Problèmes, exercices : une définition commune

acte intellectuel

 

  I

1) Remarque préalable: une « définition » commode.


On peut commencer par une tentative grossière mais

efficace de définir le problème.

Définissons d'abord un acte intellectuel comme un

triplet formé d'une situation initiale dans laquelle se

trouve un objet initial noté I , d'un

processus P, et d'une situation finale dans laquelle se

trouve un objet F, dit objet final, qui est le

produit de l'acte intellectuel donc un triplet [ I P F ]

Ex: trouver la somme de 14 et133. I: (14, 133)   P: addition    F: 147 

problème et exercice

 

 

Ensuite, nous définirons un problème ou exercice de mathématique ( nous distinguerons les deux

plus tard) comme un acte intellectuel incomplet.

  • Ex: Trouver la différence de 3 et 15,   [ I P ?]
  • Ex:  Démontrer que n^3-n est multiple de 6. : [ I ? F]
  • Ex : Contruis un rectangle d'aire 24 cm²: [ ? ? F ]

 

Tout de suite, il en résulte qu'il y a 6 sortes de

problèmes :

Nous distinguerons entre le problème posé et le problème réel.

Il est clair que dans le problème réel , on connaît la situation initiale toujours. Il est par conséquent plus opérationnel de s'intéresser au problème posé, ce qui sera toujours le cas par la suite. Il en résulte que le processus interessant sera le processus apparent.

Par exemple, soit le problème : Trouver un nombre dont le carré augmenté de 7 donne 43 .

Le problème posé est :[ x, carré augmenté de 7, 43] donc [ ? ,P , F].

Le problème réel est [ (7, 43), P, x ].

 

Tout de suite, il en résulte qu'il y a 6 sortes de problèmes :

 

 

Des exemples

 

 

Exemples

  • Type 1.Trouve l'aire d'un rectangle de côtés 7cm et 4 cm. en utilisant la formule S = L*l

  •  

  • Type 2 Trouve une solution approchée de l'équation ln(x-3)=2 en utilisant un graphique .( ou résoud

  •  

  • l'équation ln(x-3) = 2

  •  

  • Type 3. Démontre que la somme des n premiers entiers impairs est n².

  •  

  • Type 4.Calcule l'aire d'une ellipse de diamètres a et b.

  •  

  • Type 5.Tracer une couronne circulaire d'aire 20 cm².

  •  

  • Type 6. Illustrer la formule d'intégration par partie.

 

Les 3 niveaux d'apprentissage

 

 

Peut être faut-il liquider tout de suite la distinction entre exercices et problèmes.

Pour cela il faut distinguer au moins 3 niveaux de rapport d'un élève à une notion mathématique à un instant

donné t de sa vie:

  • Soit elle a fait l'objet déjà d'un apprentissage systématique : nous dirons alors qu'elle est familière .( par

  •  

  • exemple l'équation du premier degré en troisième ou l'étude d'une fonction du second degré en première)

  •  

  • Soit l'élève a déjà eu l'occasion de la manipuler plusieurs fois sans en avoir fait un apprentissage

  •  

  • cohérent:nous dirons alors qu'elle est « rencontrée » (par exemple la proportionnalité en sixième ou la

  •  

  • notion de fonction en troisième ( hélas !!!)

  •  

  • Soit l'élève n'a jamais manipulé cette notion, sauf une ou deux fois , ou n'en a jamais entendu parler: nous

  •  

  • dirons qu'elle est nouvelle pour l'apprenant. Par exemple la parabole en terminale ou la perspective centrale

  •  

  • dans le secondaire.

On voit qu'il y a une classification capitale des notions mathématiques pour un élève à un instant donné.

Ce qui distinguera alors un problème d'un exercice en mathématique, c'est que dans un problème, un des 3

éléments au moins, soit la situation initiale I, soit la situation finale F, soit le processus P , est nouveau pour

l'élève.

Donc, un problème pour un élève en octobre peut devenir un exercice au

mois de février. Un exercice de seconde peut être un problème pour un

élève de troisième

Résumons

 
 
 

premier paramètre ; LE NIVEAU GENERAL DU PROBLEME(ou de l'exercice)

L'analyse d'un problème donné, à un moment donné, dans une classe donnée, pour un élève donné se fera en cherchant à placer 3 croix dans ces 9 cases.

