre la calculatrice et on calcule les deux nombres X = 2*R*(1+2*y^2)*x et Y=4*R*y^3

  1. On place les nombres X et Y sur les axes et on place le point m’ ayant X et Y comme coordonnées
  2. On demande le lieu de m’ quand m varie

On trouve une néphroide.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « néphroïde»

nephroide-avec-calculs.jpg

OREILLE DE LAPIN

OREILLE DE LAPIN

 

 

  1. Un segment vertical [ab]
  2. Un point c sur ce segment
  3. Le cercle de diamètre [ab], bleu
  4. Le cercle de diamètre [ac], jaune
  5. Un point m sur le cercle jaune
  6. La perpendiculaire par m à [ab]
  7. Elle recoupe le cercle bleu en p et q
  8. Soit m’ le milieu de [mp] et m’’ le milieu de [mq]
  9. On demande le lieu de m’, puis de m’’ quand m varie

 

On obtient quelque chose qui fait penser à un lapin.

En bougeant c, on peut déformer la courbe.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points a, b, c (c sur [ab])
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « oreilles de lapin»

oreilles-de-lapin.jpg

TREFLE ARRONDI

TREFLE ARRONDI

 

  1. Deux points o et a
  2. Le cercle de centre o passant par a
  3. Le repère centimétrique sur (o, a)
  4. On mesure la longueur L du cercle
  5. On reporte ce nombre sur l’axe des abscisses, ce qui donne un point w
  6. On trace le segment [ow]
  7. On choisit un point m sur ce segment
  8. On demande les coordonnées de m :on garde l’abscisse t
  9. On reporte le nombre t sur le cercle, ce qui donne un point n
  10. On trace la demi-droite [on)
  11. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre 3*t
  12. On reporte ce nombre sur le cercle, ce qui donne un point p
  13. On trace la demi-droite [op).
  14. On trace le cercle vert de centre o et de rayon 1 (il passe par les points unités donnés par la macro « repère centimétrique)
  15. Ce cercle vert coupe la demi-droite [op) en un point q
  16. On demande les coordonnées de q, soit x et y
  17. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre  R*sqrt(5+4*x)
  18. On trouve un nombre r que l’on reporte sur la demi-droite [on), ce qui donne un point m’
  19. On demande le lieu de m’ quand m varie

On a un trèfle arrondi.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points a, b, c (c sur [ab])
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « trèfle arrondi»

trefle-arrondi.jpg

DELTOIDE DE STEINER

DELTOIDE DE STEINER ( **)

 

  1. Deux points o et a
  2. Le cercle de centre o passant par a
  3. Le repère centimétrique sur (o, a)
  4. On mesure le rayon du cercle, soit R
  5. On mesure la longueur L du cercle
  6. On reporte ce nombre sur l’axe des abscisses, ce qui donne un point w
  7. On trace le segment [ow]
  8. On choisit un point m sur ce segment
  9. On demande les coordonnées de m :on garde l’abscisse t
  10. On reporte le nombre t sur le cercle, ce qui donne un point n
  11. On trace la demi-droite [on)
  12. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre 2*t
  13. On reporte ce nombre sur le cercle, ce qui donne un point pdeltoide-de-steiner.jpg
  14. On trace la demi-droite [op).
  15. On trace le cercle vert de centre o et de rayon 1 (il passe par les points unités donnés par la macro « repère centimétrique)
  16. Ce cercle vert coupe la demi-droite [on) en n’ et la demi-droite [op) en un point p’
  17. On demande les coordonnées de n’, soit x et y et celles de p’, soit x’ et y’.
  18. On ouvre la calculatrice et on calcule les deux nombres suivants :   X = R*(2*X+X’) et Y = R*(2*Y-Y’)
  19. On place alors dans le repère le point m’ de coordonnées X et Y.
  20. On demande le lieu de m’ : on obtient une superbe courbe en triangle courbe. C’est la deltoïde de Steiner.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « deltoïde de Steiner»

QUADRATRICE DE DINOSTRATE

QUADRATRICE DE DINOSTRATE (**)

 

