comment vient le sens en maths

 

 

 

A    propos d’un livre sur le cinéma et la littérature qui me semble un mine pédagogique pour tout enseignant réel ( en acte) de mathématique

( « LE RADICAL DU SENS » et « ANAMNESIE » par Guy MAGEN)

Un nouvel outil indispensable, à mon avis, à tout enseignant réel, c'est à dire en face d'élèves réels, est paru ces dernières années. Il s'agit d'un ouvrage sur "le sens", sur la façon dont il émerge et se manifeste. Les enseignants de mathématiques en particulier, y trouveront une mine d'outils théoriques simples pour gérer au quotidien la genèse du sens.

 

 

 

Bien que ce soit un ouvrage orienté dans ses exemples, sur l'analyse de films, des textes et des images, je vais essayer de montrer comment concrètement il peut y avoir là des armes pour une révolution dans la façon d'approcher la trajectoire d'un élève réel pendant sa lente conquête des mathématiques.

Cet ouvrage est paru aux éditions du LEMA, de l'université de Paris 8.

Le premier tome est intitulé " LE RADICAL DU SENS", et le second "ANAMNESIES".

Il est écrit par un chercheur du laboratoire d'ethnométhodologie de cette université, GUY MAGEN.

Je vais présenter sur plusieurs semaines quelques concepts qui peuvent chacun, aider tout enseignant de maths à continuer à penser son métier, avec des branches peut-être non prévues, ou en tout cas, non formulées souvent.

Il s'agira donc d'une vendange de concepts interprétés librement par moi. Il est clair que chacun, en lisant le livre, trouvera bien d'autres échos à sa propre expérience. Mais si j'ai utilisé le mot "vendange", c'est qu'au bout d'un certain temps, une forme d'ivresse se manifeste en revoyant des évènements pédagogiques concrets personnels.

A mon avis, toute bibliothèque d'IUFM, de lycée, de collège ou d'école devrait mettre cet ouvrage à la disposition des enseignants qui n'ont pu se le procurer.

La quête permanente

 

1.        . L'attitude méthodologique clé pour étudier le sens, est la recherche du noyau sémique scotomisé, c’est à dire non formulé. Mais en sachant aussi que ce qui donne le sens, ce n'est pas seulement le résultat de cette recherche, mais cette recherche elle même ( cf le proverbe japonais, « ce qui est important ce n'est pas le but, mais la marche vers le but »).

2. Le type de progression

      L'avancée et le progrès en pédagogie des maths se marque par la réduction des processus de sens à des « points » de sens, autrement dit à la réduction régulière de processus entre objets à de gros objets.

3. Rôle de l’évidence.

Quand il s'agit de sens, pour un élève, l'évidence a au moins autant d'importance que la vérité scientifique.

4. Le rapport théorie-pratique

 

 

         Il est important de faire des opérations « coup de poing » sur la théorie, autrement dit d'utiliser la théorie comme punching-ball de la pratique , et ceci à tous les niveaux d'enseignement.

 

 

 

5. Résonance sémique

      Il me semble qu’il faudra formuler une approche du concept de résonance sémique, pic de sens obtenu par proximité de deux répétitions simultanées de deux concepts ou de pratiques voisines

 

6. Une vérité désagréable .

   Noter que ce sont les intuitions qui fondent le sens pour toute personne réelle, contrairement à ce qu’on pourrait croire.

7. Le concept d'écho fossile.

. Un symbole, un évènement, une figure, un mot, une méthode, peuvent renvoyer des choses ou des concepts, ou des évènements vus il y a longtemps, avec déformation bien sûr, mais cette déformation est parfois prévisible.

8. Sens et signification

  Distinguer  « moi, je donne du sens à ceci » et

 

« moi, je donne de la signification à ceci ».

 

Noter que l'enseignant A peut donner la signification

 

du concept X à l'élève B. Mais il ne peut pas en

 

donner le sens, qui reste toujours une conquête

privée.

9. La signification

La signification, d'un concept par exemple, est l'ensemble des conséquences que l'on peut en tirer par la déduction, c'est à dire par l'utilisation de syllogismes.

10. Le sens .

         Le sens au contraire comprend bien sûr la signification, mais aussi toutes les conséquences que

l'on peut en tirer par induction, abduction, raisonnement plausible, conjectures publiques et

privées, pratiques personnelles et sociales liées à ce concept par exemple.

11. Exemples .

     Par exemple , la signification du théorème de Pythagore comprend la formule donnant la

diagonale d'un rectangle, la diagonale du carré, la hauteur du triangle équilatéral,la distance de

deux points dans un repère orthonormé, la diagonale d'un cube, ect....

 

 Par contre, le théorème d'al kashi n'en fait pas partie, mais fait partie, pour moi,  du sens de

Pythagore, de même que la distance en repère oblique normé, ou la norme d'un vecteur de R² ou

la définition de l'écart type ou la formule de géométrie non euclidienne pour le triangle rectangle

ch(a/k) = ch(b/k).ch(c/k).

 

Par contre le théorème de pythagore fait partie de la signification du théorème d'al kashi (déduction

directe possible immédiate) et fait partie de la signification de la formule de géométrie non

euclidienne ( déduction en faisant tendre le coefficient k vers l’infini).

12. Mon sens et notre signification

 On voit déjà que la signification est une partie du sens,et ne coïncide jamais avec lui.

 

On voit aussi que la signification est liée à une communauté ( celle à laquelle j'appartiens,

 

historiquement parlant et dont je partage les

 

définitions, les théorèmes et en particulier, les

 

axiomes).

Par contre le sens est d'ordre privé, personnel. Il ne se

transmet pas de l'individu A à l'individu B, bien que A puisse

aider B à construire du sens.

13. Distingo

1.         Il est capital de distinguer les 4 éléments suivants:

           

   la dénomination

             

la définition

             

 la signification

 

    .le sens

Cette distinction est hélas souvent oubliée dans l'évaluation en mathématiques.

14. L’essentiel : la négation

    Pour éviter les pièges du sens, il est décisif de distinguer entre

 

              le contradictoire : le contradictoire du « strictement négatif » n'est pas « strictement positif »

 

 mais dans les naturels, le contradictoire de pair est impair

 

              le contraire : dans les fonctions, le contradictoire de « paire »

 

      n'est pas « impaire », mais « impaire » est un contraire de « paire ».

 

   On peut dire la même chose de croissante ou décroissante

 

          l'antonyme: c'est le nom d'un contraire.Par exemple en géométrie non euclidienne,

 

« parallèle » est un antonyme de « sécante », mais « non sécante » est le contradictoire de

 

« sécante », qui contient d'ailleurs « parallèle ». (en hyperbolique il y a une infinité de non-

 

sécantes à (d) passant par a, mais seulement deux parallèles.

Par exemple, dans le représentation des décimaux, « entier" ou « naturel » s'oppose à « décimal »

pour beaucoup d'enfants, ou « fraction » à « entier » ou à « naturel ». La racine de nombreuses

difficultés vient de là.

17.L’obéissance est elle une qualité ?

? Problème de l'obéissance intellectuelle des élèves: « les rossignols aveugles chantent-ils mieux parce qu'ils ne voient pas les barreaux de leur cage? »

 

En tout cas, la désobéissance intellectuelle est une nécessité pour s'approprier des mathématiques, et plus généralement pour se développer

( voir dans le même site "éloge de la désobeissance : déplacer le tabouret ou déplacer le piano")

18.La sincérité est –elle une qualité d’élève ?

