ABAQUES à 3 variables (axes parallèles)

TYPE f1(x)+f2(y) = f3(z) squelette

  1. 1.    F1(x)+F2(y)=F3(z) (axes parallèles) :première méthode.

 

Elles permettent de traiter les formules de la forme f1(x)+f2(y) = f3(z).

 

  • On se donne les axes et 3 fonctions ( la variable x est pour l’instant muette) : f1(x),f2(x) et f3(x) : par exemple

x^2+2, x^2+4, x^2+6.

  • On se donne deux points H1 et H2 sur l’axe des abscisses
  • On trace par ces points deux parallèles à l’axe des ordonnées.
  • On prend deux points A et B sur la première et deux points C et D sur l’autre.
  • On trace le vecteur AB et le vecteur CD que l’on appelle f1 et f2.
  • On se donne 4 nombres a, b, c et d qui seront les côtes de A, B, C et D, par exemple 3, 13, 4, 14.
  • La théorie (ici) nous dit que les origines O1, O2 et O3 des 3 graduations de f1, f2 et f3 seront alignées et vérifieront la relation :

O1O3 = m1*O1O2/(m1+m2) et donc par projection on aura, en désignant par H3 la projection de O3 :

H1H3 = m1*H1H2/(m1+m2) valable en mesure algébrique.

  • On calcule donc les modules m1 et m2 avec la macro  « module de ABab f(x) ».
  • On calcule H1H2= x(H2)-x(H1)
  • On trouve alors H1H3. On sait évidemment que

x(H3)= x(H1)+H1H3.

  • On place alors H3 qui est le point (x(H3),0).
  • On trace alors la parallèle d3 à l’axe des ordonnées par H3 : ce sera le support de f3. Il reste à trouver le vecteur EF qui représentera f3.
  • Le point E sera évidemment l’intersection de d3 avec (AC) et le point F sera le point d’intersection de d3 avec (BD).

On trace le vecteur EF.

Il reste à trouver les côtes e et f de E et F.

  • La côte e de E devra vérifier f3(e)=f1(a)+f2(c). Donc on saisit le nombre f1(a)+f2(c) et on prend son inverse par f3 en utilisant la macro : « inverse par f de a entre t et t’ » ( on se donne deux bornes de monotonie pour f3, par exemple ici 0 et 1000).On obtient e.
  • De même f est l’inverse par f3 de f1(b)+f2(d).
  • Maintenant, il n’y a plus qu’à choisir une largeur h pour les traits de graduations et un pas p pour chacune, suivant les côtes. Il peut aussi être le même, mais c’est rare en pratique.
  • Ensuite, on applique la macro « graduation de ABab f(x) » aux vecteurs AB, CD et EF.
  • On peut vérifier d’abord grossièrement en prenant 3 points alignés des 3 graduations et en calculant d’une part f1+f2 et d’autre part f3
  • On peut faire la vérification rigoureuse en prenant 3 points alignés sur les vecteurs G1, G2, G3. On calcule leurs côtes g1, g2 et g3 avec la macro « côte d’un pt M dans ABab f(x) », puis en vérifiant que f1(g1)+f2(g2) = f3(g3).

 

On fait alors une macro :

Objets finaux : les 3 vecteurs et les 3 graduations, et les nombres e et f.

Objets initiaux : les axes, a, b, c, d, h, t, t’, H1, H2, A,B,C,D f1, f2,f3.

On la nomme « squelette de f1+f2=f3 ».

Dans la pratique, on commence par avoir le squelette avec la macro et ensuite on l'habille avec les graduations adéquates.

squelette-f1-f2-f3-axes-para-1-ere-approche.jpgabaque-de-f1-f2-f3-a-graduer-concretement-1.jpg

On peut faire des vérifications. Par exemple en choisissant deux valeurs pour x et y, les placer à peu près sur les axes , tracer la droite des deux points, lire z et calculer f1(x)+f2(y) puis calculer f3(z) et vérifier qu'ils sont à peu près égaux

TYPE f1(x)+f2(y) = f3(z) abaque

 On rajoute les graduations voulues et  on peut lire approximativement

abaque-de-f1-f2-f3.jpg

On lit x, on lit y, on lit z et on vérifie en calculant f1(x)+f2(y) et f3(z): on doit obtenir une égalité approchée.

TYPE f1(x)+f2(y) = f3(z) vérification

on peut aussi vérifier avant de graduer. On prend deux points X et Y sur f1 et f2.

On calcule leur côte x et y avec la macro "côte d'un point donné M sur [ABab f(x)].

On calcule f1(x)+f2(y).

Puis on repère le point d'intersection Z de la droite (XY) avec f3. On  calcule la côte z avec la macro précédente et on calcule f3(z).

On vérifie que les deux nombres obtenus sont égaux pratiquement.

verification-f1-f2-f3-axes-paralleles.jpg

 

abaque-sin-x-sin-y-3-sin-z-luxe2-axes-paralleles.jpg

F1+F2=F3 deuxième approche

 

Cette fois-ci, on se donnera directement les 3 projections H1,H2 et H3. On ne pourra donc pas se donner le deuxième point B de f2. Il faudra le placer.

 

F1(x)+F2(y)=F3(z) : axes parallèles. Seconde méthode.

 

Dans certains cas, il est plus commode de se donner tout de suite la position relative des 3 axes.

  • On se donnera les 3 pieds des axes H1,H2 et H3 et on tracera 3 parallèles d1,d2, et d3 à l’axe des ordonnées.
  • Sur la première qui graduera F1, on prend deux points A et B avec leurs côtes a et b par exemple 2 et 12.

On calcule le module m1 avec la bonne macro.

On trace le vecteur AB

  • On choisit deux côtes c et d pour la seconde, mais on se donne seulement le point C. On va placer le second point D, mais pas n’importe comment car la donnée des 3 pieds H1,H2 et H3 contraint le module m2. On sait que H1H3= m1*H1H2/(m1+m2) et on en déduit m2 = m1H3H2/H3H1.

On calcule H3H2 = x(H2)-x(H3) et H1H2= x(H2)-x(H1) et on fait le calcul qui donne m2.

  • Ensuite on trace la demi-droite passant par C et de même sens que le vecteur AB.
  • On peut alors placer le point de côte d sur la demi-droite précédente avec la macro [d, A, module k, côte a, côte m, f(x)] appliqué au point C, côte c, module m2, côte d, F2(x). On obtient le point D.

On trace le vecteur CD.

  • On trace les droites (AC) et (BD) qui coupent d3 respectivement en E et F.
  • On trace le vecteur EF.
  • Pour trouver les côtes de E et F, on va calculer les nombres F1(a)+F2(c)=s1 et F1(b)+F2(d)=s2 et calculer l’inverse de ces  nombres par la fonction F3 en utilisant la macro « inverse de Z par f entre t et t’ ». (pour cela il faudra choisir deux bornes de monotonie pour F3, t et t’ (ici par exemple 0 et 1000).

Cette macro donne les deux côtes e et f.

 

On peut alors faire la macro du squelette avec comme finaux le vecteur EF et les  nombres e et f.

Les initiaux seront :

Axes, H1H2H3, AB C abcd tt’ F1F2F3.

On la nommera « squelette de f1+f2=f3 axes para seconde méthode »

squelette-f1-f2-f3-axes-para-deuxieme-approche-1.jpg