la surprise en maths :Idées de démarrages:

L'élève réel et l'étonnement

L’élève réel et l’étonnement

 

« Etonnez-moi, Benoît !», chantait Juliette Greco.

Je l’avais pris, à 15 ans, comme un conseil de séduction. Plus tard, je m’aperçus que cela pouvait être un conseil d’enseignement, bien que l’enseignement ne puisse se confondre seulement avec une entreprise de séduction comme semble le croire certains responsables de l’éducation nationale.

Appollinaire disait que « la surprise est le grand ressort du nouveau ».

Si les conditions matérielles étaient rendues favorables, on pourrait décider que pas une leçon de mathématique ne pourrait démarrer sans cet ingrédient essentiel, qui enclenche l’activité de reflexion chez l’élève réel.

Dans cette page, je voudrais juste mettre de temps en temps quelques « idées de démarrage » conçue de cette façon . Chacun, avec son génie propre, en fabriquera d’autres et trouvera alors des lieux où les communiquer. On pourrait imaginer un mot d’ordre «  pas de leçon de mathématiques qui ne démarre par une activité qui surprenne fortement l’élève réel (bien sûr) !» .

 

 

IDD1 Théorème du demi-cercle

Je commence ici par une activité que j’avais mis au point avec Violetta Colletin, de l’irem guadeloupe pour introduire le théorème du demi-cercle en 4ème.

Il est souvent étonnant de constater que la moitié au moins des élèves de 3ème aient oublié ce film et on passe au trois quarts

en seconde.

Je pense que cela est dû pour moitié à l’énoncé donné habituellement qui n’est pas bon pour l’enseignement, même s’il est parfait mathématiquement, donc pour l’élève abstrait.

Le bon énoncé est pour moi celui-ci : « Si on relie un point d’un cercle aux extremités d’un diamètre, on obtient un angle droit ».

La deuxième moitié dans les responsabilité de l’échec est dans l’absence de surprise dans la conquête personnelle de l’énoncé.

Essayons ceci.

On fait tracer un quart de cercle AB( un arc d'approximativemetn un arc de cercle ). On prend un point M1 sur l’arc.

On trace la perpendiculaire d1à [M1A] passant par M1.

On fait recommencer pour 5 autres points M2,M3,M4, M5, M6.

On remarque que les droites d1,d2,d3,d4,d5,d6 passent pratiquement par un même point C qui a l’air bien isolé: première surprise

On finit par faire tracer le cercle entier qui contient le quart de cercle.

Ensuite on fait deviner que le point C est le point diamétralement opposé  A sur le cercle : deuxième surprise.

On fait oublier le début en repartant d’un cercle et de son diamètre AC. Un point M1 sur le cercle.

On fait tracer l’angle AM1C, puis conjecturer l’angle droit. Puis tracer. d’autres points M2,M3 …. : troisième surprise : tous ces angles ont l’air droits.

Alors l’élève est prêt pour une démonstration et la réciproque. Il a de fortes chances de ne pas l’oublier facilement si on lui donne une formulation dynamique.

Evidemment, travailler ceci avec un logiciel comme cabri, ou geogebra ou carmetal ou geom.

 

Un bel invariant: le compas boîteux

Voici un bel invariant qui peut être traité en 5ème si on veut aller jusqu'à la démonstration, en

quatrième si on veut faire apparaître une fonction constante, mais rien n'empêche de le traiter à

l'école primaire ou en 6ème; surtout si on dispose d'un logiciel de géométrie( cabri ou un autre).

On donne deux segments de longueurs différentes a et b. On dessine une demi-droite d'origine O.

On prend un point m sur cette demi-droite. Avec le compas (intégré ou non), on trace le point n

situé à a cm de o et à b cm de m. La médiatrice du segment [om] rencontre le grand côté du

triangle omn en p. On colorie le triangle mnp.

Comment choisir le point m de façon que le triangle mnp ait le plus grand périmètre possible.

En faisant calculant ou demandant le périmètre du triangle, et en bougeant ou , à la main ,

en prenant quelques points m, les élèves auront la surprise de constater qu'il ne change pas

 (quand il existe). On peut obtenir une fonction constante en caractérisant m par la distance

 omque l'on notera x par exemple, le périmètre étant noté p

Les propriétés de la médiatrice peuvent aider les élèves qui veulent combler leur surprise à

démontrer l'invariance constatée, mais l'intérêt de l'exercice n'est que pour moitié dans la

 démontration

 

Encore un bel invariant : le birapport

On donne 4 demi-droites d'origine commune O.

On les coupe par un droite quelconque passant par un point quelconque p. On obtient les points

 a,b,c,d. On mesure ac, ad, bc,bd et on les place dans un coin de l'écran.

On ouvre la calculatrice, et en montrant les 4 nombres trouvés, on calcule les quotients (rapports)

 ac/ad,puis bc/bd, puis le quotient des quotients (ac/ad)/(bc/bd) (le birapport).

On les fait disposer clairement sur l'écran.

Si on bouge la droite, tous les nombres de l'écran changent, sauf le birapport .

La démonstration a peu d'intérêt, sauf pour un élève de seconde (en troisième,il faut guider).

Cerise sur le gâteau : si on bouge la droite en tirant seulemnt le point p, la droite sécante se

 déplace parallèlement à elle-même et on constate que les deux autres quotients ne changent pas.

( Conséquence plus directe de thalès).

Thalès classique dit: "la projection parallèle conserve les rapports sur deux sécantes quelconques.

Un sous Thalès injustement oublié en collège dit : la projection centrale conserve les rapports sur deux sécantes parallèles.

On vient de conjecturer : la projection centrale conserve le birapport sur deux droites

 quelconques.

On peut évidemment décomposer le problème en 3 problèmes distincts pour mieux surprendre.

 

J'ai souvent , il y a quelques années, essayé sans ordinateur. Il faut alors faire faire par chaque élève des figures assez grandes, ne pas faire couper les droites par deux sécantes sous un angle trop petit, faire calculer par chacun le quotient des deux birapports pour chaque droite, faire remplir au tableau les résultats de chacun, et constater en calculant la moyenne pour la classe qu'elle est voisine de 1.

 

 

 

 

PGCD

On trace un rectangle sur du papier millimétré.

Ses dimensions sont 144mm et 60mm. On demande de décomposer le rectangle en carrés de même côté, mais ce côté doit être le plus grand possible.

PPCM

On considère sur du papier millimétré des rectangles de côtés 12mm et 15 mm.

On en dispose d'autant qu'on en veut.

Comment les disposer pour obtenir un carré de la plus petite dimension possible?