3 LES AMOURS DE L EQUERRE ET DU

POIRE QUARTIQUE PIRIFORME

 

POIRE ou QUARTIQUE PIRIFORME

 

 

  1. Deux points o et a et la droite (oa)
  2. Le cercle de centre o passant par
  3. Un point m du cercle et la droite (om)
  4. La perpendiculaire par m à (oa) la coupe en h
  5. La perpendiculaire par h à (om) la coupe en k
  6. On trace le cercle de centre o passant par k. Il coupe la droite (oa) en k’
  7. On trace par k’ la perpendiculaire à (oa) et on la met en pointillés orange.
  8.  La perpendiculaire par k à (oa) coupe (oa) en g.
  9. Le cercle de centre o passant par g recoupe la droite (om) en g’.
  10. On trace la parallèle par g’ à (oa) et on la met en pointillés violet.
  11. Les droites orange et violette se coupent en un point  m’.
  12. Demande le lieu de m’quand m varie : on obtient une courbe en forme de poire due au mathématicien anglais Wallis : on dirait aussi une goutte d’eau.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points a, b et c
  • Objets finaux : le lieu.
  1. Valide «  poire »

Essaie-la et amuse-toi avec.

poire-ou-quartique-piriforme-1.jpg

OEUF VARIABLE DE HUGELSCHAFFER

ŒUF variable de HUGELSCHAFFER

 

  1. Un segment [ab]
  2. le milieu de ce segment, w
  3. le milieu u de a et w, puis le milieu v de w et b
  4. Trace les segments [au] que tu colories en bleu, puis le segment [vb] que tu  colories en orange
  5. choisis un point c sur le segment bleu et un point d sur le segment orange
  6. trace le cercle de centre a et passant par b et colorie-le en bleu
  7. trace le cercle de centre c passant par b et colorie-le en orange.
  8. choisis un point m sur le cercle bleu et trace la demi-droite [om)
  9. cette demi-droite coupe le cercle orange en p
  10. trace par p la parallèle au segment [ab] et mets-la en pointillé
  11. trace par m la perpendiculaire au segment [ab] et mets-la en pointillé
  12. les deux droites en pointillé se coupent en m’.
  13. Demande le lieu de m’ quand m est pilote. Tu obtiens un œuf.

(  plus tard tu verras que le point m’ est l’hyperbolique des deux cercles)

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points a, b , c et d
  • Objets finaux : le lieu.
  1. Valide «  œuf de hugelschaffer »

Essaie-la et amuse-toi avec.

oeuf-de-huegelschaffer.jpg

TREFLE DE BROCARD

TREFLE de BROCARD (3 feuilles)

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. le cercle de centre o et passant par a

 

  1. le milieu de o et a, nommé i
  2. le symétrique de i par rapport à a, nommé b.
  3. tu effaces i.
  4. Tu choisis un point m sur le cercle
  5. tu traces la demi-droite (om), puis le symétrique de a par rapport à (om), nommé m2
  6. tu traces (om2) puis le symétrique de m1 par rapport à (om2) : tu obtiens le point m3
  7. tu traces la perpendiculaire de m3 sur (oa) : tu obtiens sur (oa) le point h.
  8. tu traces om3, puis tu traces le symétrique de a par rapport à (om3) : tu obtiens le point m6
  9. tu traces la perpendiculaire par m6 à (oa) : tu obtiens sur (oa) le point k
  10. tu traces le milieu de o et k que tu nommes w
  11. tu traces le milieu de h et b que tu nommes z
  12. tu traces ensuite le symétrique de w par rapport à z, et tu obtiens un point e
  13. trace le cercle de centre o et passant par e
  14. il coupe la demi-droite (om) en un point m’
  15. demande le lieu de m’ quand m est pilote
  16. tu obtiens une magnifique fleur à 3 pétales

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu.
  1. Valide trèfle de brocard »

Essaie-la et amuse-toi avec.

trefle-de-brocard-2.jpg

TREFLE DE BROCARD ( pour la 4ème)

TREFLE de BROCARD (3 feuilles)( 4ème)

 

 