Il y a parfois en mathématique une culture du théâtre qui est nécessaire. Par exemple , la réussite d'un ROC, restitution organisée de connaissance relève , pour l'élève concret bien sûr, de sa capacité à dissimuler sa connaissance du résultat et de toutes ses conséquences. On peut se demander si elle n'est pas bien plus difficile qu'un exercice normal.( cela n'enlève rien à sa pertinence, mais sa pertinence mathématique n'est pas forcément là où l'institution l'attend).

19.Le jugement personnel.

L'auteur du livre indique bien la double signification de « procès du sens »: à la fois processus, à la fois jugement sur ce qui est dit ou lu; jugement donc approbation ou condamnation. Le caractère polémique de la quête du sens doit être conservé, et non pas escamoté : il ne faut pas aseptiser les concepts et les couper des contradictions qui leur ont donné naissance, comme nous l'ont appris Evelyne Barbin et Henri Bassis.

20.Le fonctionnement du pourquoi.

Le concept freudien de « sermocination » est commode pour comprendre la recherche de la

 

démonstration : le moi, avec Narcisse se promène entre les intuitions du ça et les règles

 

implacables imposées par le surmoi.

 

C'est un peu caricatural, mais c'est une description qui est efficace pour trouver des

 

enseignements efficaces de la démonstration, c'est à dire « qui rendent autonome l'élève ».

 

L’élève, ou nous, créons un personnage intérieur qui interpelle à chaque étape du raisonnement en hurlant « pourquoi ? ».

 

J'aime me souvenir du conseil de Berthold Brecht

que rappelait le pédagogue de mathématiques Jacques Bonnet, à Montpellier dans son bel ouvrage "La mathématique, comme une jeune fille qui n'ose se montrer nue":

 

"Pourquoi ? Demande "pourquoi", camarade

car c'est toi qui doit payer la note !"!

 

21.La rumination en mathématique

Je rajoute personnellement un autre concept, qui est lié au fait , souligné souvent dans le livre,

 

de la nécessité , dans la conquête du sens, d'échanger les rôles de locuteur et d'auditeur.

 

L'auditeur (élève ) doit s'imaginer « locuteur » ( l'enseignant) : en mathématique, cela signifie

 

en particulier modifier les hypothèses pour voir ce que ça donne, ce que j'appelle la

 

« rumination » des hypothèses, l'interrogation sur les conséquences qu'aurait leur

 

modification.

 

Notons aussi que l’enseignant est amené à s’imaginer élève pour donner sens aux trajectoires de l’élève.( le locuteur s’imaginant auditeur pour qu’un dialogue s’instaure efficacement).

 

 

 

22.Le cube pédagogique fondamental .

Voici un outil puissant d'utilisation quotidienne quand on enseigne les maths , que j'appelle le

cube pédagogique, comme visualisation mentale.

 

Il témoigne des trajectoires pendant un cours du triplet fondamental (vérité, vraisemblance,

évidence).

 

On a trois axes, celui de la vérité, de la vraisemblance et celui de l'évidence. Le trajet du sens

 

est celui d’un point intérieur à ce cube, point qui a un degré de vérité, entre 0 et 1, ; de même

 

pour la vraisemblance et pour l’évidence.

 

On part de O (0,0,0) et on chemine de façon à aboutir à l'idéal pédagogique qui est le point ω

(1,1,1).

 

Si on ne se préoccupe pas de l'élève concret, il est clair qu'on cheminera uniquement sur l’axe

 

de la vérité, un segment de 0 à 1, idéal mathématique de la vérité.

 

Sinon, on cherchera à rendre le résultat cherché vraisemblable ,

 

puis évident, en se déplaçant à l'intérieur du cube, voire sur une des faces en utilisant des

 

représentations astucieuses.

 

Par exemple, pour démontrer qu'un rectangle est un parallélogramme, on couplera la

 

démonstration avec un artifice mécanique redressant un parallélogramme matériel.

 

Ou pour les propriétés algébriques de l'exponentielle, on couplera la démonstration avec un

 

parallélisme lié aux puissances pour rendre la propriété vraisemblable, puis « évidente » dans

 

le souvenir.

 

Il vaut mieux ne pas oublier que l'élève général et l'élève particulier sont des êtres

 

unidimensionnels, celle de la vérité, tandis que l'élève réel connait les affres de

 

l'invraisemblance et les joies de l'évidence.

23.Le radical du sens : la cellule de base

On va ici isoler la cellule élémentaire de production du sens sur deux exemples.

 

1.         Soit à résoudre l'équation 2x+3=10 en cinquième.

             On a une somme d'un côté, le signe égale, le nombre 10 de l'autre : deux objets et un opérateur.

            

 On oublie cette vision ( on scotomise et on recompose) en notant que l'objet x subit une

homothétie de rapport 2 puis que le résultat subit une translation de pas 3.

           

  D'où une seconde vision qui montre que x est l'image de 10 par composition de la translation de

pas -3 et l'homothétie de rapport 0,5.

            

Le résultat cherché est 3,5.

            

On a donc 3 moments :

            

-une « sériation » d'objets avec un ou des opérateurs

           

  -une scotomisation de cette vision avec recomposition

          

   -une nouvelle sériation rapprochant de la maîtrise du sens pour la solution.

            

Le premier moment du sens est appelé « cristallisation » par l'auteur.

            

 Le second moment est le « point  photique », le noeud du sens.

            

Le troisième est l'expansion du sens.

 

On retrouve ces trois moments à chaque opération de sens.

             2.Soit à calculer le côté oblique d'un trapèze rectangle dont on connaît les bases et la hauteur.

             On a une première sériation avec un trapèze et ses côtés liés par des relations structurantes

             on trace la hauteur à partir du sommet « obtus », on scotomise la première vision

au profit d'une seconde qui est celle d'un rectangle et d'un triangle rectangle, lequel est structuré par

Pythagore.d'où la solution.

 On voit ici qu'un élève trop respectueux de la figure donnée n'osera pas tracer le trait salvateur, obéissant à une "règle non dite au collège, mais implicite" selon laquelle on ne modifie pas impunément une figure donnée par l'énoncé").

Un beau travail sur les nécessaires interventions sur la figure avait été publié dans les années 80 par A.Mesquita à l'irem de Strasbourg. On n'enseigne plus la géométrie de la même façon après la lecture de cette brochure remarquable.

 

)

24. Le rôle décisif de la répétition

Le livre examine l'influence de la répétition sur le sens , (voir aussi  tablature Dupin)

 

              L'idée est que « la répétition d'un sème (unité de sens) en modifie le sens ». Les conséquences pédagogiques sont évidentes pour le choix des exercices par exemple.

              En particulier, » la répétition mentale de ce qui est entendu en modifie la compréhension » : on peut en tirer des stratégies utilisant la formulation régulière en langue naturelle des formules algébriques ou des situations géométriques.

              L'auteur utilise la métaphore de l'aetite, cette pierre creuse que certains aigles utilisent dans leur aire, qui , secouée, fait entendre une autre pierre intérieure, que l'on ne voit jamais à moins de briser la pierre. De la même façon, la manipulation répétée d'un concept A peut faire surgir l'écho d'un autre B qui n'accèdera pas à la conscience à moins qu'on ne brise le premier.Mais il arrive que l’on manipule B par l’intermédiaire de A sans l’avoir jamais vu. ( les prouesses des musiciens de calebasse ou « chachas, aux antilles en témoignent).