De même on peut fabriquer un problème sur un thème donné, par exemple l'équation du premier degré, à partir de 3 croix choisie au départ. Nous y reviendrons dans une étude ultérieure plus concrètement.

Mais essayez déjà avec quelques thèmes et quelques classes.

 

 

Second paramètre LE NIVEAU D'ABSTRACTION des DONNEES et de la SOLUTION

Puissant ce paramètre.

Détaillons. Il est basé sur la remarque qu'en mathématique, il y a en gros 6 types d'abstractions:

  1. Les objets particuliers : pi, le nombre 3, ce triangle ABC,
  2. Les classes : famille d'objets, ensemble d'objets  comme les naturels, les polynomes, les carrés, etc...
  3. Les relations entre objets : égalité, équivalence, inférieur, diviser, de même aire,
  4. les opérations: addition, division, milieu, médiatrice,
  5. Les opérateurs: carré, suivant, homothétie, exponentielle, dérivation, etc....
  6. Les structures : groupe, triangle équilatéral abc, en carré, treillis, etc... 

Il y aura aussi avec l'habitude, les classes d'opérateurs, les relations entre classes, les structures d'opérateurs , etc...

Un problème, du point de vue de ce paramètre se présente comme une flèche (I,F) (type d'objet initial, type d'objet final)

donc comme une case du diagramme ci-dessous.

 

 

le niveau d'abstraction des données 2

 

un puissant outil de création

Nous reviendrons plus tard dans un autre texte d'illustration.

Mais déjà, vous pouvez tester la puissance de l'outil.

Par exemple, en 6ème, avec le simple texte " On donne un rectangle de longueur 6cm et le largeur 4cm. Trouver son aire".

Placez-le dans la grille, donc dans la case : (particuliers , particulier) puis changer le texte, en gardant le même thème, de façon à le faire entrer dans les 35 autres cases . Avec un peu d'imagination, vous obtenez 35 problèmes ou exercices différents.

 A suivre

3ème paramètre :Isolement des données

Ce paramètre concerne la façon dont sont articulées les données;

Elles peuvent être :

  • Isolées : C'est le cas des problèmes habituels. On ne cherche pas à développer ou à juger chez l'élève ses aptitudes à choisir les bonnes données, à les trier, à les articuler.
  • Noyées : Les données pertinentes sont placées au milieu d'autres inutiles.
  • Parasitées : Il y a des données surabondantes qui interfèrent négativement avec les pertinentes.
  • Déformées : Les données pertinentes sont présentées sous une forme non immédiatement appréhendable.

Des exemples pour le calcul de l'aire d'un rectangle.

-(i)  Un champ rectangulaire a 30m de largeur et 50m de longueur.Quelle est son aire ?

-(n) Un champ rectangulaire est bordé de poteaux de 20 m de hauteur, d'un fossé de 2m de profondeur.Sa longueur vaut  80m.Sa diagonale mesure 100 m, et sa largeur 60m. Quelle est son aire?

_(p) On a un rectangle . Sa longueur est 30m.Si on le coupe en deux parties égales parallèlement à la longueur, le périmètre devient  70m. Quelle était l'aire de ce rectangle ?

- (d) Un rectangle a une longueur de 50 m. Sa largeur,mesurée par un anglais, est de 30 yards. Quelle est son aire ?

Essayer de modifier un problème classique de n'importe quelle classe, de la maternelle à l'université.

 

A SUIVRE

       

 

 

LE NIVEAU D ABSTRACTION DES DONNEES 2

 

Chaque case représente donc un type de problème.

Un exemple d'utilisation en 6ème.

  1. On donne un rectangle (6;10).Calculer son aire. Type (P-P)

  2. On donne un rectangle (6;10).Construire 4 rectangles ayant même aire . Type (P-C)

  3. On donne 3 rectangles (6;10), (4;12);(8;9).Classez-les par ordre d'aire décroissante. Type (P-R)

  4. On donne un rectangle (6;10) . Comment trouver le deuxième côté des 6 rectangles qui ont même aire que lui et qui ont pour côté 3?14?18? 60? 0,5? Type ( P-ω)

  5. On donne deux rectangles en carton (6,10) et (8;5).On les pose l'un à côté de l'autre sur une droite , collés l'un contre l'autre. On trace alors le plus petit carré qui les contient tous les deux. Il y a 4 façons de le faire. On choisit celui qui a la plus petite aire. Quelle est cette aire?

