Grille d'études de géométrie

 

 

« Méthode, méthode, que me veux-tu ? Tu sais bien que j’ai mangé du fruit del’inconscient. » (J.Laforgues)

La méthode

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On étudie systématiquement la transformation avec la grille en deux

temps :

1. un premier parcours pour deviner les résultats

2. un second parcours pour les démonstrations (voir les

documents spécialisés)

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Suivant les besoins, la transformation peut être définie :

9. géométriquement

10. analytiquement

11. par les complexes

12. en utilisant une macro de CABRI ou d'un autre logiciel de géométrie dynamique déjà faite ou à faire, sans revenir à sa

programmation : le logiciel fonctionne alors comme une boite noire

 

Les questions à se poser régulièrement

 

On étudiera les questions suivantes, à propos de chacune des

transformations indiquées :

 

· Un point a-t-il, au plus, une image ?

·

Construire l’image de cinq points donnés (penser aux cas

particuliers évidents).

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Donner la suite d’ordres nécessaires pour construire l’image d’un

point ; faire une macro.

·

 Conservation de l’existence : est-ce que tout point a une image ?

(problème de l’ensemble de définition).

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Est-ce que deux points différents ont des images différentes ?

(problème d’injectivité).

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Tout point a-t-il un antécédent ? (problème de surjectivité).

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Est-ce que cette transformation (du plan) est bijective ?

Peut-on caractériser sa réciproque ?

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Conservation de certains points : existe-il des points confondus avec

leur image (points dits « invariants ») ?

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Conservation de la distance : la distance de deux points est-elle

égale à celle de leurs images ? (problème d’isométrie)

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Conservation de l’alignement :est-ce que si trois points sont alignés,

leurs images sont alignées ? (problème de collinéation)

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 L’image d’une droite est-elle une droite ? un morceau de droite ?

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 Conservation de la « sécance » : est-ce que si deux droites se

coupent en un point, leurs images se coupent ?

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Conservation de la direction : est-ce que l’image d’une droite est

une droite parallèle ?

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Conservation du parallélisme : est-ce que les images de deux droites

parallèles sont des droites parallèles ?

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Conservation de l’orthogonalité : si deux droites sont

perpendiculaires, leurs images sont-elles aussi perpendiculaires ?

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Conservation de l’ordre ternaire : si, sur une droite, C est entre A et

B, est-ce que C’ est aussi entre A’ et B’ ?

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 Conservation de l’ordre binaire : si, sur une droite ordonnée, A, B,

C, D sont rangés dans cet ordre, est-ce que A’, B’, C’, D’ sont

rangés dans le même ordre ? Dans l’ordre contraire ? Dans un autre

ordre ?

·

Images de parties remarquables :droite , demi-droite, segment,

cercle, arc, carré, rectangle, triangle équilatéral, losange, angle ?

·

Figures invariantes : Y a-t-il des figures remarquables qui sont leur

propre image :

o point par point

o globalement

·

Formes invariantes : si on a une famille (F) de figures d’un type

donné, est-ce que l’image d’une de ces figures est encore une figure

de la même famille ? (par exemple : est-ce que l’image d’un carré

est un carré ?)

·

Conservation de la disjonction : si deux parties sont disjointes, estce

que leurs images sont nécessairement disjointes ?

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Conservation du sens : si l’image d’une demi-droite est une demidroite

parallèle, est-ce que ces deux demi-droites ont le même sens ?

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Conservation du sens trigonométrique : si l’image d’un cercle est un

cercle, est-ce que l’image d’un cercle orienté est un cercle orienté de

même sens que le premier ?

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Conservation de l’équipollence : si deux bipoints sont équipollents,

leurs images sont-elles deux bipoints équipollents ?

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Respect du milieu : l’image du milieu de deux points est-elle le

milieu de l’image ?

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 Conservation de la régularité : l’image d’une division régulière est elle une division régulière ?

·

 Conservation du rapport :est-ce que le rapport de deux segments est

conservé ?

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Conservation de l’angle : est-ce que l’image B’ A’C’ d’un

« angle » BAC est un « angle » de même mesure ?

(transformation conforme)

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Quelle est l’image d’un réseau orthonormé ?

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Peut-on dans certains cas, trouver les coordonnées de l’image d’un

point dans un repère orthonormé ?

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Orbite d’un point : comment sont situés les itérés d’un point

(répétitions de la transformation) f(a) , f(f(a)) , f(f(f(a))) etc.....

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 On considère la famille de f (exemple : les translations) : est-ce que

la composée de deux transformations de la famille est encore un

élément de la famille ? et pour certaines sous familles ?

·

Est-ce que l‘IDENTITE est une transformation de la famille ?

·

Est-ce que l’inverse d’une transformation de la famille est une

transformation de la famille ?

·

Quelles figures remarquables peuvent être étudiées avec f ?

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Sous quelles formes peut-on trouver f dans la vie courante ?

 

les transformations

 

On étudiera les transformations suivantes :

i. symétrie axiale

ii. symétrie centrale

iii. translation

iv. rotation

v. projection orthogonale sur une droite

vi. projection oblique

vii. symétrie oblique

viii. homothétie

ix. similitude

x. inversion)

xi. symétrie glissée : composée d’une translation et d’une symétrie

d’axe parallèle à la translation (ou d’une symétrie centrale)

xii. affinité orthogonale et oblique

xiii. homologie)

xiv. transvection (cisaillement)

Ce texte se trouve dans le livre "manipulations de géométrie non euclidienne " écrit par karine perez et alain magen aux éditions publibook