              Je pense à des centaines de cas : par exemple,

              une manipulation répétée des puissances en 4ème fait entendre les logarithmes;

               la rumination systématique d'une des hypothèses numériques d'un problème en primaire (même au cours élémentaire), fait entendre la notion de paramètre et celle d'espace de contrôle;

               Au CM1, le calcul du nombre d'arbres d'une allée de 80 m plantée d'arbre tous les 10 m en examinant les cas possibles fait entendre les notions topologiques d'ouvert et de fermé pour plus tard ( quatrième puis lycée).

               On voit alors comment un exercice répété peut préparer des conceptualisations précises pour bien plus tard. Nous sommes loin de la dictature de l'explicite, qui prévaut dans l'évaluation des élèves , des enseignants et des programmes.(Un peu d’humilité serait d’ailleurs nécessaire pour peu qu’on admette que les sciences cognitives, malgré leurs progrès, n’en sont qu’à leurs débuts)

               Il y a là la base théorique d'une étude écologique des programmes, avec la réflexion sur les conséquences profondes de telle suppression ou de tel ajout.

              Ainsi la répétition de la manipulation d'un concept A peut provoquer l'émergence d'un surconcept B (indépendamment de sa définition).

25. l'Archisémie.

1.         Ce mot barbare inspiré de Barthes recouvre selon Guy Magen,deux  notions courantes et quotidiennes pour qui enseigne :

             

 le fait que le sujet comprend dès qu'il s'exprime , la néosémie

             

le fait que le sujet s'exprime quand il comprend, la métasémie

             

Ce serait là une banalité si la diminution permanente de la place de l'oral dans l'enseignement des mathématiques , au niveau de l'évaluation comme au niveau de la formulation des résultats que sont les théorèmes, ne prouvait combien ces dimensions sont, hélas,oubliées.

               

26.Archi-lecteur et archi-auteur .

              De même les notions d'archi-lecteur et d'archi-auteur

             

 restent extrêmement fécondes si on les introduit dans la relation pédagogique .On peut concevoir:

             

l'archi-élève : le maître est un archi-élève, c'est à dire le meilleur élève possible quand au

discours mathématique tenu.

             

L'archi-maître: l'élève est un archi-maître, c'est à dire le meilleur enseignant possible quand au

discours mathématique tenu.

             

On voit toutes les variations pédagogiques que rendent possibles ces notions.

 

 

27.A-sémie.

              Il y a dans le procès du sens une partie dite « asémique » parce des relations y sont établies qui sont indépendantes des signes respectifs et de leur trace matérielle.

              Par exemple pour calculer l'aire d'une réunion j'additionne les aires de A et de B et j'enlève celle de leur intersection. L'addition des deux aires ne correspond à rien et la compréhension exige de refuser tout « sens », du point de vue des signifiés, à cette addition d'aires.

              Parfois, ce moment a-sémique est nécessaire , au moins de façon transitoire, pour que l'élève avance.

Par exemple si le sens de puissance est construit sur la répétition multiplicative; l'acceptation de la notation 3^(-2)exige cette perte de l'ancien sens. On en construit évidemment un nouveau sur les ruines de l'ancien : des centaines d'incompréhensions proviennent du fait que le sens est présenté comme plus ou moins le même , après une sorte de « prolongement par continuité », chaque fois qu'on fait une extension de concept, alors qu’il faudrait annoncer clairement les deux moments, un de rupture, un de continuité. Les sources de très nombreux blocages et traumatismes provoqués par l’enseignement des maths sont souvent à chercher dans ce mensonge pédagogique par omission : ne pas avouer la transgression de l’ancienne règle pour maintenir une image dérisoire de « rigueur ».

Il ne faut pas en déduire que l'on doit dire qu'il s'agit d'un nouveau concept arbitraire, sans rapport

avec le premier, comme le faisait la pédagogie officielle des années 70 : il s'agit d'avouer la

transgression, honnêtement.

Ce type de remarque permet par exemple,de redécouvrir l'aberration qu'il y a à enseigner dans la même classe, et de plus au même moment pratiquement (première moitié de l'année, la multiplication des relatifs et les puissances négatives : triste retour de manivelle des modifications un peu aléatoires des programmes sur 30 ans).

 

28.Tablature.

              Voici une notion puissante: c'est le regroupement des éléments sémiques suivant un opérateur (parfois plusieurs), en contraste ou en opposition. On part des éléments sémiques exposés .Le choix d'un opérateur permet de mettre en évidence des éléments absents, à partir des éléments exposés dans le discours. On aboutit donc à une réorganisation complétée de la chaîne syntagmatique ( du discours) sur la chaîne perpendiculaire des « significations ».

             

Un exemple. J'achète un melon a euros .Ma santé ne me permet pas de le consommer. Je le revends b euros. Quel est mon bénéfice ?

              Il est clair que je travaille avec des nombres « arithmétiques » dans le texte. Pourtant, pour que le problème et sa solution (b-a) prennent sens, il faut que je rajoute les nombres négatifs et que je travaille avec ces nombres cachés,donc qui rendront compte des gains comme des pertes.

              Un autre exemple : « souligner en bleu dans l'énoncé les hypothèses d'un problème et en rouge les conclusions demandées ».

              Ou en géométrie dans l'espace, les traits sont pleins, ceux qui sont derrière sont en pointillés.

               On a constamment recours à des tablatures personnelles pour comprendre.

Les éléments cachés sont dits « scotomisés ».

29.Avatar.

 

Voici encore un concept commode pour comprendre les bonnes intuitions, ou au contraire, les difficultés de l'élève réel.

Un avatar, c'est un élément sémique qui renvoie à une forme absolue.

Quand l'enfant se dit "3x, c'est une fonction linéaire", la fonction 3x est un avatar absolu de la fonction linéaire, grossièrement pour notre propos, un cas particulier.

Quand il se dit " 2/3 x, c'est comme 3x, c'est une fonction linéaire" parce qu'il a appris en cours ou en exercice " 3x",

2/3 x est un avatar relatif de la fonction 3x, dans la mesure où toutes les deux se présentent comme deux cas particulier de la fonction linéaire. Insistons sur le fait que pour l'élève réel, la démarche n'est pas anodine, n'a pas les mêmes implications, ne demande pas le même type de compréhension ou de manipulations ou d'exercice, le même type de mémorisation, ni le même type de "rappel". C'est un passage obligé vers la généralisation.

Si l'élève a eu la chance qu'on lui dise en classe " le carré s'obtient en diminuant la longueur d'un rectangle jusqu'a ce qu'elle soit égale à la largeur ( donc une définition dynamique du carré), alors le "carré est un avatar absolu du rectangle.

Mais si on en est resté à la définition formelle de 4ème, le carré est un avatar relatif du rectangle, dans la mesure où pour l'élève, ce sont des cas particuliers du parallélogramme.

Les deux démarches ne font pas surgir le sens et ne le "rappellent pas" de la même façon.

Il y aurait tout un travail sur les origines des blocages sur ces questions

Signalons que la notion de blocage fait souvent ricaner quand on s'intéresse à l'élève abstrait, mais est décisive pour comprendre et influencer un élève concret.

 

           .Résumons :

              Un concept ou objet a est un avatar absolu de A si a peut être considéré comme un cas particulier de A. Ainsi la fonction linéaire 3x est un avatar absolu de la fonction linéaire ax.

              Ou encore la translation x+b est un avatar absolu de la fonction affine ax+b.