  1. Deux points o et a
  2. Le cercle de centre o passant par a
  3. Le repère centimétrique sur (o, a)
  4. On mesure le rayon du cercle, soit R
  5. On mesure la longueur L du cercle
  6. On reporte ce nombre sur l’axe des abscisses, ce qui donne un point w
  7. On trace le symétrique de w par rapport à o, ce qui donne w’
  8. On trace le segment [w’w]
  9. On choisit un point m sur ce segment pas trop loin de o
  10. On demande les coordonnées de m : on garde l’abscisse t
  11. On reporte le nombre t sur le cercle, ce qui donne un point n
  12. On trace la demi-droite [on)
  13. On trace le cercle vert de centre o et de rayon 1 (il passe par les points unités donnés par la macro « repère centimétrique)
  14. Ce cercle vert coupe la demi-droite [on) en n’. On demande les coordonnées de n’, soit x et y
  15. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre R*t / y, ce qui donne un nombre r
  16. On reporte alors r sur la demi-droite [on) et on  obtient un point m’.
  17. On demande alors le lieu de m’ quand m varie : le lieu est appelé quadratrice de Dinostrate

 

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « quadratrice de Dinostrate»

quadratrice-de-dinostrate.jpg

YING ET YANG

YING ET YANG (**)

 

  1. Deux points o et a. On trace le segment [oa]
  2. Le cercle de centre o passant par a
  3. Le repère centimétrique sur (o, a)
  4. On mesure le rayon du cercle, soit R
  5. On prend un point m sur [oa]
  6. On demande ses coordonnées. On garde l’abscisse t
  7. On reporte le nombre t sur le cercle (à partir de a) : on obtient un point n.
  8. On trace la droite (on)
  9. On reporte le nombre t sur l’axe des y, ce qui donne un point p
  10. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre t - 2*R qui est négatif
  11. On reporte ce nombre sur l’axe des ordonnées ce qui donne un point q.
  12. On trace le  milieu k de [pq] et on trace le cercle de centre diamètre [pq] en orange
  13. Ce cercle recoupe l’axe des abscisses en un point z par exemple
  14. On trace en vert le cercle de centre o passant par z : il recoupe la droite (on) en un point m’et un point m’’.
  15. On demande le lieu de m’ quand m varie et le lieu de m’’ quand m varie.
  16. On colorie en violet le cercle de départ et les deux lieux : on a le schéma du ying et du yang.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le cercle de centre o passant par a et les deux lieux
  • Valide « ying et yang»

ying-et-yang.jpg

SCYPHOIDE DE HUBER

SCYPHOIDE DE HUBER

 

 

  1. 1.  Deux points a et o
  2. 2.  On trace le segment [oa)
  3. 3.  On trace la perpendiculaire en o à ce segment
  4. 4.  On choisit un point m quelconque sur cette droite
  5. 5.  On trace le segment [om]
  6. 6.  On trace la perpendiculaire orange en m à ce segment
  7. 7.  On trace le cercle de centre m et passant par o
  8. 8.  Il coupe cette perpendiculaire orange en deux points m’ et  m’’
  9. 9.  On demande le lieu de m’ et m’’ quand m varie

 

On  obtient un courbe qui par rotation dans l’espace engendre une jolie surface « en coupe de champagne »

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : les deux lieux
  • Valide « scyphoide de Huber»

scyphoide-de-huber-2-1.jpg

COURBE DE ROSILLO

COURBE DE ROSILLO

(2009)

 

  1. Un segment [ab]
  2. La droite (ab)
  3. Le cercle de diamètre [ab]
  4. Deux points c et d sur la droite (ab), ils peuvent être sur le segment [ab] ou en dehors
  5. Un point m sur le cercle
  6. La perpendiculaire de m sur (ab) en orange
  7. La droite (cm)
  8. La parallèle à (cm) par d rencontre la perpendiculaire orange en m’
  9. On demande le lieu de m’ quand m varie
  10. On obtient une courbe, dite courbe de rosillo, découverte en 2009                                                                                                       et qui a la propriété d’avoir un grand nombre de formes suivant que c ou d sont sur le segment [ab) ou non.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « courbe de rosillo»

courbe-de-rosillo-a-c-b-et-d-en-dehors-1.jpg

courbe-de-rosillo-a-c-b-et-d-en-dehors-2.jpg

courbe-de-rosillo-a-c-d-b.jpg

courbe-de-rosillo-c-et-d-en-dehors-du-segment-ab-2.jpg

courbe-de-rosillo-a-d-c-b.jpg

NEPHROIDE DE FREETH

NEPHROIDE DE FREETH

 

  1. 1.  o et a
  2. 2.  le cercle de centre a passant par o
  3. 3.  un point m du cercle
  4. 4.  la droite (am)
  5. 5.  le cercle de centre m passant par o en vert
  6. 6.  ce cercle coupe la droite (am) en m’ et m’’
  7. 7.  On demande le lieu de m’ et m’’ quand m varie

 

On obtient une courbe fermée avec deux boucles.