    Recommence avec deux autres rectangles. Type (P-O)

  6. On dispose de deux rectangles en carton (6;10) .On les dispose sur une même droite, collés l'un contre l'autre de façon que la longueur de l'un soit contre la largeur de l'autre. On trace les deux diagonales [AB] et [AC] qui partent du sommet commun A. Que peux-tu dire du triangle ABC ? Type (P-S)

  7. On considère la famille des rectangles dont la largeur est un naturel compris entre 3 et 10, et dont le périmètre est 28.Construire celui qui a la plus grande aire. Type (C-P)

  8. On considère la famille des rectangles de dimensions entières ayant pour aire 24cm².Construire la famille des carrés ayant mêmes périmètres que ces rectangles. Type (C-C)

  9. On considère une famille de carrés. A côté de chacun, on construit le cercle ayant même longueur que ce carré. Comment faire pour obtenir le rayon de chaque cercle. Type (C-ω).

  10. On considère une famille de carrés. On prend deux de ces carrés et on construit le carré qui a pour périmètre la somme des deux périmètres. Comment trouver le côté de ce carré? Type (C-O)

  11. On considère les nombres naturels de 0 à 30. On considère les restes de la division de ces nombres par 4.On trace un carré. Disposer ces nombres aux coins du carré de façon que les nombres ayant même reste soient près du même sommet. Type (C-S)

  12. On multiplie un nombre par 18 et on soustrait son carré au résultat. Quel nombre obtient-on si on part de 12? de 15? Type (ω-P).

  13. On considère les rectangles d'aire 36 cm² .Construire ceux de ces rectangles dont les coordonnées sont des naturels. (Type (ω-C)

  14. On considère les rectangles de largeur 10cm. Indique ce qu'il faut faire pour trouver leur périmètre.

    Indique ce qu'il faut faire pour construire celui qui a pour périmètre 56cm. Type ( ω-ω).

suite

Opérateur vers particulier ((O;p)

On multiplie la longueur et la largeur d'un rectangle. Par quel nombre sera multipliée son aire.

 

Opérateur vers classe.(O;C)

On donne un carré de côté 8cm.Construire 3 rectangles de dimensions entières ayant même aire que ce carrré.

 

Opération vers classe (O'; C)

On donne un rectangle de dimensions 10cm et 6cm. On découpe dans ce rectangle un carré de côté 6cm. Construire 3 rectangles qui     ont même aire que le morceau qui reste.

 

 

Structure vers classe (S;C)

Découper ce polygone en 6 rectangles de même aire.

 

 

Opérateur vers relation ( O ; R)

On déforme un rectangle comme l'indique le dessin, en parallélogrammes. Classer les 3 polygones suivant leur aire

 

 

Bis (O ; R)

On découpe un rectangle de façon ci-contre. Est-ce que l'aire diminue ? Est-ce que le périmètre diminue ?

 

Opération vers relation. (O; R)

On a un rectangle de dimensions entières. On ajoute 6cm à sa longueur et on retranche 6cm à sa largeur. On obtient un nouveau rectangle. Quel est le rectangle qui a la plus grande aire, l'ancien ou le nouveau ?

 

On donne le carré ci-contre. Ecrire une relation donnant (a+b)².

grille de l'isolement

 

4ème paramètre : l'évidence des données

 

Ce paramètre exprime la façon dont les données pertinentes pour la résolution du problème

apparaissent ou non dès la lecture de l'énoncé.

  • Elles sont explicites quand l'énoncé comporte toutes les données nécessaires clairement

formulées.

  • Certaines données sont impliquées par l'énoncé, mais n'apparaissent pas clairement.Ces données

 sont dites implicites.

  • Lorsqque certaines données ne sont pas explicites, ni impliquées par l'énoncé, mais

se manifestent au cours du processus de résolution, on dit qu'elles sont révélées 

  • Il peut arriver qu'il y ait des données qui ne sont ni explicitement dans l'énoncé, ni impliquées par lui, ni révélées au cours du processus, mais qu'au contraire il soit necessaire d'aller les chercher ailleurs: on dit que ces données sont "non fournies" 

exemples

Le cas des données explicites est le plus courant.

Les données implicites se rencontrent malheureusement trop peu souvent. Les qualités de l'élève

qu'elles exigent et qu'elles développent sont décisives pour son avenir mathématiques.Par

exemple l'interrogation de l'énoncé préalablement à la résolution.