             

 

Par contre, un concept a est un avatar relatif d'un concept a' si a et a' sont des cas particuliers d'un même concept ou objet A, donc sont éléments d'une même classe présente à l'esprit au moment où on parle. Ainsi, la fonction 2x est un avatar relatif de la fonction 3x.

             

 

 On voit combien le sujet pensant , l'élève utilise, constamment ces notions pour s'approprier le monde. Et on devine toutes les conséquences pédagogiques que l'on peut en tirer pour un élève réel, bien sûr.

 

 

30.La désignation

 

La désignation des objets trouve en mathématique un lieu privilégié.

Un concept étant dégagé, on lui donne un nom , parfois un symbole.

Puis on étudie les combinaisons de ces concepts entre eux , leur société, leurs répétitions.

On définit des transformations de ces objets ou concepts , on étudie leurs invariants.

Cette activité humaine permanente se présente chez nous à l'état pur : elle a donc à être poursuivie pour elle-même, à cause de cette dimension culturelle.

31. La dysversion

 

              Guy Magen introduit la notion capitale de dysversion, c'est à dire l'activité où le sujet renonce au sens actuel au profit du sens qu'il tenait à un stade antérieur.

              Cette régression volontaire est fréquente chez nous et décisive : c'est le retour périodique à la définition, ou à une autre définition, ou à l'origine concrète du concept , ou à la signification classique, ou au sens qu'il avait dans telle classe antérieure, ou à l'origine étymologique du nom du concept ....

              Par exemple le mot « isocèle » accolé à « trapèze » gérable si isocèle part  de la symétrie : on revient à une nouvelle définition de « isocèle » pour le triangle et on se lance dans les trapèzes.

              Par exemple encore la recherche des solutions de l'équation 0x =0 : après avoir manipulé moult équations numériques où le coefficient de x est non nul, par division, on revient à la vision multiplicative et on interroge l’équation à partir d’elle.

              la mémorisation du théorème des accroissements finis avec tangente et sécantes

              le retour à la définition concrète dynamique du parallélogramme pour sentir que le rectangle est un parallélogramme particulier.

              Le conflit entre a^n positif et n = -1 quand a est positif.

              on peut trouver en quelques minutes des centaines d'exemples où l'élève concret n'a pas d'autre solution que de tenter un retour en arrière ( éloge de la spirale pédagogique des années 70, puisque sur chaque activité , symbolisée par un rayon, il a des régressions voulues ou non).

 

A suivre……

 

 

 

 

 

32-Modèle sous-jacent

Ce concept a une dimension très générale du point de vue culturel ou pédagogique. C'est un modèle implicite du comportement social attendu selon les circonstances.Il n'est pas explicité et peu explicitable avant sa transgression.

Mais on peut le limiter ici à des secteurs très étroits. Par exemple le comportement mathématique des élèves jusqu'à la 5ème est, pour des raisons à étudier, mais assez compréhensibles, sous-tendu par la proportionnalité, par la fonction linéaire donc, dès l'école primaire, et plus précisément par la propriété implicite de cet opérateur multiplicatif " l'image d'une somme est la somme des images".Toute une pratique de l'école primaire y conduit, et c'est un bien. En 5ème, "le carré d'un produit est le produit des carrés" ou pour les vecteurs "la projection d'une somme est la somme des projections" ou encore en primaire, "la multiplication par 3 conserve l'ordre".

C'est la notion d'homomorphisme qui se  construit là. Ce modèle reste très longtemps vivace, même quand on le trangresse.

La règle " la somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés" ne me choque pas parce que je me crois en géométrie plane, modèle sous-jacent courant .

Il faut savoir le détecter, et le mettre à jour peu à peu, parce que l'essentiel des progrès en mathématique de l'élève va consister à le suivre ou à le remttre en cause, alternativement.

 

33-Breaching

Essentiel :  on peut dire que la pratique pédagogique efficace  est la quête des breachings.

Le breaching est un comportement étranger au modèle sous-jacent, et qui, du même coup, le révèle précisément.

Les breachings sont de grands moments pédagogiques. Ce sont les moments oû une règle donnée dans un domaine donné ne peut plus être étendue à un nouveau domaine et oû surgit la contre-règle ( donc l'affirmation que dans les nouvelles conditions, la règle devient fausse).

Il y en a des dizaines incontournables dans le primaire et le secondaire.

Il y en a de très nombreux dans le supérieur, mais leur gestion est plus

 facile à cause de la culture mathématique des élèves.

Alors, on cherche à généraliser en fabriquant une surrègle, qui intègre les deux cas.

Par exemple en 4ème, je savais que si a <b alors ka <kb, règle qui concernait les nombres dits arithmétiques ( pourquoi a-t-on fait disparaître cette notion si commode pédagogiquement ? )

L'extension aux relatifs ne marche pas. ( c'est la contre-règle). Il faut

passer à la surrègle.

Des dizaines d'autres situations : addition des fractions par rapport à la multiplication, carré d'une somme après le carré du produit, troncature d'une somme après double d'une somme; etc .....

A suivre

 

Os de Cuvier

 

Voici une notion capitale pour l'élève concret.

On se souvient que le naturaliste Cuvier était capable de reconstituer le squelette d'un animal fossile disparu.

De la même façon, nous avons tous l'habitude de choisir un objet, un graphisme pour faire revenir à l'esprit tout un

imaginaire : ce sera "l'os de cuvier". 

Les exemples foisonnent dans la vie courante ou dans l'heure de maths.

L'hexagone régulier pour avoir le périmètre 6R donc rappeler la formule 2 pi R pour la longueur du cercle; le

 triangle (3,4,5) avec 16+9 = 25 pour Pythagore, le dessin de l'exponentielle pour se souvenir des propriétés de

l'exponentielle, (Z,+) pour os de Cuvier des groupes; le carré découpé en 4 pour (a+b)², ect...

C'est la base de toute mémorisation efficace, non formelle, donc support de l'intuition.

L'opérateur menant de l'os de Cuvier au monde imaginaire cherché est appelé rhopalie, par Guy Magen

La condition de la rhopalie serait donc la fabrication d'un objet servant d'os de Cuvier.

En mathématiques, les dessins dits schémas servent souvent d'os de Cuvier, même quand il s'agit d'objets réels : le parallélogramme articulé pour le passage du parallélogramme au rectangle, le rectangle coulissant pour passer du rectangle au carré, le losange articulé pour passer du losange au carré.

rection

Le sujet en proie au sens a souvent "la capacité à tenter  un premier sens, plutôt un premier jet du sens fondant un usage". Ainsi se définit la rection.

Attention, même si ce premier jet est erroné, il est nécessaire : c'est le conflit entre lui et les expériences ou les discours qui vont suivre qui fait dévolopper le sens.

Souvent en algèbre où la rection des automatismes est le départ de la réflexion.

En géométrie, la maîtrise des transformations élémentaires joue le même rôle.

Encore une fois, la culture de l'intuition reste déterminante.

La préparation des séquences d'enseignement doit tenir compte pour chaque élève de cette aptitude.

Mais la formulation des résultats mathématiques doit aussi favoriser cette qualité. De ce point de vue, une critique des

programmes s'impose en collège, par exemple ne pas formuler thalès en terme de projection est une catastrophe de ce point de

vue.

En algèbre, fonder le calcul algébrique sur les propriétés des opérations sur les nombres est assez malsain : l'utilisation de concepts simples intermédiaires comme les mônomes et les polynômes changerait et simplifierait tout, contrairement aux apparences.