  1. Un point o et un point a
  2. La droite (oa)
  3. Le cercle de centre o passant par a
  4. Un point m sur le cercle
  5. La droite (om)
  6. Le symétrique m1 de a par rapport à (om)
  7. La droite (om1)
  8. Le symétrique m2 de m par rapport à (om1)
  9. La perpendiculaire à (oa) passant par m2 : elle coupe (oa) en h.
  10. On trace le vecteur (oh) en rouge
  11. On trace la perpendiculaire (d) en o à (oa)
  12. La perpendiculaire par m2 à (d) coupe (d) en f
  13. Le cercle de centre o passant par f recoupe la droite (om2) en g
  14. La perpendiculaire à (d) passant par g coupe (d) en g
  15. La perpendiculaire à (oa) passant par g coupe (oa) en k
  16. On trace le vecteur (ok) en bleu
  17. On trace l’image de a par la translation de vecteur (oh) ce qui donne un point a’
  18. On trace l’image de a’ par la translation de vecteur (ok), ce qui donne un point a’’.
  19. Le cercle de centre o passant par a’’ coupe la droite (om) en m’
  20. On demande le lieu de m’ quand m varie.
  21. On obtient le trèfle de Brocard, mathématicien français .

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu.
  1. Valide trèfle de brocard »

Essaie-la et amuse-toi avec

trefle-de-brocard-1.jpg

REPERE CENTIMETRIQUE SUR (O, A)

REPERE CENTRIMETRIQUE sur (O,A)  (**)

 

Voici une macro utile souvent pour simplifier certaines macros.

 

  1. Deux points o et a
  2. La demi-droite [oa)
  3. Le cercle de centre o passant par a
  4. On mesure la distance oa
  5. On ouvre la calculatrice et on divise ce nombre par lui-même : on obtient 1.
  6. On trace par o la perpendiculaire à la demi-droite.
  7. On reporte le nombre 1 sur la demi-droite ce qui donne un point b
  8. On trace le cercle de centre o passant par b.
  9. Il coupe la perpendiculaire en c.
  10. Avec la commande « nouveaux axes », trace les axes (o ;b ;c)
  11. Colorie ces axes en jaune.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le repère jaune, les points b et c
  • Valide « repère centimétrique plan sur (o,a) »

repere-centimetrique-sur-o-a.jpg

SEXTIQUE DE CAYLEY

SEXTIQUE de CAYLEY (**)

 

  1. Deux points o et a, a étant assez près de o
  2. le cercle de centre o passant par a
  3. la droite (oa)
  4. un point m sur ce cercle
  5. la demi-droite [om)
  6. En utilisant la macro :
  7. Mesure la longueur du cercle:

on trouve un nombre x.

  1. En utilisant la macro « repère centimétrique plan sur (o,a) » place le repère sur (o, a)
  2. Place le point T sur l’axe des abscisses ayant pour abscisse le nombre x
  3. Trace le segment [oT]
  4. Place sur ce segment un point M et mesure la distance oM
  5. Sur le cercle de centre o passant par a reporte à partir de a le nombre x.
  6. Tu obtiens un point m
  7. Ouvre la calculatrice et divise x par 3 : tu obtiens un nombre x’
  8. Tu places sur le même cercle le point p en reportant sur ce cercle le nombre x’
  9. Tu trace la droite (op)
  10. Par p tu traces la perpendiculaire à l’axe des x ce qui donne un point h
  11. Par h tu traces la droite perpendiculaire à (op) tu obtiens un point k
  12. Par k tu traces la perpendiculaire à l’axe des abscisses, tu obtiens un point g
  13. Tu demandes les coordonnées du point g dans le repère : ce qui donne un nombre z
  14. Tu traces la demi-droite [om)
  15. Tu places sur cette demi-droite le point m’ en reportant le nombre z.
  16. Tu peux maintenant tirer a pour que la figure soit plus grande et plus claire.
  17. Tu demandes le lieu de m’ quand m varie.
  18.  Tu obtiens une courbe due au mathématicien anglais Cayley

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « sextique de cayley »

Essaie-la et amuse-toi avec

sextique-de-cayley-geom.jpg

NOEUD PAPILLON

NŒUD PAPILLON

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. le cercle de centre o passant par a
  4. un point m sur le cercle et la droite (om)
  5. le symétrique de a par rapport à [om) : on nomme p ce point
  6. La perpendiculaire passant par p à (oa) coupe (oa) en h.
  7. Cette même perpendiculaire coupe (om) en k
  8. la perpendiculaire passant par k à (om) coupe (oa) en q.
  9. le cercle de centre o et passant par q coupe (om) en m’.
  10. Demande le lieu de m’ quand m est pilote. Tu obtiens une courbe qui ressemble à un nœud papillon

