variables, inconnues, noms, paramètres, indéterminées

 

 

 

 LE SIGNE MATHEMATIQUE

(inconnue,variable, indéterminée, paramètre, nom)

 

 

 

 

 

 

En mathématique, chaque lettre est un personnage qui, pendant quelques minutes ou quelques

heures, va prendre plusieurs masques:

  • Celui d'un simple nom
  • Celui d'une inconnue
  • Celui d'une variable
  • Celui d'une indéterminée
  • Celui d'un paramètre

Invitation au carnaval .

 

 

 

 

Charles Sanders Peirce

C'est en 1970, après 10 ans d'enseignement que j'ai eu quelque lueur sur cette question si importante pour l'enseignement des mathématiques. Dans un texte sur la théorie des catastrophes, le mathématicien René THOM parlait de la "si belle et si profonde définition du signe que nous a laissé Charles Sanders Peirce".

La définition du signe héritée de Saussure qu'utilise depuis un siècle l'institution de l'éducation nationale, à savoir le couple (signifiant, signifié) ne me convenait pas pour rendre compte des subtilités de l'appropriation du signe par les élèves que ma pratique de jeune enseignant.

Certes, en la complétant avec la notion de référent, on arrivait à quelques lumières productives dans l'enseignement de la géométrie, pour distinguer dessin et figure par exemple, mais pour le reste, on restait dans le brouillard sur le statut de la lettre en algèbre par exemple.

Je me suis donc intéressé sommairement ( la majorité de ses oeuvres n'étant pas traduites ou même publiées) aux idées de ce mathématicien américain, reconnu comme le plus grand philosophe nord américain, redoutable anticartésien, père de la sémiotique , théorie des signes, inventeur de la théorie des treillis, précurseur de la logique moderne, et mort de faim pratiquement dans une ferme du middle west des USA, en 1914.

 

 

officiel

J'ai bricolé seul pendant quelques années, comme beaucoup d'entre nous probablement.

En mai 1989, un ipr passant dans mon établissement à Port-Saint-Louis du Rhône me fit passer un document du GREM d'une vingtaine de pages sur la lettre en mathématiques, récemment discuté .

Convaincu qu'il s'agissait de la mise à jour tant attendue, je pris le document vers midi, demandait à mon épouse et à mes enfants l'autorisation de m'absenter, clouait le document à un manche de bois,à cause du mistral possible, me fis un sandwich, pris deux canettes, la voiture, traversais le Rhône sur le bac, et fonçais lire le document sur une plage de Salins de Giraud, plage privé dont l'accès au public avait été rendu possible par les travailleurs des Salins du Midi et de Solvay.

La lecture dans le vent de la plage fut intéressante mais décevante, vu mes attentes. C'était une reprise brillante des définitions de variables , indéterminées, inconnues habituelles, mais avec, sous-jacent, les concepts de signifiant et signifiés hérités de Saussure.

Je pense maintenant que vu l'importance permanente de ces notions dans notre enseignement ( elles courent de la maternelle (oui!) à l'univesité, il faut que les enseignans discutent des concepts de Peirce même sur une présentation sommaire.  La pratique pédagogique quotidienne fera fructifier ces outils un jour officiellement.

 

A bas le "trop théorique"

La manière la plus puissante pour une institution de rendre obéissant ses membres consiste à les dégoûter par avance de toute

reflexion sérieuse avec la diffusion "diffuse" de la fameuse phrase " c'est trop théorique".

Sous-entendu:" occupez-vous de votre pratique.Quelques spécialistes se chargent de la théorie, et la digèreront pour vous.Vous

recevrez alors des directives". Le fin du fin consiste à faire partager cette idée par la majorité des membres.

Essayons donc modestement de risquer le "trop théorique", chacun fabriquera alors, avec son génie propre, ses propres directives, , la désobéissance étant la vertu cardinale de l'enseignant.

 

une définition du signe

 

Charles Sanders Pierce a donné au cours de sa vie de 1839 à 1914 près de 80 définitions du signe, la modifiant souvent pour la faire coller à la réalité de cet objet fascinant qu'est le signe.Nous en choisirons celle qui nous semble la plus commode dans la mesure où elle contient les autres.

 

    « Un signe, ou représentamen, est quelque chose (1)qui tient lieu, pour quelqu'un (2)de

    quelque chose (3), sous quelque rapport (4)ou à quelque titre.

    Il s'adresse à quelqu'un (5), c'est à dire qu'il crée, dans l'esprit de cette personne un

    signe plus développé (6).Ce signe qu'il crée, je l'appelle l'interprétant du premier

    signe.