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : les deux lieux
  • Valide « nephroide de freeth»

nephroide-de-freeth.jpg

PARABOLE CANONIQUE

PARABOLE CANONIQUE SUR (OA)

 

  1. Deux points o et f à peu près en verticale et la droite (of)
  2. Le symétrique h de f par rapport à o
  3. La perpendiculaire en o à (of), soit
  4. Le cercle de centre f passant par h coupe la perpendiculaire en f à (of) en a et a’et (of) en k
  5. On trace en rouge la perpendiculaire en k à (of)
  6. Avec « compas, on trace le cercle de centre f passant par h
  7. Il coupe la droite rouge en deux points b et b’
  8. On va dans « conique » et on trace la conique passant par b,a,s,a’,b’

On obtient une parabole particulière dite canonique pour o et f

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et f
  • Objets finaux : le lieu

Valide « parabole canonique»

parabole-canonique.jpg

HYPERBOLE CANONIQUE SUR OA

HYPERBOLE CANONIQUE SUR (OA)

 

 

  1. 1.  deux points o et a en verticale et la droite (oa)
  2. 2.  la perpendiculaire en o à (oa)
  3. 3.  le cercle de centre o passant par a coupe cette perpendiculaire en b’ et b ( b à droite)
  4. 4.  la parallèle à (oa) par b et la parallèle à (ob) par a se coupent en m
  5. 5.  soit m’ le symétrique de m par rapport à o
  6. 6.  soit c le symétrique de o par rapport à b et d le milieu de [oa]
  7. 7.  la parallèle à (oa) par c et la parallèle à (ob) par d se coupent en n
  8. 8.  soit n’ le symétrique de n par rapport à o
  9. 9.  soit e le symétrique de o par rapport à a et f le milieu de [ob]
  10. 10.              la parallèle à (ob) passant par e et la parallèle à (oa) passant par f se coupent en p
  11. 11.              on va dans « conique » et on trace la conique passant par m, m’, n, n’ et p

On obtient une hyperbole équilatère dite canonique pour o et a.

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et f
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « hyperbole canonique»

hyperbole-canonique.jpg

TRIDENT DE NEWTON

TRIDENT DE NEWTON (**)

(parabole de Descartes)

 

 

  1. 1.  Deux points o et a et le segment [oa]
  2. 2.  On trace le repère centimétrique associé à (o;a)
  3. 3.  Avec la macro « parabole canonique », tracer la parabole canonique.
  4. 4.  Avec la macro « hyperbole canonique équilatère »
  5. 5.  On prend un point m sur l’axe des abscissses et on trace par m la parallèle à l’axe des ordonnées.
  6. 6.  Elle coupe la parabole en n et l’hyperbole en p
  7. 7.  On trace le milieu m’ de [np]
  8. 8.  On demande le lieu de m’ quand m varie. On obtient une courbe à deux branches appelé « Trident de newton ».

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « trident de Newton»

trident-de-newton-2.jpg

LARME VARIABLE

LARME VARIABLE (**)

 

  1. 1.  Deux points o et a et on mesure oa = R
  2. 2.  Le repère centimétrique associé à (o,a)
  3. 3.  La demi-droite [oj) de l’axe des y ( j=(0 ;1)
  4. 4.  Un point N’ sur cette demi-droite
  5. 5.  On demande les coordonnées de N’ et on garde l’ordonnée n’
  6. 6.  On ouvre la calculatrice et on calcule floor(n’), ce qui donne un entier n
  7. 7.  On trace le cercle de centre o passant par a
  8. 8.  On mesure sa longueur et on reporte ce nombre sur l’axe des abscisses : on obtient un point w.
  9. 9.  On trace le segment [ow]
  10. 10.              On place sur ce segment un point m et on demande son abscisse t
  11. 11.              On reporte t sur le cercle à partir de a : on obtient un point p
  12. 12.              On trace la demi-droite [op)
  13. 13.              Ouvre la calculatrice et on calcule le nombre t/2
  14. 14.              On reporte le nombre t/2 sur le cercle, ce qui donne un point p’ et on trace la demi-droite [op’)
  15. 15.              On trace le cercle de centre o passant par j ( rayon 1) : il coupe respectivement les demi-droites [op) et [op’) en q et q’
  16. 16.              On demande les coordonnées de q et q’, ce qui donne les nombres x et y, puis x’ et y’
  1. 17.              On ouvre la calculatrice et on calcule les nombres R*x = X et R*y*(y’^n) = Y
  2. 18.              On place le point de coordonnés X et Y qui est un point m’ (soit directement par reports de mesure, soit avec la macro « point (x ;y)).
  3. 19.              On demande le lieu de m’ quand m varie.

