amusons nous avec les transformations

Usine à conjectures

Dans le plaisir en géométrie, il y a ce mélange d'intuition, d'imagination et de rigueur nécessaire,

 sans oublier les diagrammes qu'offre la géométrie pour modéliser des concepts ou des méthodes

 dans des domaines courants qui souvent n'ont à priori rien à voir avec les mathématiques.

L'apprentissage de la rigueur ne se fait pas dans des situations complexes, mais dans des cas où

le nombre d'axiomes ou de théorèmes pertinents est très réduit.

Voici une approche ludique des transformations classiques avec l'idée qu'il s'agit de faire

 manipuler ces transformations pour préparer peut-être plus tard des approches "démontrées",

mais en attendant, jongler avec des conjectures personnelles en apprenant à les trouver et à les

formuler, car ce sont les plus efficaces pour engager

sérieusement l'esprit de démonstration.

Nous allons rapidement suggérer :

  • translation
  • homothétie
  • affinité
  • transvection
  • élation
  • homologie
  • rotation
  • similitude
  • inversion.

On peut faire amuser là dessus des élèves de la 5ème à

la terminale, en passant surtout par la quatrième et la

seconde. C'est une belle préparation à l'épreuve

pratique de maths en TS, épreuve qui devrait se

généraliser à d'autres sections si elle n'est pas

ridivulisée comme d'habitude par des exigences

tatillonnes sur les programmes.

( On trouvera des éléments dans un chapitre du livre de "manipulaions élémentaires de géométrie non euclidienne" que nous avons publié chez Publibook, Karine Perez et moi-même)

 

 

translation

 

On se donne seulement deux points a et a'.

L'image d'un  point m s'obtiendra ainsi :

  • on trace la droite (ab)
  • on trace par m la parallèle à (ab) ( la trace de m)
  • on trace par m la parallèle à (bm)

Les deux parallèles se coupent en un point m' qui est

l'image du point m.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site.(cliquer sur ce mot)

On retiendra, pour l'intuition de l'élève réel: translater,

c'est pousser sans tourner.

 

homothétie de centre O

 

On se donne un point O, un point a et sur la droite (Oa) un point a'.

L'homothétie de centre O transformant a en a' donnera l'image d'un point quelconque m s'obtiendra ainsi:

On trace la droite (Om)

on trace (am)

on trace par a' la parallèle à (am)

Cette parallèle coupe (Om) en m' qui est l'image de m.

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer sur ce mot)

Pour l'élève réel, et son intuition, on fait remarquer que l'homothétie agrandit ou diminue sans

faire tourner.

 

Homologie centre O, axe d, (a, a)

 

On se donne un point o dit centre et une droite d dite axe, ainsi que deux points a et a' alignés avec o.

Pour trouver l'image d'un point m par l'homologie

 de centre O et d'axe D :

On trace la droite (om)

On trace la droite (am) qui coupe D en s

La droite (sa') coupe (om) en m' qui est l'image du

point m.

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

 

images par homologie 1

 

image d'une lemniscate de bernouilli

 

affinité

 

On se donne une droite D et deux points a et a' tels que la droite (aa') ne soit pas parallèle à D.

On prend un point m.

L'image du point m s'obtiendra ainsi :

On trace la droite (aa')

on trace la parallèle à (aa') par m.( ce sera la trace de m: m' sera sur elle)

la droite (am) coupe la droite D en un point s.

La droite (a's) recoupe la trace de m en m' qui sera donc l'image de m.

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

 

 

 

images par affinités de figure

 

transvection ou cisaillement

 

On se donne une droite D et deux points a et a' tels que (aa') soit parallèle à D.

On prend un point quelconque m.

L'image de m s'obtient ainsi:

on trace la droite (aa')

la droite (am) coupe D en s

On trace la droite (sm)

elle coupe la parallèle à D passant a' en m' qui est donc l'image de m par le cisaillement.

 

 

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

Remarque: si le point m est sur la droite (aa'), on cherchera l'image d'un point quelconque p situé ailleurs et on utilisera p et p'.

 

 

images de figures par transvection

 

élation

 

On se donne une droite D et un point o sur D.

On se donne aussi deux points a et a' alignés avec o.

L'image d'un point quelconque m s'obtient de la façon suivante:

On trace la droite (om) qui sera la trace de m, donc sur laquelle se trouvera l'image m'.

La droite (am) coupe la droite D en s.

On trave (sm). Elle coupe la trace de m en m'.

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

Remarque: Si m est sur (aa'), on utilisera un point auxiliaire p situé ailleurs , on cherchera son

image p' et on trouvera simplement l'image de m.

 

 

 

 

 

élation 2

On peut essayer pour des transformations plus classiques la même méthode.

Prenons l'exemple de l'inversion.

Inversion

 

On peut utiliser la même approche avec d'autres transformations classiques. Prenons l'exemple de

l'inversion.

On se donne un point o, un point a et un point a' sur la droite (oa) qui sera donc l'image de a.

On prend un point m quelconque.

L'image du point m s'obtiendra ainsi:

On trace la droite (om)

on trace le cercle circonscrit au triangle (a,a', m)

la droit (om) rencontre le cercle circonscrit en un point m' qui sera l'image de m.

C'est simple, malheureusement ça ne marche pas bien suivant les logiciels, même cabri.

J'ai essayé une astuce vaseuse pour me tirer d'affaire : elle marche.

lorsqu'on a tracé la droite (om) et le cercle (a,a', m) on demande les points d'intersection de la droite et du cercle, m1 et m2.

On demande le milieu de m1 et m2

on demande le symétrique de m par rapport à ce milieu : C'est ce nouveau point qui sera m'.

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

 

inversion (o, a, a') exemples

 
 

Inversion conique (o, a,a', b, b')

 

Un des avantages culturels des mathématiques est d'être un redoutable arsenal "anti-bof".

On pourrait juger sans interêt la définition précédente de l'inversion alors qu'on dispose d'autres

plus efficaces et plus simples. En fait, chacune a ses rhizomes créatifs.

Par exemple celle que nous venons de prendre (o, a, a') peut , pour peu que nous laissions de côté

 notre condescendance envers les ruminants, nous permettre de penser ( panser ?) à une autre

transformation. En effet un peu de rumination nous conduit à utiliser une conique au lieu d'un

cercle. Allons-y!

On se donne un point o, deux points a et a' alignés avec o et deux autres points b et b' alignés

 avec o.

On se donne un point m quelconque.

L'image de m s'obtiendra ainsi:

on trace la conique (a, a', b, b', m).

on trace la droite (om) qui recoupe la conique en m'.( s'il y a des problèmes penser à utiliser le

milieu du segment sécante et une symétrie centrale par rapport à ce milieu).

 

On fait alors une macro.

Surtout, il faut faire une macro permettant d'avoir

 immédiatement l'image à partir de (a, a') et m.

Que ce soit dans cabri, geospace, carmétal ou

geogébra, ou tout autre logiciel de géométrie

 dynamique, il est essentiel de le faire.

Ensuite, on prend une figure classique , on prend un

point m sur cette figure, on trouve son image m' et

entin on demande le lieu de m' quand m bouge.

On étudie alors les images de diverses figures comme

droite, segment, demi-droite, divers triangles,carré,

 rectangle, parallélogramme, losange, cercle, arc de

 cercle, conique.

Ensuite on peut commencer une approche

systématique naïve des propriétés avec la grille de géométrie qui se trouve dans ce site. (cliquer ici).

 

 

 

 

 

inversion conique (o a a' b b')