tableur et chaos (exercice élémentaire en seconde )

Avec Serge Baudet, nous avions proposé cette manipulation il y a quelques années.

On considère la fonction du second degré définie par f(x) = k x(1-x) ( c'est la classique "équation

logistique"), k étant un réel.

Pour une valeur donnée de k, on va appliquer cette fonction en chaîne à un nombre x.

Donc on s'intéresse à la succession x; f(x), f(f(x) ou f²(x), etc... f^n(x) en allant jusqu'à n=1000 ou

 5000 même.On va essayer de visualiser les choses.

On prend donc un tableur ( le classeur de open office par exemple ou excell ou....)

L'élève ouvre une page.

Pour que ce soit convivial, on va utiliser des compteurs d'où quelques artifices.( je détaille pour que

 tout le monde puisse le faire sans être rompu au maniement des tableurs, ce qui est mon cas hélas)

Je sélectionne A1.Je vais dans "insertion" "nom" "définir" je tape K . Puis dans cette case toujours je tape par exemple 320.

Je vais dans A2 , "insertion" "nom" "définir" je tape k . Puis dans cette case toujours je tape =

K/100.

Puis je vais dans "affichage", "barre d'outil" "contrôle de formulaire".

Une barre s'ouvre et j'active "activer le mode conception" puis j'attrape un "compteur" (double flèche) et je le place quelque part dans la colonne A. Puis je désactive le contrôle.

Je clique droit sur le compteur et je choisis "contrôle": une fenêtre s'ouvre me demandant quelle cellule commande ce contrôle. Je réponds A1.

Maintenant, si je clique sur une des flèches du contrôle, je vois que K augmente avec des pas de 1 tandis que k augmente avec des pas de 0,01.

Je fais la même chose pour x, donc :

Je sélectionne B1.Je vais dans "insertion" "nom" "définir" je tape X . Puis dans cette case toujours je tape par exemple 7.

Je vais dans B2, "insertion" "nom" "définir" je tape x . Puis dans cette case toujours je tape =

X/100.

Puis je vais dans "affichage", "barre d'outil" "contrôle de formulaire".

Une barre s'ouvre et j'active "activer le mode conception" puis j'attrape un "compteur" (double

flèche) et je le place quelque part dans la colonne A. Puis je désactive le contrôle.

Je clique droit sur le compteur et je choisis "contrôle": une fenêtre s'ouvre me demandant quelle cellule commande ce contrôle. Je réponds B1.

Maintenant, si je clique sur une des flèches du contrôle, je vois que X augmente avec des pas de 1 tandis que x augmente avec des pas de 0,01.

 

Ensuite, je vais dans C2, je tape "=k*x*(1-x)" et j'entre.

Dans B3, je tape"= C2", et dans C3 je tape "=k*x*(1-x)"  et j'entre.

Puis je selectionne ensemble C2 et C3, et je tire sur la poignée pour recopier jusqu'à 2000.

Ensuite je vais dans "insertion" "diagramme" et je choisis le diagramme point par point.

J'obtiens un graphique qui m'indique les 1998 points correspondants aux 1998 itérations de f.

J'entre par exemple pour X la valeur 5 donc pour x la valeur 0.5.

Puis pour K la valeur 270, donc pour k= 2.7

puis k=3.2

3.4

3.5

3.8

3.9

puis 4.

On peut aussi bouger le compteur de k (donc de K)

Et le miracle vous saute à la figure. La répétition ( ordre maximal) engendre dans un premier temps

un désordre visible, puis à ce désordre succède un ordre de deux points d'accumulations seulement,

puis chaos encore, puis ordre de quatre points d'accumulation et on peut continuer encore.

On trouvera 8 points ect . On peut aussi noter qu'une infime variations des valeurs initiales

engendre d'énormes différences qualitatives et quantitatives : belle illustration même naïve,des

points de vue hégéliens et marxistes du bond qualitatif et des visions de Poincaré sur la sensibilité

aux conditions initiales.