LIVRE MAGEN abaques à PTS ALIGNES

LES ABAQUES A POINTS ALIGNES AVEC GEOGEBRA : nouvelle approche.

Les abaques à point alignés avec geogebra

( éloge numérique de la géométrie )

  

L’idée centrale est que pour représenter une fonction f(x) sur une droite d’origine O ( origine des abscisses donc ), on va placer le nombre m au point M d’abscisse m’= k*f(m), k étant un nombre choisi astucieusement pour faire rentrer la figure sur la feuille.

Le nombre m est appelé « la côte de M ».

L’origine des côtes est un point W de côte 0.

On a donc ;

Abscisse de M :   m’= OM = k*f(m).

Il est clair que l’origine des côtes ne coïncide pas en général avec l’origine des abscisses.

Pour cela, il faudrait que f(m) = 0 .

Par exemple si f(x) = x^2, il y aura coïncidence.

Si f(x)=x-4, l’origine des côtes sera le point W d’abscisse -4k.

L’origine des abscisses est le point d’abscisse 0 et de côte 4.

Si f(x) = log(x), l’origine des côtes sera le point d’abscisse -∞ si k est positif.

L’origine des abscisses sera le point de côte 1.

 

Si f(x)=log(x-4), l’origine des abscisses , donc le point d’abscisse 0, sera le point de côte 5 .et l’origine des côtes le point d’abscisse -∞, les côtes n’étant comptées qu’à partir de 4 (exclu).

Les abscisses sont négatives quand la côte est entre 4 et 5 ( si k est positif ).

Noter que le module d’une échelle est donc le quotient de l’abscisse x’d’un point quelconque de côte x par f(x).

Echelle dérivée. Etant donnée une échelle E d’une fonction f, on appellera échelle dérivée par g de E l’échelle E’de la fonction f °g , g étant une fonction quelconque monotone.

On compose par ° à droite.

Par exemple f(ax+b) ou encore f(x²) ou encore f(log(x)) ou encore f ((ax+b)/(cx+d)).

 

Echelle transformée   Etant donnée une échelle E d’une fonction f, on appellera échelle transformée par g de E l’échelle E’ de la fonction g °f, g étant une fonction quelconque monotone.

On compose par ° à gauche.

Par exemple af(x)+b ou f(x)² ou f((ax+b)/(cx+d)).  .

 

Module .Le module a été défini comme le quotient de l’abscisse du point de côte x par f(x)

donc k= x'/f(x) = OM/f(x).  

On en déduit que k= MN/f(n)-f(m).

Par conséquent, on ne change pas le module d’une échelle en la transformant par translation

ou en ajoutant une constante à la fonction.

Et si on multiplie par t une fonction, le module de l’échelle est divisé par t.

Echelles exemples

Quelques macros commodes.

On va préparer un certain nombre d’outils commodes pour la suite.

 

Module de f abAB suivant UV.

Soit la fonction x²-9.

Soient deux bornes pour elle, a=3 et b=8.

Soit deux points témoins U et V. On cherche le vecteur unitaire du vecteur UV en saisissant vecteurUnitaire[vecteur[U,V]].On le nomme u.

On choisit un point H et on trace par H la parallèle à u. Sur cette parallèle,  on place deux points A et B.

On va chercher le module k de la graduation suivant f qui donne à A la côte a et à B la côte b.

On a par définition quelle que soit l’origine O des abscisses sur la droite :

OA=k*f(a) et OB=k*f(b) algébriquement  suivant u, donc AB = k*(f(b)-f(a)).

On en déduit k =  

Pour calculer AB algébrique suivant u, on  prend la partie réelle du quotient des deux vecteurs AB et u, donc on saisit x(vecteur[A,B]/u).

On peut alors calculer k, on le met en bleu,  et on fait une macro avec comme objet final le nombre k et comme objets initiaux f ab ABHUV et on la nomme « module de f ab ABHUV ».

 

 

Origine W de la graduation  f ab ABUV .

Soit la fonction x²-9.

Soient deux bornes pour elle, a=3 et b=8.