A moins d'avoir comme objectif de limiter le nombre de réussites possibles.

rectitude

Une utilisation du sens ayant été faite, la rectitude sera "la capacité du sujet sémique d'assimiler à bon escient un usage du sens".

C'est la base de l'appropriation non formelle.

On peut étendre la rectitude à la signification.

Devant la règle disant que l'argument d'un produit de complexe est la somme des arguments, on infère la dimension de logarithme

du passage d'un complexe à son argument et la dimension d'exponentielle du passage de l'argument au complexe.

En troisième, la règle donnant la différence de deux carrés a²-b² = (a+b)(a-b)

induira son utilisation comme outil de développement ou de factorisation.

L'appui permanent sur la rectitude développe l'intuition.

Scotomie de Lourau

 

Interessant pour un enseignant réel : "l'essentiel est mis entre parenthèses par l'institution elle-même".

Il est obligé pour être efficace parfois de pallier les défaillances des programmes.

Le cas le plus flagrant est l'oubli systématique par l'institution de signaler les invariants.

-En algèbre, la différence de deux abscisses ne dépend pas de l'origine

- Pour Thalès par exemple, la clé de la compréhension n'est pas signalée, à savoir que le rapport de deux longueurs ne dépend pas

 de l'unité

- Pour Thalès encore, la projection n'est pas évoquée, alors qu'il s'agit de l'invariance des rapports par projection parallèles .

et j'en passe...

A suivre

 

efficience et déficience

Une idée qu'il est bon de garder à l'esprit, qui a une importance particulière en mathématique, où

la clarté semble être de rigueur.

Dans le rapport de l'enseignant réel à l'élève réel, par exemple quand moi, enseignant je parle à

 Dupont, je n'arrive jamais à lui dire tout ce que je veux lui dire. Je lui en dis moins. Mais aussi, je

lui dis plus que ce que je lui ai dit. Il y a, à la fois en partie déficience et et en partie efficience.

Et de la même façon, lui, il entend plus que ce que je lui ai dit, et moins que ce que je voulais lui

dire.

Si en 5ème je lui dis " Si deux droites sont parallèles, toute droite qui coupe l'une coupe l'autre

" je lui parle de géométrie plane. Mais est-ce que lui ne pensera pas un jour ainsi dans l'espace ?

On me dira: " c'est ta faute! tu n'avais qu'à le préciser". Mauvaise réponse, car la communication

sera vite coupée avec l'élève réel, même si je garde le contact avec l'élève fantasmé.

Parce qu'il faudrait que je lui explique que c'est  aussi faux en géométrie non euclidienne de

Lobachevski .

Si je lui dit " la somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés", il faudrait que je lui précise que 

c'est faux en géométrie sphérique, etc...On peut toujours le faire, mais on n'en finirait pas .

D'où le rôle capital de l'interprétation : Apprendre à un élève en maths, c'est aussi lui apprendre à

interpréter et pas seulement à traduire. Et ceci très tôt: Le vocabulaire, c'est bien. La morphologie des signes, c'est bien.

le rapport des signes au réel, c'est bien. Leur syntaxe, c'est bien. Mais tout cela ne fonctionne que

si on sait les interpréter, autrement dit si les qualités de rhétorique, ou de poétique, fonctionnent.

 

 

Tabulation

On a vu plus haut que le commun des mortels quand il crée du sens à tendance, plus ou moins

spontanément, à étager le sens sur des structures toutes prêtes que la vie, l'école, sa propre

 expérience, lui ont fait conquérir.

Ceci peut paraître une banalité quand on considère un élève abstrait, mais pas pour un élève réel.

Par exemple, l'élève de première qui attaque la trigonométrie, doit s'appuyer sur la vision du

cadran de l'horloge ou de la montre, qu'il a vu plus tôt, petit même.

De même, l'élève de terminale, confronté aux congruences, s'accroche à cette vision du temps

enroulé sur un cercle. ( Si la question de l'élève réel avait été posée, les programmes successifs

depuis 20 ans nous auraient dit comment compenser le fait que l'immense majorité des élèves

 a des montres à quartz sans cadran, donc ne peuvent pas étager ces questions mathématiques sur

 la tablature de l'horloge: on voit que mon propos n'est pas si gratuit qu'il y paraît)

 

En fait,  la quête du sens utilise évidemment, dans les situations complexes, plusieurs tablatures

sur une même question. En fait, le sujet en proie au sens cherche à les croiser, opération que Guy

Magen appelle une "tabulation", opération permanente dans la vie courante quand on veut

comprendre un évènement, une oeuvre,...

Par exemple, l'élève de seconde veut résoudre une inéquation graphiquement : -x² < x-2.

Inconsciemment il sait que les réels sont totalement ordonnés:première tablature.

Il sait que cet ordre coincide sur l'axe des y avec l'ordre de bas en haut: deuxième tablature.

Enfin, il sait intuitivement que, en général,les courbes ne sont pas totalement ordonnées de bas en

haut dans un repère. troisième tablature. Il va donc couper en morceaux son axe des x qui, lui est

totalement ordonné: quatrième tablature. Puis conclure en croisant ces 4 tablatures.

 

 

un gros mot : endoscotomie

On a souvent besoin de donner un nom aux choses que l'on rencontre souvent. Cela permet

 d'aller plus avant dans la complexité des choses. Dans les jardins théoriques, les mots nouveaux

 sonnent parfois comme des gros mots. Mais ils aident, un peu comme dans les prés amoureux.

En 1956, j'ai approché pour la première fois les complexes, juste après le bac car à

l'époque, on ne faisait pas C en terminale S. J'ai eu la chance de le faire de deux façons.

Une en "maths sup", à partir de la relation i²= -1, un  peu comme la voie historique : on étend  les

 additions et multiplications des réels en rajoutant cette relation qui concentre le choc entre

 l'ancien modèle, le modèle des réels, et le nouveau, les complexes.

La seconde voie, en fac, en "maths géné", était la construction à partir des couples de réels (a,b)

que l'on munit d'une addition (a,b)+(a',b') = (a+a',b+b') et d'une multiplication

(a,b)*(a',b') = (aa'-bb', ab'+a'b) et que l'on développe logiquement.

Plus tard, je sus qu'il y avait d'autres voies.

Mais il faut dire qu 'au départ, je préférais la première trajectoire. Elle me semblait plus concrète,

 plus abordable parce que le parallèle avec les réels me permettait d'avoir des intuitions, même

 fausses, mais j'avais des idées à opposer ou juxtaposer à celle du professeur.

L'autre, plus abstraite apparemment, me laissait pieds et poings liés, à la merci des vérités de

 l'enseignant.

Elle était comme une avenue d'une ville étrangère bien éclairée par de puissants lampadaires,

tandis que dans la première, je me sentais comme dans une ruelle de petit village mal éclairée,

 mais bien connue.

Puis, le besoin d'aller vite, me fit préférer la seconde voie, qui permettait aussi de voir plus loin.

Le conflit du nouveau monde avec l'ancien était escamoté et c'était par certains côtés plus

confortable et plus efficace dans beaucoup de questions.

Encore plus tard, je compris que j'avais besoin du conflit parfois pour avancer et je revins à la

première. Cela me permit de gérer la bataille entre les deux voies.

Ayant eu cette habitude, je n'eus plus peur d'aborder une troisième voie, la voie géométrique

qui ajoutait encore d'autres contradictions : mais j'étais armé maintenant pour les gérer.

D'autres voies vinrent ensuite.

Et je sais maintenant qu'il y a toujours plusieurs types d'entrées dans une théorie, plusieurs voies et même plusieurs types de voies.