    Ce signe tient lieu de quelque chose: son propre objet. Il tient lieu de cet objet, non pas

    sous tous les rapports, mais en référence à une sorte d'idée que j'ai appelé parfois le

    ground(fondement) de la représentation. »

Les 6 éléments

 

On a donc  6 pôles

 le représentamen

moi, l'émetteur du signe

l'objet du signe

le fondementdu signe

l'interprète du signe

l'interprétant du signe

 Ainsi, par exemple:

Ainsi, dans ma tête je vois un trait. J’écris à un élève : « trace [xy] ».Ce symbole, [xy], représentamen, tient lieu pour moi d’un segment d’extrémités x et y, objet du signe, qui est en rouge dans ma tête, et épais. Il en tient lieu non du point de vue de sa couleur ou de son épaisseur, mais en tant que « segment », le fondement de la représentation.

Ce symbole crée (en principe) dans l’esprit de l’élève un autre signe qui est probablement un tracé de segment, qui peut être noir et mince, l’interprétant, que l’élève va dessiner.

- Noter que si pour moi le trait rouge représente une droite, le représentamen serait différent : (xy), l’objet du signe serait différent, le fondement aussi, l’interprétant aussi, mais le dessin fourni serait le même.

- Notons que si l’élève était moi dans les années 50, le maître aurait écrit : « trace le segment xy » et ce sont ces 3 derniers mots qui constitueraient le représentamen.

- Si l’élève avait imaginé un trait vert en pointillé, l’interprétant n’aurait pas changé, mais l’interprétation aurait été différente.

- Si cette même injonction avait concerné un autre élève, l’interprète aurait été différent.

- Noter que le segment réel tracé est simplement une représentation de l’interprétant.

- Notons encore que si je considère le représentamen « trace [xy] », alors

l’interprétant est « l’action de tracer le segment ».

- Noter que la présence d’un interprète n’est  pas indispensable.


Les sous-signes.

Nous nous contenterons ici du représentamen du signe, de l'objet du signe et de l'interprétant du signe.

Prenons un panneau stop sur la route.Ce panneau de fer est le représentamen. Il est mis pour indiquer un ordre d'arret : c'est l'objet du signe, un agent de police!.  Il crée dans mon esprit un autre signe m'indiquant ce que je dois faire: l'interprétant du signe. Si je suis un automobiliste ou un piéton, l'interprétant ne fonctionnera pas de la même façon.

On distinguera donc le rapport qu'un signe entretient avec son représentamen, avec son objet et avec son interprétant.

De plus, on tiendra compte des 3 modalités classiques que les philosophes de tous les pays du globe nous ont appris, chacun à leur manière, à distinguer dans les productions de l'esprit sot 3 catégories.

Pour prendre le cas des grecs : il y a l'ousia, l'univers des possibilités¨Peirce dit " la priméité"

puis la tychè , l'univers des "accidents", des choses, la "secondéité"

puis le logos, l'univers du discours, la "tiercéité".

 

On a donc le tableau des 9 sous-signes suivants.

_Par rapport à son représentamen

  • une qualité qui est un signe :  c'est un qualisigne ( la couleur rouge)
  • une chose qui est un signe: c'est un sinsigne (le feu rouge)
  • une loi qui est un signe: c'est un légisigne ( l'interdiction de franchir le feu rouge)

- par rapport à son objet, il peut

  • lui ressembler : ce sera une icône ( une maquette)
  • lui être contigu, attaché: ce sera un indice (le panneau H près de l'hôpital)
  • lui être affecté en vertu d'une convention : ce sera un symbole.(ln pour logarithme népérien)

- par rapport à son interprétant, il peut

  • décrire une possibilité d'essence: ce sera un rhème ( forme propositionnelle par exemple)
  • décrire une existence : ce sera un discisigne 2x+3 = 0 pour -0,5.
  • décrire une loi à suivre : ce sera un argument (flèche sens obligatoire)

 

le tableau des 9 sous-signes

 

LES 10 CLASSES DE SIGNE

 

 

Les 10 classes de signe.

En fait, un signe se présentera donc comme un triplet indiquant son type par rapport au représentamen, à l'objet, et à l'interprétant.

On aura alors la classe du signe.

Contrairement à ce que l'on pourrait penser, il n'y a pas 27 classes, mais 10 parce qu'il y a un ordre des catégories:

possibilité < existence < pensée

et des éléments du signe:

représentamen < objet < interprétant

Ainsi, dans le tableau des signes, on ne peut pas se déplacer vers la droite quand on descend.

Donc:

  • si le représentamen est un qualisigne, son objet ne peut être qu' un icône, et son interprétant un rhème.

  • Si le représentament est un sinsigne, son objet ne peut être qu'une icône ou un indice, et l'interprétant un rhème ou un dicisigne.

  • Si le représentament est un légisigne, alors l'objet peut être icône, indice ou symbole et l'interprétant rhème, dicisigne ou argument.

