Grille d'études d'algèbre ou d'arithmétique (maternelle à université)

Apprendre à conjecturer

 

 

 

Grille d'études et d'exploration algébriques


(moule à conjectures)



En algèbre l'exploration des propriétés, leur révision, leur mise en intuition est souvent négligée

sous prétexte de l'application rigoureuse des formules. Cette attitude paraît efficace quand les

évaluations sont simples, pour ne pas dire simplistes.

Mais dès qu'il s'agit de calculs créatifs ou demandant une certaine initiative personnelle, même

pour les activités préparatoires; c'est un autre élève qui est nécessaire.( Pour prendre un

exemple , l'épreuve pratique de maths en TS mise en place récemment suppose pour être

 intéressante des élèves préparés à la fabrication de conjectures à partir de manipulation

d'ordinateur dès la seconde au moins).

Il y a donc à développer des méthodes d'investigations sauvages débouchant sur des conjectures

qui seront validées ou non ensuite par le maître.

Mais ce n'est pas la validation qui est la plus importante.

Je propose une approche centrée sur l'action, sur la formulation et sur l'institutionnalisation, au

sens de regroupement dans un nombre limité de casiers de résultats.

On les adaptera à la classe de maternelle, ou de CE, ou de sixième,

ou de seconde, de terminale ou d'université. Le principe est le même et on habitue l'enfant à se

poser spontanément chaque année ce type de questions dont les réponses sont indispensables à

l'appropriation par l'élève réel. L'utilisation intelligente de logiciels de calcul ou de calculatrice

peut être parfois un plus (mais pas toujours ).

Les opérateurs à utiliser

 

 

Les 23 questions suivantes se poseront et il est clair qu'elles seront posée sans le langage barbare

qui les résume néanmoins si commodément.

  • suivant les catégories de nombres choisis au départ (naturels, entiers relatifs, rationnels,

  •  

  • réels, complexes, quaternions, p-adiques)

  •  

  • suivant les opérateurs fondamentaux que l'on fera fonctionner toujours avec l'arrière pensée

  •  

  • de mettre en évidence un invariant (quantité ou qualité que l'opérateur ne change pas)

    ou une variation prévisible. Ces opérateurs seront, suivant les classes :

  •  

  • les translations f(x) = x + a.( dès le CP)

  •  

  • les homothéties f(x) = ax (dès le CE )

  •  

  • les affines f(x) = ax+b (dès la 6ème)

  •  

  • les troncatures f(x) = Tr(x) ou E(x) ou floor(x).( 6ème)

  •  

  • le carré f(x) = x² (dès la 5ème)

  •  

  • l'inverse f(x) = 1/x

  •  

  • le trinôme f(x) = ax² + bx +c ( composé du carré et d'affines)

     

  • les arrondis f(x) = Arr(x)
  •  

  • le cube f(x) = x^3

  •  

  • le sinus f(x) = sin(x)

  •  

  • le cosinus f(x) = cos (x).

  •  

  • la tangente f(x) = tan (x).

  •  

  • les homographiques (ax+b)/(cx+d)(composée d'affines et de l'inverse).

  •  

  • les logarithmes , par exemple f(x) = ln(x)

  •  

  • les exponentielles par exemple f(x) = exp(x).

  • et les composés de ces opérateurs deux à deux ou trois par trois.

    On utilisera largement les logiciels comme excell, cabri, geogebra , carmetal, geospace

  • en utilisant systématiquement les macros dans chaque logiciel ( fabrication et

  • utilisation).

Les questions à se poser régulièrement

 

  •  
    Voici donc la grille de questions pour l'opérateur f.choisi ( ou la fonction f )
  • Quels sont les nombres qui ont une image par f ?( c'est la question de l'ensemble de définition
  • N , l'ensemble des naturels ,est il stable pour f, c'est à dire l'image d'un naturel est-elle un
  • naturel ?
  • De même, l'ensemble des décimaux, ou l'ensemble des rationnels , ou des réels, ect....

    Est-ce que f conserve la distinction : les images de deux nombres différents sont-elles

    différentes ?( problème d'injectivité).Est-ce que f couvre le but, c'est à dire est ce que

     tout nombre du but est l'image d'un nombre au moins ?(problème de surjectivité).

     

  • Est-ce que f est une bijection ?

  •  

  •  

  • Dans le cas où elle est bijective, comment définir par un calcul sa réciproque ?

  •  

  • Comment faut il modifier la source et le but pour que on obtienne une bijection?

  •  

  • Est-ce que f conserve le signe ?(l'image d'un nombre est-elle du signe de ce nombre ? Ou f(x)

  •  

  • et x sont ils de même signe?

  •  

  • Existe-il des nombres invariants par f, c'est à dire des nombres x tels que f(x) = x.

  •  

  • Tracer le graphique partiel de f avec quelques images de nombres de N (naturels).

  •  

  • Est-ce que f conserve ou renverse l'ordre, sur des morceaux de l'ensemble de définition ( est-

  •  

  • ce que si a<b on peut affirmer que f(a) < f(b) ?). C'est le problème de la croissance.

  •  

  • Est-ce que f agrandit ou diminue :c'est à dire est-ce que f(x) est inférieur ou supérieur à x ?

  •  

  • ( c'est le problème de l'extensivité ?)

  •  

  • Est-ce que f respecte les encadrements ?

  •  

  • Est-ce que f respecte l'addition?( f'a+b) = f(a)+ f(b) ? )

  •  

  • Est-ce que f conserve la somme [ f(a+b) = a +b ]?

  •  

  • Même question pour la soustraction et la différence

  •  

  • Même question pour la multiplication et le produit.

  •  

  • Même question pour la division et le quotient.

  •  

  • Tracer le graphique de f et , le cas échéant , celui de sa réciproque dans divers repère. (dans

  •  

  • les petites classes, la trace du graphique dans une partie de N ou Z peut suffire.

  •  

  • Comment résoudre les équations f(x) = 0 ; f(x) = a

    et f(x) = f(a) ?

  •  

  • Comment résoudre les inéquations f(x) < 0, f(x) < a

    et f(x) < f(a) ?

  •  

  • Etudier f suivi de f ?

  •  

  • Etudier l'orbite d'un nombre sur f , c'est à dire les nombres f(a), f(f(a)) , f(f(f(a))) ect....

  •  

  • Etudier systématiquement les composées de f avec les autres opérateurs ?