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu.
  1. Valide « nœud papillon »

Essaie-la et amuse-toi avec.

noeud-papillon-1.jpg

MOULIN A VENT

MOULIN A VENT

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. le cercle de centre o passant par a
  4. la perpendiculaire en a à (oa) , nommée (d)
  5. cette perpendiculaire coupe le cercle en b en haut
  6. la parallèle à (oa) menée par b est une droite (d’)
  7. un point m sur le cercle
  8. trace la droite (om)
  9. trace le point p symétrique de a par rapport à (om)
  10. trace la droite (op)
  11. cette droite coupe la droite (d’) en q
  12. trace le segment [bq] et colorie-le en rouge
  13. Avec la commande « compas », trace le cercle de centre o et de rayon [bq] rouge
  14. Ce cercle recoupe la droite (om) en m’
  15. Demande le lieu de m’ quand m est pilote
  16. tu obtiens une sorte de croix appelée « moulin à vent »

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « moulin à vent»

Essaie-la et amuse-toi avec.

moulin-a-vent.jpg

CRUCIFORME

CRUCIFORME

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. la perpendiculaire en o à (oa) nommée (d)
  4. le cercle de centre o passant par a
  5. un point m sur ce cercle
  6. la droite (om)
  7. le symétrique p de m par rapport à (om)
  8. la perpendiculaire de p sur (op) qui coupe (d) en h
  9. Trace le cercle de centre o et passant par h. Tu le mets en pointillé : il coupe la droite (om) en un point m’.
  10. Demande le lieu de m’ quand m est pilote. Tu obtiens une courbe en forme de croix.

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « cruciforme»

Essaie-la et amuse-toi avec.

cruciforme-1.jpg

TRISSECTRICE DE MAC LAURIN

TRISSECTRICE DE MAC LAURIN (**)

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. le cercle de centre o passant par a
  4. On prend la macro « repère centimétrique sur (o,a) et on trace ce repère
  5. On mesure la longueur du cercle, soit L.
  6. On reporte le nombre L sur l’axe des abscisses, ce qui donne le point A
  7. On trace le segment [oA]
  8. On prend un point M sur ce segment ( sur le segment) et on demande ses coordonnées, ce qui donne une abscisse t
  9. On reporte t sur le cercle à partir de a.On obtient un point m
  10. On trace la demi-droite [om)
  11. On multiplie avec la calculatrice le nombre 2 par t   (en montrant t) et on reporte le nombre obtenu 2t sur le cercle ce qui donne un point p.
  12. On demande les coordonnées de p et on trouve comme ordonnée un nombre p’
  13. On multiplie avec la calculatrice le nombre 3 par t   (en montrant t) et on reporte le nombre obtenu 3t sur le cercle ce qui donne un point q.
  14. On demande les coordonnées de q et on trouve comme ordonnée un nombre q’
  15. Avec la calculatrice on calcule le nombre R*q’/p’.On trouve un nombre r.
  16. On reporte le nombre r sur la demi-droite [om)
  17. On demande le lieu de m’ quand m est pilote.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « trissectrice de mac laurin»

Essaie-la et amuse-toi avec.

trisssectrice-de-mac-laurin.jpg

QUARTIQUE DE KULP

QUARTIQUE DE KULP

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. la perpendiculaire à (oa) passant par a, nommée (d) donc la tangente
  4. un point m sur le cercle
  5. la droite (om)
  6. elle coupe la droite (d) en p
  7. on trace par m la parallèle  à (d)
  8. on trace par p la perpendiculaire à (d)
  9. ces deux droites se coupent en m’
  10. Demande le lieu de m’ quand m est pilote : on obtient une courbe à deux branches nommée quartique de KULP

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « Quartique de kulp»

Essaie-la et amuse-toi avec.

quartique-de-kulp-2.jpg

CUBIQUE DUPLICATRICE

CUBIQUE DUPLICATRICE

 

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. le cercle de centre o passant par a
  4. la droite (om)
  5. la perpendiculaire en a à (oa)
  6. elle coupe la droite (om) en p
  7. la perpendiculaire en p à (om) coupe la droite (oa) en q
  8. la perpendiculaire en q à (oa) coupe la droite (om) en m’
  9. Demande le lieu de m’ quand m est pilote. Tu obtiens une branche de courbe.