La différence entre les deux premières voies, c'est que dans la première, il y a un facteur explicite de rupture, un "breaching", comme disent les ethnométhodologues, ici "i²=-1", qui viole le modèle sous-jacent, ici les rééls.

Dans la seconde voie, la rupture existe, certes, et se révèle plus tard, mais cette rupture est cachée, scotomisée.

Quand dans une situation donnée, nous créons du sens en cachant le breaching, en évitant de le sentir, on parlera d'endoscotomie. Il est décisif en pédagogie de la déceler, car elle peut accélerer ou retarder ou inhiber la compréhension de bien des concepts.

Il faut parfois la provoquer, parfois la contourner par des artifices pédagogiques, surtout en mathématique.

 

 

 

par exemple

Si dans un exercice j'écris cos(t) + i sin(t) = exp (it), je peux ne pas être conscient qu'il y a un os

 sous-jacent car cela implique que exp(i pi) = -1, conflit avec les dits sur le signe de

 l'exponentielle dans le champ des réels. C'est la voie géométrique qui permettra l'intuition et donc l'appropriation complète.

Les manipulations habituelles en collège ou en seconde sur les racines carrées ne disent rien sur ce qu'est un irrationnel.

Les exercices courants au Brevet sur Thalès, et même son énoncé, cachent le fait que la projection parallèle conserve les rapports de segments , ce qui n'est pas le cas de la projection centrale, sauf si le départ et l'arrivée sont parallèles. La suppression de la projection centrale et de la perspective à point de fuite en 5ème tronque ridiculement un enseignement de la géométrie qui devrait permettre à un enfant de comprendre et de lire les milliers de photos, de peintures ou de bandes dessinées qu'il est amené à cotoyer dans la vie de tous les jours ou sur ordinateurs.

Il y a tout un travail critique à mener dans les programmes et dans leur enseignement de ce point de vue.

 

 

les chemins qui ne mènent nulle part

Cette vision de toute question d'enseignement des maths comme une forêt avec diverses voies

d'entrée est capitale pour faire les choix pédagogiques adéquats.

En effet, les initiatives que prennent les enseignants pour le "rattrapage" ou le "renforcement" ou

la "remédiation" consiste souvent à change la voie d'entrée.

Mais pas seulement. Si on se souvient de la parabole de Heidegger sur les "holwege", les chemins

d'une forêt qui ne mènent nulle part, on distingue deux sortes de chemins dans une forêt.

Ceux qui permettent d'y entrer, conçus pour cela, Et ceux que les bùcherons tracent simplement

pour sortir les fagots de la forêt, mais ceux-ci ne permettent pas d'explorer.

Ainsi, si l'entrée des complexes par la voie géométrique a posé problème à un élève, on peut

tenter une des autres voies ou inversement. Mais pour un élève réel donné, tel  outil à sa

 disposition pour l'exploration, peut jouer le rôle d'une machette ou d'une tronçonneuse suivant sa maîtrise de l'outil et par

 conséquent, on peut en déduire la bonne voie. Il y a tout un travail à faire pour élucider ces

problèmes. Essayez par exemple pour les 4 voies de l'exponentielle (équation différentielle,

 passage d'une suite géométrique à une arithmétique, inverse du logarithme à partir de l'aire sous

l'hyperbole 1/x ou prolongement de la fontion puissance sur Z à R.

Interessant aussi les voies de passage de N à Z en 6ème : la symétrisation de la "droite" N

(thermomètre) ou les équivalences de bilans ( couples de naturels) ou opérateurs additifs et

 soustractifs sur N, ect..

Les conditions difficiles de l'enseignement rendent de plus en plus urgentes ces astuces

 pédagogiques.

Enfin, un autre intérêt de cette remarque forestière est que les chemins de l'enseignant sont des

 chemins de sortie pour lui (toujours) et donc il ne suffit pas de les inverser pour en faire des

chemins d'entrée pour l'élève.

 

 

Exoscotomie

Fréquemment, le sujet sémique, ( moi , ou l'élève réel ) est en butte à une impossibilité pour faire fusionner deux tablatures. Le malaise qui en résulte mérite quelque détour "ad hoc".

Par exemple, la tablature de l'ordre total des naturels (inférieur à ) et la tablature de l'ordre partiel (être diviseur de) coexistent difficilement au début pour l'élève réel ( étant donnés deux naturels a et b, quel ordre entre eux ?). Question permanente, même si les relations d'ordre ne sont plus au programme explicitement, mais elles le sont toujours implicitement, comme elles l'ont toujours été)

Or la visualisation de l'ordre des naturels "<" par un chapelet sur une demi-droite est un puissant outil intuitif pour des questions comme celle des équations par exemple ou de connexité.

D'où la tentation de nous tous d'utiliser cette représentation pour déclencher des processus sémiques.

Malheureusement, pour les questions de la divisibilité, ça ne marche pas , en tout cas, peu souvent. Je n'ai donc comme ressource que de bloquer mon intuition sur ces questions d'arithmétique par exemple.

Or, si on a conscience de cela, on peut se demander s'il n'est pas possible de visualiser la différence entre les deux ordres.

Alors il y a un moyen très simple, c'est de mettre dans un petit coin des programmes, sans théorie, le dessin du treillis des diviseurs de quelques nombres simples, en cinquième, sans parler des diagrammes de Hasse, ni des diagrammes sagittaux!!!

Alors je peux voir d'un coup des objets non comparables et sentir qu'il y a des morceaux où le petit chapelet peut m'aider ( la chaîne des puissances de 2, ou des multiples de 3, etc...).

Même échec pour indiquer sans artifice la relation "plus bas que" en géométrie dans l'espace, ce qui gêne énormément bien des élèves pour voir dans l'espace.

A ce propos, il y a peut être une sous-estimation pédagogique de la violence du non-dit parfois:

y a-t-il dans les programmes de Terminale une phrase signalant qu'il n'y a pas d'ordre canonique sur les complexes. ( Résoudre dans C l'inéquation 2z +3 < 5i !!! Beau sujet de réflexion)

Si la question est refoulée par les élèves, est-ce bon signe pour l'acquisition de ce que sont les complexes?)

Il ne s'agit pas d'introduire les solutions de ces questions dans les programmes, mais simplement de permettre à l'élève de supporter qu'on ne les résolve pas.

Ces tentatives déficiences de faire fusionner deux tablatures seront appelées des exoscotomies..

La prise en compte de l'exoscotomie conduit parfois à de géniales initiatives pédagogiques comme la technique de visualisation d'un entier par des gabarits qui couplent l'ordre partiel sur N avec l'ordre total sur les puissances d'un entier. Les notions de diviseurs, multiples , pgcd, ppcm et leurs techniques de calcul deviennent enfantines.

J'exposerai ailleurs brièvement ce travail qui avait été signalé si je me souviens bien dans les années soixante lors d'une émission de télévision des "chantiers pédagogiques", extraordinaires éclairs pédagogiques que l'on peut retrouver dans les cahiers des maths et sciences humaines

dirigés par Marc Barbut.

la réduction ontique

Encore une notion décisive pédagogiquement qui s'appuie sur les catégories d'Aristote.

Celui-ci distinguait l'essence, l'attribut essentiel, et l'accident. La distinction peut parâitre loin de notre propos, mais en fait elle intervient quotidiennement plusieurs fois pour un élève réel, par exemple en géométrie.