 

On obtient une courbe en forme de larme.

En bougeant le point n’, on peut en modifier l’allure.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a ; le point n’
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « Larme variable»

larme-variable.jpg

QUARTIQUE DE LORIEGA

QUARTIQUE DE LORIGA

 

 

  1. 1.  Deux points o et a
  2. 2.  On mesure la distance oa, soit R
  3. 3.  La demi-droite [oa)
  4. 4.  Le cercle de centre o passant par a
  5. 5.  Le symétrique de o par rapport à a, soit w
  6. 6.  Le segment [ow]
  7. 7.  Un point m sur ce segment
  8. 8.  Le cercle de centre o passant par m : on le met en jaune.
  9. 9.  On mesure la distance om : c’est un nombre r.
  10. 10.              On va faire une macro intermédiaire qui nous aidera tout à l’heure. On se donne dans un coin de l’écran un cercle de centre p et un point q sur ce cercle. On trace la droite (pq) qui recoupe le cercle en q’. On trace la médiatrice de [pq’] qui coupe le cercle en u et v. On trace le triangle qvu qui est donc équilatéral. On fait une macro avec comme objets initiaux le cercle et le point q et comme objet finaux le triangle et on valide « équilatéral inscrit de sommet donné »
  11. 11.              On revient à la figure initiale et on ouvre la calculatrice. On calcule le nombre                        (R^4 – r^4-R^2*r^2) / ( 2*R*r^3) . On trouve un nombre t’.
  12. 12.              On divise t’ par 3, ce qui donne un nombre t.
  13. 13.              On va dans options, préférences, unités et on choisit le radian comme unité d’angle. On tape ok.
  14. 14.              On va dans « rotation » et on trace l’image de m par la rotation de centre o et d’angle t. On obtient un point z1.
  15. 15.              On trace le symétrique de z1 par rapport à [oa], soit z2
  16. 16.              Avec la macro « équilatéral inscrit de sommet donné », on trace les deux triangles équilatéraux de sommets respectifs z1 et z2, ce qui donne 4 nouveaux points z2, z4, z5 et z6.
  17. 17.              On demande le lieu de chacun de ces 6 points quand m varie.

On obtient une courbe à trois pales, appelée quartique de Loriga, qui a une importance en optique et en sonorisation.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : les 6 lieux
  • Valide « quartique de Loriga »

quartique-de-loriga.jpg

COURBE DE JERABEK

COURBE DE JERABEK

 

  1. Un cercle de centre o et un point a intérieur ou non au cercle
  2. On prend un point m sur le cercle
  3. On trace la droite rayon (om)
  4. On trace le segment [am]
  5. Par a on trace la perpendiculaire à [am] laquelle coupe (om) en m’
  6. On demande le lieu de m’ quand m varie
  7. La courbe que l’on obtient a deux formes suivant que a est intérieur ou extérieur au cercle. C’est la courbe de Jérabek.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu

Valide « courbe de Jérabek »

courbe-de-jerabek-forme-1.jpg


courbe-de-jerabel-forme-2.jpg


courbe-de-jerabek-forme-3.jpg

FOLIUM DE DESCARTES

FOLIUM DE DESCARTES

 

 

  1. deux points o et a
  2. on mesure oa = R
  3. le repère centimétrique sur (o ;a)
  4. le cercle de centre o passant par a
  5. on mesure la longueur du cercle et on reporte ce nombre sur l’axe des x, ce qui donne un point w
  6. on trace le segment [ow]
  7. on prend un point m sur ce segment
  8. on demande les coordonnées de m et on garde l’abscisse t
  9. on reporte t sur le cercle à partir de a : on obtient un point p
  10. on trace la demi-droite [op)
  11. on trace le cercle de centre o et de rayon 1 (il passe par les points unités du repère) et on le met en vert
  12. ce cercle vert rencontre la demi-droite [op) en n
  13. On demande les coordonnées de n, ce qui donne deux nombres x et y
  14. On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre 3*R*x*y / (x^3+y^3) et on trouve un nombre r
  15. On reporte r sur la demi-droite [op) et on obtient un point m’
  16. On demande le lieu de m’ quand m varie. On obtient un folium de Descartes, dite aussi « courbe du jasmin ».