Soit deux points témoins U et V. On cherche le vecteur unitaire du vecteur UV en saisissant vecteurUnitaire[vecteur[U,V]].On le nomme u.

On choisit un point H et on trace par H la parallèle à u. Sur cette parallèle,  on place deux points A et B.

On commence par calculer le module k avec la macro « module de f ab ABUV ».

On choisit la côte w de W que l’on prendra telle qu’elle annule f.

C’est ce point W que nous appellerons origine de la graduation.

Ce n’est pas le point de côte 0 en général bien que ce soit souvent le cas.

Par exemple pour log(x) ce sera le point de côte 1, pour log(x-10) ce sera le point de côte 11, pour log(x-5) ce sera le point de côte 6.

On sait que quels que soit W et A on a algébriquement WA=k*(f(a)).

On a donc AW = -k*f(a)

Le vecteur AW est donc le produit –k *f(a) u .

Pour trouver l’origine W il suffit de saisir A-k*f(a)*u.

On colorie W en orange et on fait une macro avec comme objet final le point W et comme initiaux : f ab ABHUV.

On la nomme « origine de la graduation f abABHUV ».

 

 

 

Point de côte donnée dans f abm HABUV.

 On se donne deux points U et V, et un point H non aligné avec U et V.

On se donne une fonction f et deux nombres a et b.(a<b).

On trace le vecteur unitaire u du vecteur [U,V] .

On trace par H la parallèle à u sur laquelle on prend deux points A et B.

On se donne un nombre m entre a et b.

On va chercher le point de côte m dans la graduation suivant f de la droite AB sachant que A et B ont pour côtes respectives a et b.

  • On cherche le module k de la graduation, avec la bonne macro ou en calculant le nombre x(vecteurAB/u) donc ABalgébrique et en le divisant par (f(b)-f(a).
  • Ensuite on place le point A+k*(f(m)-f(a))*u : c’est le point M cherché.

On le met en couleur.

  • On fait une macro avec comme initiaux f  abm HABUV et comme final M. On la note « point de côte m dans f abm HABUV ».

 

 

Inverse (antécédent) d’un nombre par une fonction injective.

On se donne une fonction f (par exemple x²-6) et deux nombres t et t’  entre lesquels elle est injective.( par exemple 0 et 1000.

On se propose de trouver l’antécédent d’un nombre donné s, par exemple 10.

  • On saisit la fonction contante g qui a pour valeur s entre t et t’.
  • On demande l’intersection des deux fonctions f et g,(évidemment leurs graphiques) qui est un point S.
  • On demande ensuite l’abscisse de S qui est le nombre s cherché et que l’on met en couleur.
  • On fait une macro ayant pour objet final s et pour initiaux dans l’ordre f, s, t et t’. On la nomme « inverse par f de s entre t et t’ ».

 

Cote d’un point M dans f abtt’ HABUV.

On se donne deux points U et V, et un point H non aligné avec U et V.

On se donne une fonction f et deux nombres a et b.(a<b).

On trace le vecteur unitaire u du vecteur [U,V] .

On trace par H la parallèle à u sur laquelle on prend deux points A et B.

On se donne deux bornes d’injectivité pour la fonction f, par exemple t=0 et t’=1000.

On se donne un point M entre A et B.

On veut trouver la côte de M dans la graduation suivant f de AB telle que la côte de A soit a et la côte de B soit b .

  • On commence par calculer le module k de la graduation avec la bonne macro ou en divisant par (f(b)-f(a)) la mesure algébrique de AB qui est x(vecteurAB/u).
  • On calcule ensuite la mesure algébrique de AM, soit le nombre

AM= x(vecteurAM/u).

On sait que quels que soient A et M on a AM = k*(f(m)-f(a)) donc on peut calculer le nombre f(m) =  +f(a). On ne peut pas à ce stade noter f(m), mais on le nommera fm.

On pourrait aussi chercher l’origine W de la graduation et avoir fm=WM/k.

  • Ensuite, on calcule l’antécédent m du nombre fm par f entre t et t’. Pour cela, on peut utiliser la macro  « inverse par f de s entre t et t’ » .

On peut aussi chercher l’abscisse du point d’intersection de la fonction f et de la fonction constante f(m).( utiliser les commandes en saisie.).