  • Ainsi, on a les possibilités suivantes, indiquées par les trajets suivants:

 

noms des 10 classes

On a donc :

  1. les qualisignes  iconiques rhématiques (qir)
  2. les sinsignes iconiques rhématiques (sir)
  3. les sinsignes indiciaires rhématiques sjr)
  4. les sinsignes indiciaires "dicent" (pour discisigne) (sid)
  5. les légisignes iconiques rhématiques  (lir)
  6. les légisignes indiciaires rhématiques  ljr)
  7. les légisignes indiciaires dicent ( lid)
  8. les légisignes symbolique rhématiques  (lsr)
  9. les légisignes symboliques dicent ( lsd)
  10. les légisignes symbolique argumentaux (lsa)

A SUIVRE

 

 

La notion de "réplique"

Parmi les 10 classes, examinons les 6 dernières: ce sont des légisignes. L'objet est rattaché au representamen par une loi, un code. Le panneau "sens interdit" du code de la route est un légisigne. Mais prenons garde, ce n'est pas la même chose que "ce panneau sens interdit" qui se trouve à 100m de chez moi.Celui-ci est une chose, ici matérielle : c'est un sin-signe. Nous dirons que "ce panneau là" est une réplique  du premier. Un légisigne ne fonctionne que matérialisé dans une chose ,donc un sinsigne, un indice, ou un dicisigne ( existence, donc deuxième colonne). Ainsi, le nombre "quatre" peut être matérialisé dans le graphisme 4 en décimal (un sinsigne), ou par la quatrième graduation de cette règle dessinée à cet endroit de ma feuille ( un indice) ou par l'équation 2x-8=0 (un dicisigne).

Pour passer plus tard à notre propos sur les lettres, il nous faut donc distinguer les sortes de "répliques", en notant que les 4 premières classes n'ont pas de répliques, n'étant pas des légisines.

 

Remarques éclairantes

 

Remarques éclairantes ( tirées du beau livre de Gérard Deledalle «  Théorie et pratique du signe » paru en 1979 aux éditions du Seuil)

  1. un qualisigne (qualité qui est un signe) ne peut agir que lorsqu'il est matérialisé.

  2. Matérialisé, le qualisigne est alors par exemple, un sinsigne.

  3. « Un sinsigne est une chose ou un événement existant réél qui est un signe »(Peirce) ( une partie de R4 donc), avant toute interprétation.

  4. Un légisigne, « loi qui est un signe » (Peirce). »

  5. « Quand nous disons que « le » est un « mot », que « un » est un autre « mot », alors un « mot » est un légisigne. » (Peirce)

  6. Tous les systèmes d'écriture, dans la mesure où ils obéissent à des règles de formation et d'utilisation, sont des légisignes

  7. « Mais ce ne sont point des légisignes que l'on écrit ou que l'on prononce, ou que l'on lit ou que l'on entend, mais leurs répliques.

  8. Le mot « trapèze» que j'écris ici n'est pas un légisigne, mais une réplique d'un légisigne.

  9. « un sinsigne qui renferme un légisigne, je l'appelle une réplique » (Peirce)

  10. Noter qu'un sinsigne qui renferme un qualisigne ( « rouge »), n'est pas une réplique.

  11. Notons aussi qu'une réplique peut être parfois un indice, ou un dicisigne.

  12. Un qualisigne ne se matérialise pas toujours dans un sinsigne.

  13. Qualisigne et légisigne diffèrent du sinsigne en ce qu'ils ne sont ni l'un , ni l'autre, quelque chose de singulier, d'unique.

  14. Le légisigne et le qualisigne diffèrent l'un de l'autre en ce qu'ils sont deux types de généralités différentes: le légisigne a un identité bien déterminée (système ou code ) malgré sa grande diversité d'apparences (ses répliques) alors que le qualisigne, malgré ses nombreuses matérialisations, n'a aucune identité.

Les répliques des légisignes

 

A SUIVRE

 

Un exemple motivant (j'espère)

Voici un exemple pour préparer la suite et surtout pour montrer que mon propos ne relève pas

 d'un  "équarissage de cheveu". La même lettre va prendre successivement les cinq statuts:

nom, inconnue, indéterminée, variable , paramètre.

Soit le problème suivant, niveau seconde, mais on pourrait le montrer pour n'importe quelle classe, de l'école primaire à l'université.

On a un carré de côté 8cm. Dans coin, on enlève un carré de côté x.On construit alors un

rectangle adjacent à ce carré tronqué comme l'indique la figure, Le côté non adjacent au carré de

ce rectangle est 13 cm. ( Dans un second temps, il sera de t cm)

Combien faut-il enlever au côté du premier carré pour que l'aire du rectangle soit égale à celle

du carré tronqué ?( donner une solution algébrique et une graphique)

x est d'abord le nom du nombre qui est le côté du carré qu'on enlève.