La courbe à deux branches que tu as obtenue s’appelle une cubique duplicatrice.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.
  • Valide « cubique duplicatrice»

Essaie-la et amuse-toi avec.

cubique-duplicatrice.jpg

SERPENTINE

SERPENTINE

 

  1. 1.  On place deux points o et a
  2. 2.  On trace le cercle de centre o passant par a.
  3. 3.  On trace le segment [oa] et on le mesure
  4. 4.  On trace la droite (d) perpendiculaire à ce segment et passant par o. Elle coupe le cercle en b
  5. 5.  On trace le milieu i de a et b
  6. 6.  On trace la demi-droite [oi) qui coupe le cercle en j.
  7. On trace l’arc de cercle ajb.
  8. On choisit un point m sur cet arc
  9. On trace la demi-droite [om)
  10. On trace la tangente au cercle en b, c'est-à-dire la perpendiculaire à (d) en b
  11. Cette tangente coupe la demi-droite [om) en p.
  12. On trace le symétrique de p’ par rapport à b et on trace la demi-droite [bp’).
  13. On mesure la longueur du cercle, soit L. On ouvre la calculatrice et on divise L par L ce qui donne 1
  14. Avec le compas, on trace le cercle de centre b et de rayon 1 ( on montre le 1.00 trouvé)
  15. Ce cercle recoupe la demi-droite [bp’) en h.
  16. On trace le cercle de diamètre [hp] en prenant d’abord le milieu de h et p
  17.  La droite (d) recoupe le cercle en k.
  18. On trace le segment [bk] et on le mesure
  19. On ouvre la calculatrice et on calcule le produit oa*bk, ce qui donne un nombre r
  20. On reporte le nombre r sur la demi-droite [om) ce qui donne un point m’
  21. On demande le lieu de m’ quand m varie, ce qui donne une branche de courbe
  22. On trace le symétrique de m’ par rapport à o, ce qui donne un point m’’
  23. On demande le lieu de m’’ quand m varie, ce qui donne une seconde branche du lieu.
  24. L’ensemble des deux branches donne une courbe nommée « serpentine »

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : les deux lieux
  1. Valide « serpentine»

Essaie-la et amuse-toi avec.

serpentine.jpg

QUINTIQUE SIMPLE

QUINTIQUE SIMPLE

 

 

  1. On place deux points o et a
  2. On trace le cercle de centre o passant par a
  3. On trace le segment [oa] et on le mesure
  4. On trace la droite (d) perpendiculaire à ce segment  et passant par o. Elle coupe le cercle en b
  5. On trace le milieu i de a et b
  6. On trace la demi-droite [oi) qui coupe le cercle en j.
  7. On trace l’arc de cercle ajb.
  8. On trace la tangente au cercle en b
  9. On choisit un point m sur cet arc
  10. On trace la demi-droite [om)
  11. On trace la bissectrice de aom : elle coupe la tangente en p.
  12. On trace le symétrique de p par rapport à b : on trouve un point h
  13. On prend le milieu de ph et on trace le cercle de diamètre ph
  14. Il coupe la droite (d) en k par exemple
  15. On trace le segment [bk] et on le mesure
  16. On mesure la longueur oa
  17. On ouvre la calculatrice et on calcule le produit  oa * bk, ce qui donne un nombre r
  18. On reporte r sur la demi-droite [om), ce qui donne un point m’
  19. On demande le lieu de m’ quand m varie ce qui donne une branche de la courbe
  20. On trace le symétrique de m’ par rapport à o : on obtient un point m’’
  21. On demande le lieu de m’’ quand m varie

 

La courbe formée par les deux branches est une quintique simple.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.(les deux lieux)
  • Valide « quintique simple»

quintique-simple.jpg

Essaie-la et amuse-toi avec.