Si l'énoncé d'un problème me demande d'étudier un triangle équilatéral ABC que j'ai tracé, le fait que les 3 côtés soit égaux ( ou toute autre propriété caractéristique par exemple les 3 angles égaux) constitue "l'essence".

Le fait que le côté AB et le côté AC soient égaux constitue un attribut essentiel ( comme toute propriété non caractéristique, par exemple que la hauteur issue de A soit médiane).

Le fait que le côté AB mesure 4cm est un accident (ou tout autre propriété mesurée mais il y a d'autres types d'accidents).

Dans la démarche de recherche spontanée du sens, il m'arrive parfois pour faire envoler mon raisonnement ou mon intuition, de réduire l'essence à l'attribut essentiel, et parfois même, par commodité, de réduire l'attribut essentiel à l'accident.

C'est la réduction ontique : même si cette réduction est provisoire, elle se fait spontanément en amont du raisonnement déductif, au moins pour le travail préalable de conjecture.

On voit évidemment combien il est capital d'observer et de comprendre ce mécanisme de réduction ontique quand l'élève le fait : les erreurs dans les démonstrations ne sont pas forcément des erreurs de logique, mais simplement parfois des réductions non autocritiquées. 

parataxe, hyperparataxe, hypoparataxe

Quand on veut s'interesser   à l'élève réel, on ne peut pas escamoter une reflexion sur la façon dont il mémorise et la façon dont il rappelle ses connaissances. Des concepts qui pourraient passer pour des banalités concernant un élève abstrait deviennent incontournables pour comprendre et aider l'élève réel.

Quand je reçois un énoncé mathématique ou un énoncé de problèmes, je commence, après la lecture, par un premier résumé en notant mentalement les diverses propositions sans le lien logique qui les unit, les mettant côte à côte ( parataxe)" puis je tente de "concentrer chacune en un mot-phrase les résumant ou les désignant ( hypoparataxe)" ; enfin dans une troisième étape, "je réduit le tout en une seule proposition qui les réunirait ( hypoparataxe)".

On peut voir alors que l'appropriation de l'énoncé d'un problème, contrairement aux apparences, ne se fait pas directement, mais de façon concentrique, spiralée, une alternance de lecture rigoureuse et de lecture poétique, série alternée qui se fait en quelques secondes     ou quelques minutes.

En particulier, l'aptitude à résumer, à formuler, de façon juste ou approximative reste un souci pédagogique permanent. La mémorisation des théorèmes ou des définitions est tributaire de cette capacité.

Cela me semble important à dire car la croyance que la lecture d'un texte mathématiques est seulement précise, en une seule fois, renvoie certains élèves hors des sentiers mathématiques.

On ne peut pas non plus escamoter le rôle décisif donc de "l'oral" en mathématiques car  l'oral exige cet aller-retour permanent, davantage que l'écrit.

De façon plus générale, en maths, l'hyperparataxe joue un rôle permanent : c'est la tendance à résumer certains groupes de propriétés en un seul concept qui reçoit alors un nom. Par exemple, un groupe, un corps,

un ordre, une équivalence, une fonction, etc...

L'hypoparataxe joue elle un rôle dans la mémorisation pour saisir l'articulation déductive ou pour faire les synthèses personnelles.

Les tablatures de la répétition

Les vertus pédagogiques de la répétition sont connues, mais peut-être suffisamment mal pour qu'elle soit vécue à tort comme un obstacle au développement de l'intelligence.

La répétition de factorisation, de développement, de la table de multiplication, d'applications même bestiales de Pythagore, ou d'équations d'un même type, conduit à autre chose, à un palier supérieur dans l'appropriation.

Nous avons vu avec la métaphore de l'aetite combien la répétition  d'un sème ou d'un arc sémique peut faire entendre autre chose que ce sème.

Cette tablature joue un rôle décisif dans la vie de tous les jours, en littérature, en sciences, en art, en jardinage et elle s'étage en mathématique par exemple sur la notion de suite.

On pourra voir combien l'étude minimale des suites mathématiques est d'une importance culturelle très grande, et ne se réduit pas aux aspects quantitatifs de la vie.

D'abord la répétition d'un sème donne accès à autre chose : la répétition de l'addition fait peu à peu accéder à la multiplication, la répétition des multiplications,à la notion de puissance.

Ensuite la répétition peut "permettre de connoter l'essence par l'attribut essentiel : 3x², 5x², 7x² pour connoter monômes semblables.

ou 3,6,9,12 .....

Puis l'essence est dans le passage d'un terme au suivant: u(n+1) = 2u(n) +3

Il arrive que le dernier terme modifie le sens de toute la chaîne. Soit la symétrie axiale (d).

on considère la suite (d)^n : si le dernier est le 16ème, on n'a plus affaire à une symétrie.

Un exercice terminant une suite d'exercices et contredisant leurs résultats peut être décisif pour la compréhension.Par exemple 6 équations du type ax = b et la 7 ème est 0x=8.

L'élève doit revenir sur les 6 précédentes pour mieux comprendre qu'il a mal utilisé le théorème

intimement en escamotant la condition a différent de 0.

Cette tablature aux multiples variantes est dite " tablature Dupin".

 

 

La tablature de l'évocation

On se souvient du texte de Proust où le goût et l'odeur d'une madeleine rappelle bien d'autres

souvenirs.Le mot est à la fois dans une échelle de goût et d'odeurs, et en même temps une chaîne

d'émotions.(Ce texte se trouve dans ce site à la catégorie "se souvenir des belles choses")

De la même façon, un concept associé à un mot lequel a été utilisé antérieurement, dans d'autres

circonstances, mais affectivement (directement ou indirectement) très prégnantes.

Italo Calvino racontait comment " ayant associé le mot isocèle au pubis d'Irina, je n'ai plus jamais

 pu le prononcer sans une certaine émotion".

On voit combien ceci dirige la réactivation des concepts ou sèmes endormis.

Cette tablature a été nommée par Guy Magen comme la tablature de Proust.

Ainsi, les éléments extérieurs apparemment à l'apprentissage, leur pertinence, extérieurs à la

sphère cognitive, conditionnent à leur façon le développement. La dimension humaine, la classe,

 l'enseignant, le désir qui court dans les classes, les émotions liées à l'histoire humaine des

mathématiques et des  mathématiciens, le rapport des maths vues aux oeuvres d'art plastiques ou

 musicalen ou poétiques, les sentiments bouleversants à l'occasion d'un film associés, font partie

de tout ce qui fait l'éducation mathématique d'un élève réel, et pas de façon générale, ce qui est

d'une triste banalité pour l'élève abstrait.

Nous sommes déjà bien loin des conceptions utilitaristes comme moteur du développement en

maths.

Oui, raconter la participation de Galois à une révolution, ou son amour d'une femme, raconter les anecdotes sur Thalès, sur Gauss, emmener voir des peintures en parlant du nombre d'or ou des courbes sur les nus de la Renaissance, raconter l'histoire de Leverrier ou de Galilée enfant, ce n'est pas être à côté. La grande Sophie Germain a dit combien elle avait été marquée par l'histoire d'Archimède tué par la soldatesque romaine, et parler des rapports des mathématiciens avec la liberté ou l'amour, ou l'aventure. C'est aussi par là que parfois les mathématiques nous touchent.

Ma génération de 19 ans a été marquée par exemple par l'assassinat sous la torture du mathématicien Maurice Audin, et son combat pour la liberté.