On met m en couleur.

  • On fait alors une macro avec comme initiaux f, abtt’ HABM UV et comme finaux le nombre m trouvé. On la note « côte de M ds f abtt’ HABMUV ».

 

 

Graduation de pas p pour f entre a et b (f abph ABUV).

On se donne une fonction f par exemple x²-3 et deux bornes, par exemple 24 et 83.

On se donne deux points U et V et donc le vecteur unitaire u de UV.

On se donne un point H et par H une parallèle à u.

On se donne un pas p, par exemple 10 et une demi-largeur de trait h, par exemple 0.3.

On colle dans un texte l’expression

Séquence[ Segment[A+k*(f(i)-f(a))*u-h*n, A+k*(f(i)-f(a))*u+h*n ],i, p*ceil(a/p), p*floor(b/p), p ]

Et on la colle dans le champ de saisie.

Z graduation f abph abuv

GRADUATIONS Automatiques.

Nous aurons besoin de graduer de façon automatique certaines graduations.

Par exemple marquer les graduations de 10 en 10 sans marquer le numéro de celles de 1 en 1.

Voici quelques exercices pour s’habituer progressivement.

(On se donne avant un curseur pour n et un curseur pour k mais celui-ci n’est pas nécessaire.)

Exercices préalables .

  •   Spirale de points. On tape la commande suivante dans une feuille avec un curseur pour le nombre entier n.

Execute[Sequence["A_{"+k+"}=(1;"+k+" 2 pi/"+n+")",k,1,n]]

( commande proposée par Noël Lambert de l’équipe Geogebra).

 

Z spirale de points

  • Graduation en points à partir de l’origine O sur l’axe des x. 
  • On tape la commande: Execute[Sequence[“A_{”+k+“}=(”+k+“,0 )”,k,1,n]] 
  • Z graduation en points axe des x 2
  •  
  • Graduation uniforme en segments à partir de l’origine O ? On se donne la demi-largeur h du trait).
  • Execute[Sequence["A_{"+k+"}=Segment[("+k+",h), ("+k+",-h)]",k,1,n]]

  • Z graduation uniforme axe des x

  • Graduation fonctionnelle pour f1(x) avec le module k1.(on se donne le module k1)
  • Sur l’axe des x.  On tape la commande: Execute[Sequence["i_{"+k+"}=Segment[(k1*f1("+k+"),h), (k1*f1("+k+"),-h)]",k,1,n]]
  • Z graduation fonctionnelle de l axe des x
  • graduation fonctionnelle sur une horizontale d’ordonnée 3 à partir de l’origine sur   l’axe des y.:
  • On tape la commande : Execute[Sequence["i_{"+k+"}=Segment[(k1*f1("+k+"),3+h), (k1*f1("+k+"),3-h)]",k,1,n]]

  •  

    Z graduation fonctionnelle sur parallele

     

 

  • Graduation fonctionnelle automatique d’une droite quelconque:

 On prend le cas d’une droite quelconque comme support, en utilisant les vecteurs plutôt que les coordonnées.

 

Cas general.

Pratiquement, on opérera de la façon suivante.

On se donne la fonction f1.

On se donne la droite support XX’.

On se donne deux points U et V de la droite qui définiront le sens positif de la graduation grâce au vecteur unitaire u du vecteur UV.

On se donne les bornes A et B de la graduation sur la droite.

On se donne les côtes a et b de ces points.

On calcule la mesure algébrique AB du vecteur AB par x(vecteurAB/u).

On calcule le module k1 de la graduation par AB/(f1(b)-f1(a)).

On détermine alors l’origine W1 de la graduation par A-k1*f(a)*u.

On choisit le pas p de la graduation  et la demi-largeur h du trait de graduation.

On saisit alors la formule :

Execute[Sequence["T_{"+p*k+"}=Segment[(W1+u*k1*f1("+k*p+")+v*h), (W1+u*k1*f1("+k*p+")-v*h)]",k ,ceil(a/p),floor(b/p)]]

Et on l’applique.

Z graduation fonctionnelle dte qcq fabphabuv