QUINTIQUE DE L HOSPITAL

QUINTIQUE DE L HOSPITAL (**)

 

 

  1. Deux points o et a
  2. la droite (oa)
  3. On mesure oa
  4. le cercle de centre o passant par a
  5. On prend la macro « repère centimétrique sur (o,a) et on trace ce repère
  6. On mesure la longueur du cercle, soit L.
  7. On reporte le nombre L sur l’axe des abscisses, ce qui donne le point A
  8. On trace le segment [oA]
  9. On prend un point M sur ce segment ( sur le segment) et on demande ses coordonnées, ce qui donne une abscisse t
  10. On reporte t sur le cercle à partir de a.On obtient un point m
  11. On trace la demi-droite [om)

On multiplie avec la calculatrice le nombre 2 par t   (en montrant t) et on reporte le nombre obtenu 2t sur le cercle ce qui donne un point p.

  1. On trace la demi-droite [op)
  2. On divise L par L, ce qui donne 1.00
  3. Avec la commande compas, on trace le cercle de centre o et de rayon 1.00 : on le met en vert
  4. La demi-droite [om) coupe le cercle vert en m1 : on demande les coordonnées de m1, soit x et y.
  5. La demi-droite [op) coupe le cercle vert en p1 : on demande les coordonnées de p1, soit x’ et y’.
  6. On ouvre la calculatrice et on calcule en montrant les nombres, le nombre

oa*y / ( 1+x*x’), ce qui donne un nombre r.

  1. On reporte r sur la demi-droite [om), ce qui donne un point m’
  2. On demande alors le lieu de m’ quand m varie

 

On obtient une courbe qui est une quintique de l’Hospital, mathématicien français.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.(les deux lieux)
  • Valide « quintique de l’Hospital»

Essaie-la et amuse-toi avec.

quintique-de-l-hospital.jpg

PARABOLE SEMI CUBIQUE

PARABOLE SEMI CUBIQUE

 

 

  1. 1.  On prend deux points o et a
  2. 2.  On trace la droite (oa)
  3. 3.  On trace le cercle de centre o passant par a
  4. 4.  On trace la perpendiculaire en o à (oa) qui coupe le cercle en haut en b
  5. 5.  On trace la tangente en a au cercle
  6. 6.  On trace la tangente en b au cercle
  7. 7.  On choisit un point m sur le cercle, sur le premier quadrant par exemple
  8. 8.  On trace la demi-droite [om) qui coupe la tangente en a en T et la tangente en b en T’
  9. 9.  On trace le segment [aT] et on le colorie en orange
  10. 10.              Par T’, on trace la perpendiculaire à (oa) et la coupe en T’’
  11. 11.              On trace le segment [oT’’] et on le colorie en bleu
  12. 12.              Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre o et qui a pour rayon le segment orange
  13. 13.              Le cercle que l’on vient de tracer coupe la demi-droite [om) en un point m’
  14. 14.              On trace le symétrique m’’ de m’ par rapport à la droite (oa)
  15. On demande alors le lieu de m et celui de m’quand m varie

 

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.(les deux lieux)
  • Valide « parabole semi-cubique»

Essaie-la et amuse-toi avec.

parabole-semi-cubique.jpg

TORPILLE SYMETRIQUE

TORPILLE SYMETRIQUE

 

  1. 1.  on prend deux points o et a
  2. 2.  on trace la droite (oa)
  3. 3.  on trace le cercle de centre o et passant par a
  4. 4.  on choisit un point m sur le cercle
  5. 5.  on trace la perpendiculaire de m sur (oa)
  6. 6.  elle coupe (oa) en h
  7. 7.  On trace le symétrique p de a par rapport à [om) et on trace la demi droite [op)
  8. 8.  on trace la perpendiculaire à [om) par h. On obtient un point k sur [op)
  9. 9.  on trace le cercle de centre o passant par k
  10. 10.              ce cercle coupe la demi-droite [om) en un point m’
  11. 11.              on demande le lieu de m’ quand m varie

 

On obtient une courbe qui a la forme d’une torpille.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o, a
  • Objets finaux : le lieu.(les deux lieux)
  • Valide « torpille symétrique»

Essaie-la et amuse-toi avec.

torpille-symetrique-2-1.jpg

RACINE CUBIQUE D UN NOMBRE REEL

RACINE CUBIQUE ALGEBRIQUE (**)

(une macro utile parfois)

 

  1. 1.  On se donne un nombre réel A
  2. 2.  On forme le nombre abs(A) / A : on trouve un nombre e qui est soit 1 soit -1.
  3. 3.  On calcule le nombre [abs(A)]^(1/3)
  4. 4.  On multiplie le résultat par le nombre e trouvé plus haut : on trouve un nombre B.