Il y a quelques temps , certains s'insurgeaient contre l'introduction de commentaires anecdotiques sur l'histoire des mathématiques par les enseignants au détriment de la dimension épistémologique ou d'histoire des idées. C'est une profonde erreur : c'est l'analyse critique des anecdotes, ajoutées à la théorie qui permet plus tard de comprendre l'histoire, encore faut-il avoir des faits à critiquer.

C'est entre les cailloux que sont les faits que se déroule pour nous l'histoire sérieuse, les liens entre les faits.

N'hésitons pas à raconter ou a faire lire des histoires de mathématiciens  et de mathématiques

avant de lancer l'élève dans la nécessaire histoire des idées mathématiques.

La tablature de l'absence

Continuons notre chasse aux concepts probablement efficaces pour enseigner l'élève concret.

Je rappelle que je n'en donne ici qu'une maigre idée, mais qui me semble suffisante pour que chacun s'en empare et la fasse fructifier pour l'enseignement à venir.

Interrogeons nous sur les moments où se constate l'absence d'un objet. Quels problèmes cela pose-t-il du point de vue pédagogique?

De façon générale, nous revisitons un lieu où un objet ou un personnage qui a été prégnant pour nous est absent maintenant ( L'exemple donné par Guy Magen est "le lac" de lamartine "un seul être vous manque et  tout est dépeuplé". Le  poème est dans ce site dans la catégorie "se souvenir des belles choses").

Par exemple, je revisite les réels après avoir manipulé la structure de corps. (R,+) est un groupe et (R-{0}, x) est aussi un groupe. Le rôle de 0 dans l'équation dur corps ax+b=c se joue comme une oscillation entre présence et absence: il y a là une expérience qui fera tablature pour moi dans d'autres situations mathématiques ou dans la vie réelle aussi.(Jetez un coup d'oeil sur les deux groupes définis sur un cercle (ou une conique d'ailleurs) dans la rubrique de ce site " "prendre du recul, un exemple".

Cela se reproduira chaque fois que dans ma quête cognitive, je reviens dans un monde où j'ai supprimé un ou des objets après les avoir ajoutés .

L'enfant de 5ème qui revient à la soustraction dans N avec un domaint de couples interdits après avoir eu les joies de la soustraction dans Z.

L'adolescnt de TS qui, après avoir "compris" la divisibilité dans Z, revient innocemment dans N et se demande si 3 est premier puisqu'il a 4 diviseurs.

L'élève de 4ème qui, après avoir en arts plastiques vu et manipulé le point de fuite ( hélas, maudits programmes, pas en maths!) revient en perspective cavalière et ne le trouve pas.

L'élève de première qui a l'impression de diviser en cachette par 0 les deux termes du taux d'accroissement pour trouver son nombre dérivé.

L'élève de première qui trouve dans son manuel ( et c'est très bien) le signe de l'infini dans un tableau sur les limites de quotients et de produit, tableau qu'il lit comme un tableau "opératoire".

L'élève de seconde qui vit l'ensemble de définition comme surtout le résultat d'une suppression, et non d'une présence, ce qui va le gêner plus tard s'il ne le gère pas.

L'élève du primaire qui, après avoir découvert le 0

comme associé à "rien" découvre que multiplicativement, ce n'est pas "rien" ou que 1 c'est rien.

L'élève de TS qui après avoir vu les complexes revient dans les réels sans les imaginaires et n'a plus ces nombres bénis où une exponentielle prend des valeurs négatives.

Ce sont de grands moments pour l'élève réel, incontournables et productifs de rameaux de sens.

Il est nécessaire de ne pas répugner à les sentir, au delà des certitudes que donne la signification pour parfois, savoir l'aider à avancer, sans escamoter ces moments.

Cette tablature de l'absence est dite "tablature lamartinienne"

 

 

la tablature de l'éclipse

On connaît l'importance en mathématiques des changements de cadres de signifiés ou de registres

 de signifiants. Résoudre un problème de géométrie en passant par le cadre algébrique ou

inversement, par exemple.De magnifiques initiatives pédagogiques ont été prises avec ce type de

 projecteur. 

Lorsqu'on s'interesse à l'élève réel, on a à se demander quelle est la nature des obstacles qui

l' empêchent de faire ce type de changement spontanément ou au contraire quels sont les

 accélérateurs.

Par exemple en 5ème, pour résoudre l'équation  x+13 = 19, Jean a deux registres :

Celui des nombres arithmétiques, avec la soustraction, ou celui des nombres relatifs avec

l'addition de l'opposé.L'élève a à choisir entre deux modèles sous-jacents : il doit en choisir un,

 qui sera dominant, et qui éclipsera momentanément l'autre, soit celui de la soustraction, soit celui

du groupe.( Notons qu'au CM1, il aurait à choisir entre le domaine de la soustraction et celui dy

semi-groupe avec la décomposition  x+13= 6+13 puis x=6).

De la même façon , en troisième pour l'équation 7x= 36 , le modèle des rationnels , ou le modèle

de la division, ou celui de la divisibilité ( le semi-groupe).

En seconde, résoudre l'inéquation avec des valeurs absolues Ix+13I < 5 : on peut penser à rester

dans le cadre algébrique ou passer au cadre géométrique avec des graphiques.

En troisième, résoudre un problème d'espace en passant en géométrie plane.

Plus tard, résoudre un problème de géométrie courante sur une conique en passant en projective

et en partant du cercle, ou encore voir le théorème de Pappus sur deux droites comme un cas du

 théorème de Pascal sur le cercle.

De façon générale, on a deux modèles sous-jacents et on en rend un dominant, puis on s'arrange

pour qu'il éclipse l'autre pendant le temps de la résolution. Il s'agit d'un apprentissage par

 l'habitude, la coexistence des deux permettant un conflit inhibant.

Cette activité, l'élève, comme nous, le fait de façon spontanée dans la vie de tous les jours,

mais ne le fait pas en maths à cause de l'image qu'il a de l'école et des mathématiques.

Le concept de tablature d'Antonioni aide à réfléchir pédagogiquement à ces problèmes.

 

 

Exemple

Reprenons un exemple.

Un théorème de géométrie plane de pascal me dit qu'un hexagone inscrit dans un cercle a ses côtés (1 et 4) (2 et 5) (3 et 6) se coupent en 3 points u, v, w qui sont alignés.

Si je passe dans le modèle spatial, en plongeant le cercle dans un plan et sur un cône, la section donnera une conique en coupant ce cône par un plan non parallèle au plan du cercle.

J'obtiendrai donc un résultat analoque au théorème de Pascal pour une conique.

Si je passe dans le modèle algébrique, une conique est une courbe du second degré du type

ax²+by² +cxy+dx+ey+f =0 . Un couple de droite a pour équation (mx+ny+p)(m'x+n'y+p') = 0 et est donc une conique particulière. On peut imaginer que le théorème de pascal est vrai aussi et on tombe sur le vieux théorème de Pappus qui s'énonçait ;"Si on prend trois points a, b ,c sur une droite et trois points a',b',c' sur une autre, les droites (ab')et (a'b), (bc') et (b'c), (ac') et (a'c) se coupent en 3 points alignés."

Ainsi , trois modèles   pour des situations possibles: j'aurai donc suivant les problèmes à en narcotiser momentanément 2 pour utiliser pleinement le 3ème.

C'est ce qui se passe souvent pour l'élève ou le petit enfant.

Insistons sur le fait que ce comportement est quasi banal dans la vie courante, mais il ne faut justement  pas inhiber ces démarches par une évaluation qui fait croire que cela n'intervient pas en mathématiques.

voir les figures sur le bloc suivant.

 

 

 

figures éclipses