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu

Valide « folium de Descartes »

folium-de-descartes-1.jpg

TRISSECTRICE DE DELANGE

TRISSECTRICE DE DELANGE (**)

 

  1. 1.  deux points o et a et le segment [oa].
  2. 2.  On calcule la longueur oa = R
  3. 3.  le repère centimétrique sur o et a
  4. 4.  le cercle de centre o passant par a
  5. 5.  on demande la longueur du cercle
  6. 6.  on multiplie à la calculatrice cette longueur par 2
  7. 7.  on reporte le nombre obtenu sur l’axe des abscisses ce qui donne le point w
  8. 8.  on trace le segment [ow]
  9. 9.  on place un point m sur ce segment
  10. 10.              On demande les coordonnées de m et on garde l’abscisse t
  11. 11.              On reporte ce nombre t sur le cercle à partir de o, ce qui donne le point p
  12. 12.              On trace la demi-droite [op)
  13. 13.              On divise le nombre t par 2 avec la calculatrice; on reporte ce nombre t/2 sur le cercle ce qui donne le point n
  14. 14.              On trace la demi-droite [on)
  15. 15.              On trace le cercle de centre o et de rayon (passant par les points unités). Il coupe la demi-droite [on) en q
  16. 16.              On demande les coordonnées de q, soit x et y
  17. 17.              On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre R / x ce qui donne un nombre r.
  18. 18.              On reporte ce nombre r sur la demi-droite [op), ce qui donne un point m’.
  19. 19.              On demande le lieu de m’ quand m varie : on obtient la trissectrice de Delange.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : les deux lieux

Valide « trissectrice de Delange »

trissectrice-de-delange.jpg

CONCHALE

CONCHALE

 

  1. 1.  On prend deux points o et a
  2. 2.  On trace la droite (oa)
  3. 3.  On choisit un point k sur cette droite
  4. 4.  On mesure la distance ok, ce qui donne un nombre z
  5. 5.  On trace le symétrique b de a par rapport à o
  6. 6.  On trace la perpendiculaire en b à (oa)
  7. 7.  On choisit un point m sur (oa)
  8. 8.  On mesure la distance bm
  9. 9.  On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre z / bm ce qui donne un  nombre r
  10. 10.              Avec « compas », on trace le cercle de centre a et de rayon r. On met ce cercle en pointillés orange
  11. 11.              Ce cercle recoupe la perpendiculaire à (oa) passant par m en deux points m’ et m’’
  12. 12.              On demande le lieu de m’ et de m’’ quand m varie

On obtient une courbe qui a diverses formes suivant la position du point index k.

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, et k
  • Objets finaux : les deux lieux
  • Valide « conchale »

conchale-1.jpg

conchale-4.jpg

conchale-2.jpg

OVALES DE CASSINI

OVALES DE CASSINI (**)

 

  1. 1.  deux points o et a, la demi-droite [o a) et un point b sur cette demi-droite
  2. 2.  le repère centimétrique associé à (o;a)
  3. 3.  le cercle de centre o et passant par a
  4. 4.  on mesure la longueur du cercle, soit L
  5. 5.  on reporte ce nombre L sur l’axe des abscisses, ce qui donne un point w
  6. 6.  on trace le segment [ow]
  7. 7.  on choisit un point  m sur ce segment
  8. 8.  On mesure oa, soit z
  9. 9.  On mesure ob, soit k
  10. 10.                  On demande les  coordonnées de m, et on garde l’abscisse, soit r
  11. 11.                  On trace le cercle de centre o et passant par m : on le met en jaune
  12. 12.                  On trace le cercle de centre o et de rayon 1 et on le met en vert
  13. 13.                    On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre

                      u = (r^4+z^4-k^4) / (2*z^2*r^2)

  1. 14.                  on reporte le nombre u sur l’axe des abscisses, ce qui donne un point p
  2. 15.                  On trace la perpendiculaire en p à l’axe des abscisses ; elle coupe le cercle vert en deux points p’ et p’’
  3. 16.                  On trace les bissectrices des angles p’om et p’’om
  4. 17.                  Ces bissectrices recoupent le cercle jaune en 4 points m1,m2, m3 et m4
  5. 18.                  On demande le lieu de ces 4 points quand m varie

 

On obtient un ovale de Cassini qui a plusieurs formes.

  • Objets initiaux : les points o, a, et k
  • Objets finaux : les deux lieux
  • Valide « ovale de Cassini »

ovale-de-cassini-lemniscate-de-bernouilli-a-b.jpg

ovale-de-cassini-1.jpg

ovale-de-cassini-2.jpg

 

ovale-de-cassini-4.jpg