 

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : le nombre A
  • Objets finaux : le nombre B trouvé
  • Valide « racine cubique algébrique»

TREFLE DE KIEPERT

TREFLE DE KIEPERT (**)

 

 

  1. 1.  Deux points o et a pas trop éloignés
  2. 2.  Le cercle de centre o passant par a
  3. 3.  On mesure le cercle : soit L
  4. 4.  Avec la macro « repère centimétrique » on place un repère sur  (oa)
  5. 5.  On reporte le nombre L sur ce repère : on trouve un point b
  6. 6.  On trace le segment [ob]
  7. 7.  On choisit sur ce segment un point T
  8. 8.  On demande les coordonnées de t ce qui donne deux nombres t’ et t’’
  9. 9.  On reporte t’ sur le cercle ce qui donne un point m
  10. 10.              On ouvre la calculatrice et on multiplie t’ par 3, ce qui donne 3t’.
  11. 11.              On reporte 3t’ sur le cercle, ce qui donne un point p
  12. 12.              On divise L par L, et on trouve 1.00
  13. 13.              Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre o et de rayon 1.00 (cercle en jaune)
  14. 14.              Il coupe la demi-droite [op) en q
  15. 15.              On demande les coordonnées de q, ce qui donne deux nombres x et y
  16. 16.              On mesure oa, le rayon du premier cercle, soit R
  17. 17.              On calcule le nombre R^3*x
  18. Ensuite on utilise la macro donnant la racine cubique algébrique, on obtient un nombre réel r
  19. 19.              On reporte ce nombre r sur la demi-droite [op), ce qui donne un point m’

        20.  on demande le lieu de m’ quand T varie sur le segment [ob] : on obtient un trèfle de Kiepert

        

Fais maintenant une macro pour pouvoir la construire tout de suite.

  • Objets initiaux : les points o et a
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « trèfle de Kiepert»

 

 

trefle-de-kiepert.jpg

 

ELEMENTS D UNE ELLIPSE

ELEMENTS DE L’ ELLIPSE

 

(courbe, pt de fregier, normale, tangente, diamètre)

 

  1. On prend un segment [oa] et la perpendiculaire en o avec un point b sur cette droite vers le haut
  2. On trace la droite (oa)
  3. On trace le cercle de centre o passant par a : il coupe la perpendiculaire en deux points c et c’(c en haut)
  4. On prend le milieu de o et a
  5. On trace la médiatrice de o et a qui coupe le cercle en k
  6. On trace le symétrique b’ de b par rapport à o et a’ de a par rapport à o
  7. Les droites (oa) et (bk) se coupent en w
  8. La droite (wb) recoupe la médiatrice en h
  9. Avec la commande « conique », on trace l’ellipse passant par les 5 points a’, b’, a, h, b.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a et b
  • Objets finaux : l’ellipse
  • Valide « ellipse centre o, demi axe oa et ob »

Aide : les 3 points o a et b forment un triangle rectangle en o.

ellipse-demi-axe-oa-et-ob.jpg

ELLIPSE ET TANGENTE

ELLIPSE ET TANGENTE

 

  1. 1.  Avec la macro précédente, tracer l’ellipse (o, a, b)

(la macro donne les points a’, b’

  1. 2.  Choisir un point m sur l’ellipse
  2. 3.  Tracer la droite ma’ et tracer sa perpendiculaire en m : elle coupe l’ellipse en a’’
  3. 4.  Tracer la droite (a’a’’) et mettre en pointillé
  4. 5.  Tracer la droite (mb’) et sa perpendiculaire en m :celle-ci recoupe l’ellipse en b’’
  5. 6.  Tracer la droite (b’b’’) et mettre en pointillés
  6. 7.  Les deux droites en pointillés se coupent en un point z qui est le point de frégier de m ; on l’épaissit.
  7. 8.  On trace la droite (mz) et on la colorie en bleu : c’est la normale en m à l’ellipse
  8. 9.  On trace la perpendiculaire en m à la normale :

On obtient la tangente en m que l’on met en rouge.