Un camion parcourt 230 km en 4 heures. Quelle est sa vitesse ? (non dit ; le mouvement est

uniforme)

 

Un coupon de tissu de 10 m est vendu 360 euros. Quel est le prix d'un mètre ? ( non dit: le prix

est proportionnel au métrage, le coupon est rectangulaire , et pas trapézoïdal)

 

Il y aussi le cas des données révélées qui exigent et développent d'importantes qualités

d'autocritiques, d'interrogation permanente sur ses propres choix et sa propre activité, sur

l'anticipation de ce qui peut se passer au cours de la résolution, l'imagination des futures

démarches, décisives pour l'arbre des choix stratégiques ou tactiques.

En troisième : Résoudre l'équation x² + (x-3)² = 2x²+10  ( révélation : l'équation a l'air du second

 degré, mais est en fait du premier degré)

 Un exemple de non fournies : quel en cm  la longueur d'un cercle de 110 cm de rayon. ( On ne

donne pas la valeur de pi à prendre)

croisement isolement-évidence

D'Hainaut recommande de croiser parfois isolement et évidence.

On utilise alors la grille ci-contre. Il est intéressant de placer de ce point de vue un problème dans la bonne case de la grille, puis de changer le texte volontairement en le plaçant alors sur d'autres cases.

 

5ème paramètre : accessibilité des données.

 

Ce paramètre intervient dans les problèmes hélas peu posés ( vraiment à tort) où une partie des

données doit être recherchée par l'élève.

Par exemple en 6ème : Calculer l'aire de ta table , ou l'aire de ta salle, ou le volume de ta salle, ou la vitesse moyenne du bus régulier qui passe devant le collège pour la 4ème, ou construis une maquette au cinquantième de la salle de classe en 5ème, ou quelle est la densité de la population dans ta commune. On peut trouver des milliers d'autres exemples au lycée ou au collège,  ou au primaire.

Ils exigent d'ailleurs de la part des programmes une étude à tous les niveaux du calcul approché.

Rappelons la merveilleuse formule de G.Th. Guilbaud " faire des mathématiques, c'est faire de

l'approximation avec rigueur".

On peut distinguer 3 sous paramètres :

La forme, qui peut être documentaire ( internet, livres, journaux) ou réelle.

La disponiblité : la source qui peut-être fournie, indiquée, ou non indiquée.

L'accès, qui peut être facile, difficile ou très difficile.

 

fiabilité des données

 

Brièvement, les données peuvent avoir au moins 4 niveaux suivant qu'elles sont plus ou moins

fiables.

Elles peuvent être fiables : C'est le cas (hélas) de l'immense majorité des problèmes que nous

donnons ou que les manuels ou les examens proposent.Inutile d'insister.

Elles peuvent être quasiment sûres dans une marge, c'est à dire que certaines sont données avec

un encadrement ou une valeur approchée avec une incertitude donnée.

Elles peuvent être probables, donc fournies avec une probabilité donnée.

Enfin, elles peuvent être peu fiables.

 

Le cas " dans une marge" est capital car il comprend en fait tous les problèmes où interviennent

les mesures. Il prépare aussi l'analyse, au sens où Dieudonné disait que c'était "majorer, minorer".

De plus, l'utilisation des mathématiques en sciences exige des élèves adaptés à ce type de

problèmes. Ensuite il oriente notre enseignement vers ces "leçons d'à peu près" dont parlait si

merveilleusement ce grand pédagogue qu'est G.Th. Guilbaud.

Voici un ou deux problèmes possibles:

- Un champ rectangulaire a une longueur comprise entre 120m et 130m et une largeur comprise

entre 40 et 45m. Quel est son périmètre ? Quelle est son aire?( Si on veut rendre crédible cela,

on peut imaginer que la largeur a été mesurée par une autre équipe que la largeur).

- Résoudre l'équation ax+b=c sachant que a est compris entre 8 et 10, b entre 40 et 42 et c entre

100 et 105.

- Tracer le graphique de la fonction ax²- b sachant que a est égal à 2 à 0.3 près et b égal à 8 à 0.9

 près

On peut ainsi partir d'un énoncé classique et le modifier pour l'adapter à ce type de données.

La géométrie n'échappe pas à ce type d'interrogation :Un point a est dans un disque de rayon

 0.5cm et un point b dans un disque de 1cm de rayon. Où se trouve le milieur de [ab] ?