L'aire du carré tronqué est 64-x², et l'aire du rectangle est 13(8-x) : ces expressions sont les noms

 de ces aires.

Mais je veux que ces aires soient égales : 64-x² = 13(8-x)

Maintenant, x n'est pas n'importe quoi : x est une inconnue

Pour résoudre cette équation, je remarque que quel que soit x,

64-x² = (8+x)(8-x)  : ici, x n'est plus une inconnue, mais une indéterminée.

Je réécris l'équation :

(8+x)(8-x) = 13(8-x)  x est à nouveau l'inconnue cherchée.

J'écris une équation équivalente ( mêmes solutions pour l'inconnue)

(8+x)(8-x) - 13(8-x) = 0

Je sais que le premier membre s'écrit après factorisation ( propriété des indéterminées)

(8-x)(x-5) et ici x est a nouveau une indéterminée 

L'équation s'écrit alors (8+x)(x-5) = 0  et ici x est une inconnue.

Les propriétés des équations me donnent deux solutions 8 et 5.

 

Je dois enlever 5 cm ou 8cm, cette dernière étant presque évidente.

Solution graphique.

 

 

 

 

suite : solution graphique

 

La solution graphique est construite sur le fait que l'équation trouvée plus haut exprime l'égalité

des valeurs de deux fonctions pour une même valeur de x : la fonction 64-x² d'une part, et la

fonction 13(8+x) d'autre part. x est alors une variable.

Je trace les deux graphiques et j'obtiens une valeur approchée 5.

troisième question possible( rumination)

 

Nous supposons maintenant que le rectangle n'a pas pour longueur 13, mais un nombre t.

Choisir une valeur de x.

Calculer le rapport y(t) des deux aires (carré tronqué / rectangle) en fonction de t. Tracer le

graphique de y en fonction de t.

Recommencer pour 2 autres valeurs de x.

On trouvera (8+x)/ t et les courbes ci-contre.

Ici, à chaque valeur de x correspond une situation pour ce rapport : x joue alors le rôle du boîtier

de vitesse d'une voiture  ou du thermostat d'un frigidaire : x est un paramètre.

Evidemment me dira-t-on, on fait tout cela inconsciemment, on résoud cela à chaque instant.

Mais pourquoi faire croire à l'élève réel qu'il manipule chaque fois la même chose alors qu'il

utilise en fait les propriétés de type d'objets différents? Il faudra bien interroger un jour les

programmes. ( La question n'a que peu d'intérêt évidemment si l'on s'interesse à l'élève abstrait,

mais elle est décisive pour françois, jean, luigi, josé, omar , sembene si on ajoute à ces problèmes

leur problème d'identité nationale !)

Voilà donc les masques de carnaval que revêt le même personnage alfred = x.

Au fait, je vous recommande comme musique de carnaval le groupe guadeloupéen AKIYO.

A suivre.

 

un premier éclairage

 Le nom .Voici un point à côté duquel est tracé A.

La lettre A est le nom du point, un nom de baptême.

C'est un sinsigne. Il est attaché au point : c'est un indice par rapport à son objet.

Il dit seulement que le point existe.

Si j'ai ce rectangle et que, ne connaissant pas son aire, je la désigne par S, c'est de la même façon un sinsigne indiciaire dicent.

Quand je cherche à résoudre l'équation x²-9 =0

la lettre x qui est là désigne un des nombres qui vérifie l'équation : c'est une inconnue.

3 ou -3. Donc un sinsigne indiciaire dicent, bien qu'on

ne connaisse pas les solutions.

(en fait c'est la réplique présente d'un légisigne du code

 des équations)

Dans l'écriture (x+y)² = x²+2xy+y², la lettre a est une indéterminée. Elle remplace un nombre quelconque:

elle a une dimension de rhème. Réplique donc d'un

légisigne symbolique rhématique. Elle est elle-même un sinsigne indiciaire rhématique.

Dans l'expression f(x) = x²+3, expression d'une fonction f, x est une variable . C'est la réplique d'un légisigne (code des fonctions) symbolique rhématique ( mis pour plusieurs nombre).

 

Soit l'équation mx+3 = 10, m étant pris comme paramètre. m est la réplique d'un légisigne indiciaire rhématique . (indiciaire à cause de la présence d'un espace de contrôle attaché à la situation).

La lettre m est donc un sinsigne indiciaire rhématique.

Nous verrons plus tard que ces distinctions qui peuvent et doivent être discutées, peuvent permettre d'articuler un enseignement pour l'élève réel.

 

 

 

 

 

 

résumé