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, b et le point m sur l’ellipse
  • Objets finaux : le point de frégier, la normale et la tangente en m
  • Valide « tangente et normale à l’ellipse»

 

Aide : les 3 points o a et b forment un triangle rectangle en o.

ellipse-tangente-et-normale.jpg

COURBE DE TALBOT

COURBE DE TALBOT

 

  1. On se donne o, a, et b en triangle rectangle en o
  2. On trace l’ellipse de demi-axes oa et ob
  3. On se donne un point m sur l’ellipse
  4. On prend le symétrique de m par rapport à o, soit m’
  5. On trace le segment [mm’] et on trace la perpendiculaire en m à ce segment et on la colorie en rouge
  6. On va dans « options, préférences, lieux », on décoche « lier les points »,  on coche « enveloppe »
  7. On demande le lieu de la perpendiculaire rouge quand m varie
  8. On obtiens une courbe fermée avec deux anses

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, b
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « Courbe de Talbot»

couirbe-de-talbot.jpg

 

 

Aide : les 3 points o a et b forment un triangle rectangle en o.

DELTOIDE ANTIPODAIRE D ELLIPSE

DELTOIDE ANTIPODAIRE D’ ELLIPSE

 

 

  1. Trois points o , a, b en triangle rectangle en o
  2. Avec la bonne macro, tracer l’ellipse de demi-axes oa et ob
  3. Choisir un point m sur l’ellipse
  4. Tracer la corde [am]
  5. Tracer par m la perpendiculaire à [am] en pointillés rouges
  6. On va dans « options, préférences, lieux », on décoche « lier les points »,  on coche « enveloppe »
  7. On demande le lieu de la perpendiculaire rouge quand m varie

 

On obtient une belle courbe triangulaire appelée « deltoïde »

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, b
  • Objets finaux : le lieu
  • Valide « deltoïde comme antipodaire »

 

Aide : les 3 points o a et b forment un triangle rectangle en o.

deltoide-antipodaire-d-ellipse.jpg

ELLIPSE ET FOYERS

FOYER DE L’ELLIPSE (o a b)

 

  1. 1.  Trois points o a b en triangle rectangle
  2. 2.  On trace la droite (oa)
  3. 3.  On trace le cercle de diamètre [oa]
  4. 4.  On trace le cercle de centre o passant par b
  5. 5.  Il coupe le premier en k par exemple
  6. 6.  On trace le segment [ak] que l’on colorie en orange
  7. 7.  Avec le compas on trace le cercle de centre o et de rayon ak
  8. 8.  Il coupe la droite (oa) en f et f’ qui sont les foyers de l’ellipse
  9. 9.  On épaissit ces points

 

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points o, a, b
  • Objets finaux : les points f et f’
  • Valide « foyers de l’ellipse oab »

 

Aide : les 3 points o, a et b forment un triangle rectangle en o.

 

ellipse-o-a-b-et-ses-deux-foyers.jpg

ELLIPSE (grand axe et foyer)

ELLIPSE A,B,F (grand axe et foyer)

 

  1. 1.  Un segment [aa’] (grand axe), un point f dessus (foyer)
  2. 2.  Le milieu o de [aa’] et le symétrique f’ de f par rapport à o
  3. 3.  Le milieu de oa, soit w
  4. 4.  Le cercle de diamètre oa (orange)
  5. 5.  Le cercle de centre o passant par f coupe le cercle orange en k
  6. 6.  On trace le segment ok ( en orange) et le segment ak (en rouge)
  7. 7.  On trace la médiatrice de aa’
  8. 8.  Avec « compas », on trace le cercle rouge de centre o et de rayon ak
  9. 9.  Ce cercle rouge coupe la médiatrice en b et b’
  10. 10.              On a déjà 4 points de l’ellipse. On trace le cercle de diamètre aa’ en jaune .

Ce cercle coupe la médiatrice de aa’ en p

  1. 11.               On place maintenant la médiatrice de oa’ qui coupe le cercle rouge en q en haut
  2. 12.              On trace la droite (aa’) et la droite (pq) qui se coupent en z
  3. 13.              La droite (zb) coupe la médiatrice de oa’ en c
  4. 14.              Avec la commande « conique », trace l’ellipse passant par ab’a’cb

 

 

On fait une macro :

  • Objets initiaux : les points A,B, F
  • Objets finaux : l’ellipse, le point O et le point F’
  • Valide « ellipse AB et F »

Aide : un segment AB et un point F sur ce segment

 

ellipse-et-foyers.jpg