_ Le cas des données probables peut se traiter de façon analogues, en couplant avec des statistiques : "Une classe a mesuré la longuur d'un champ et 80 pour cent des élèves ont trouvé

 80m. Une autre classe a mesurée la largeur et 90 pour cent des élèves ont trouvé 35m.

Que dire de l'aire et du périmètre de ce champ?

Le cas des données peu fiables est aussi très interessant par rapport à l'esprit critique des élèves

 et par rapport à l'importance de la démonstration.

En seconde, je vois très bien un exercice du type : La mesure des angles d'un pentagone a donné

en degrés 100, 50, 120,200 et 90 degrés. Qu'en penses-tu ?

Ou encore : un triangle a pour côtés 14, 24 et 30cm . Son cercle circonscrit a un rayon de 20cm

et son aire est 200cm². Est-ce possible ?Qu'en penses-tu ? ( on sera conduit à chercher une relation entre les 5

dimensions et à établir la formule abc = 4 RS)

 

paramètre 9 : la stabilité des données

 

Il peut arriver que les données changent pendant le temps de résolution d'un problèmE.

C'est fréquent dans les problèmes de la vie courante. Les qualités pour gérer ce type de situation

sont particulières et sont à développer.On discutera plusieurs cas.

Les données peuvent être donc stables pendant le processus de résolution. C'est le cas de

tous les problèmes posés scolairement, et c'est à mon avis dommage.

Elles peuvent être variables , c'est à dire qu'elles changent régulièrement pendant la résolution, donc suivant une loi qui n'est pas forcément la proportionalité au temps.

Elles peuvent être fluctuantes, c'est à dire changer de manière aléatoire pendant la résolution.

Elles peuvent aussi changer à cause du processus de résolution lui-même.

Elles sont alors réactives  et donc de deux façons :

réactives en opposition, c'est à dire qu' elles varient en rendant plus difficile le processus de

résolution

Soit réactives en conjonction : au fur et à mesure qu'elles varient, le processus est facilité.

On a le tableau suivant:

 

Exemple : Données variables. Un bidon transparent plein au départ sur la table et un seau cylindrique  (ou tronconique suivant la classe ) dessous qui reçoit un écoulement régulier. A quelle heure le seau sera-il plein ? Les élèves ont le droit de se déplacer pour faire les mesures nécessaires. Un réveil ou une horloge est disponible.

En cinquième : Données fluctuantes.On donne un carré de périmètre 20cm abcd.On trace la droite (ab) et on prend un point m sur cette droite, à l'extérieur du segment [ab].Quelle est l'aire du triangle cdm ?

 

 

 

 

Permanence des données

 

Les données peuvent être permanentes ou fugaces.

On obtient des exercices pédagogiuquement très interessants en jouant sur ce paramètre.

L'élève apprend à résumer intérieurement le texte d'un énoncé, à l'avoir présent en tête pendant

presques toutes ses réflexions, ce qui est décisif dans le cas, plus tard, des problèmes complexes.

Par exemple, on lit l'énoncé d'un problème court à haute voix, une ou deux fois. Les élèves

doivent alors résoudre le problème sans disposer de l'énoncé.

Cet exercice est capital pour le comportement de l'élève pendant un cours, car on n'écrit pas

nécessairement l'énoncé d'un théorème qu'on va démontrer avant de le faire.

Et l'élève lui-même, face à une de ses propres conjectures, n'écrit pas le texte de cette conjecure.

De plus, il apprend l'importance de verbaliser pour le son, à visualiser aussi en schéma.

L'immense majorité des problèmes posés sont à données permanentes, mais c'est réellement

extrêmement dommageable pour l'élève réel.

Exemple en 6ème: trouver la somme des 10 premiers nombres impairs.

En 5ème : est-ce que la troncature d'une somme est la somme des troncatures.

En troisième: un cylindre et une sphère ont même rayon et la hauteur du cylindre est égale au

diamètre de la sphère.Le volume de la sphère est 1litre. Quel est le volume du cylindre ?

 

Un autre moyen d'avoir des données fugaces est de présenter une figure au tableau ou en diapos,

puis de demander aux élèves de la reproduire après sa disparition; ou encore de poser un

 problème concis à son propos.

En quatrième: on montre un triangle coupé par une sécante, et les orthocentres des 4 triangles

formés . On demande aux élèves de vérifier par une figure que les 4 points sont alignés et on

efface la figure montrée.