GRADUATIONS FONCTIONNELLES macros élémentaires

point de côte donnée ds une graduation fonctionnelle ABab f(x)

A)   Point de côte donnée a dans une graduation fonctionnelle f(x) de module µ  (ou k) sur demi-droite(d)

On se donne une demi-droite d d’origine O, ([OP) quelconque, une fonction f(x), par exemple f(x)=x^2, et un nombre µ .

On se donne une côte z.

Le point M de côte z est le point d’abscisse µ *f(z).

On saisit donc µ *f(z), ce qui donne un nombre x’ que l’on place.

Pour le placer, on utilise la macro « point d’abscisse m sur demi-droite » créée précédemment.

 

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux O,P
  • le nombre module µ ou k
  • le nombre côte m
  • et comme objet final le point M.
  • On la dénomme « point de côte m dans [d, µ, f(x)] »

 

point-de-cote-m-ds-d-k-f-x.jpg

module de ABab f(x)

A)   Module de ABab f(x) 

 

On se donne deux points A et B et leurs côtes a et b.

On se donne la fonction f(x), par exemple f(x)= x^2+2

On trace la demi-droite [AB).

On calcule la distance AB, soit le nombre d.

On calcule le nombre d/( f(b)-f(a) ).

On obtient un nombre que l’on nomme k ou µ : c’est le module.

 

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux A, B, a, b, f(x)
  • et comme objet final le nombre k.
  • On la dénomme « module fonctionnel de ABab f(x) »

module-de-abab-f-x-1.jpg

origine fonctionnelle de ABab f(x)

B)   Origine  fonctionnelle de ABab f(x)

 

On se donne A et B et leurs côtes a et b.

On se donne la fonction f(x), par exemple f(x)= x^2+2.

On cherche l’origine W de la graduation, soit le point de côte 0.

On sait que le point A de côte a a pour abscisse k*f(a) sur la demi-droite d’origine W, donc le point W aura pour abscisse –k*f(a) sur la demi-droite [AB). On calcule donc le module k avec la macro « module de ABab f(x) », puis on saisit le nombre -k*f(a).

                     On le place alors sur la demi-droite [AB) avec la macro vue plus

                     haut «Point d’abscisse donnée sur demi-droite ».

                          On obtient le point W, origine cherchée.

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux A, B, a, b et f(x)
  • et comme objet final le point W.
  • On la dénomme « origine de ABab f(x) »

origine-fonc-abab-f-x-1.jpg

point de côte donnée m dans [ABab f(x)]

C)   Point de côte donnée dans ABab f(x)

 

On se donne deux points A et B et leurs côtes a et b et une fonction f(x) par exemple on saisit f(x)=x^2.

On se donne une côte z.

On cherche l’origine W de la graduation avec la macro précédente.

On calcule le module de [ABab, f(x)] avec la bonne macro, soit µ.

On calcule l’abscisse du point cherché qui est k*f(z), ce qui donne un nombre m.

On place alors sur la demi-droite [WB) le point d’abscisse m et on obtient le point M cherché.

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux A, B, a, b et f(x)
  • et comme objet final le point M.
  • On la dénomme « point de côte donnée dans ABab f(x) »

point-de-cote-m-ds-abab-f-x-1.jpg

inverse de a par f(x) sur un domaine,d'injectivité

Pour étudier la réciproque, nous aurons besoin d’une macro permettant de trouver l’inverse d’un nombre a par une fonction f(x).

 

D)   Inverse de a par f(x) sur un domaine d’injectivité.

 

  • On se donne une fonction f(x), par exemple x^2-2.
  • On se donne un nombre a, par exemple 3
  • La donnée de la fonction nous a donné son graphique qui nous permet de voir qu’elle est injective par exemple entre 0 et 4. On se donne donc les deux nombres t=0 et t’=4.
  • On place les points T=(t,a) et T’=(t’,a) et on trace le segment [TT’].
  • On demande au logiciel l’intersection de ce segment avec le graphique de la fonction f. On  obtient un point A et on demande son abscisse a’. C’est le nombre tel que f(a’)=a, situé entre t et t’.

 

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux a,f(x),t,t’
  • et comme objet final le nombre a’.
  • On la dénomme « Inverse de a par f(x)entre t et t’»

inverse-de-a-par-f-x-entre-t-et-t-1.jpg

côte d'un point M dans [ABab f(x) ]

E)   Côte d’un point donné dans ABab f(x)

 

  • On se donne deux points A et B et leurs côtes a et b.
  • On se donne une fonction f(x), par exemple f(x) = x^2+2.
  • On prend sur le segment [AB] un point M dont on veut déterminer la côte inconnue m
  • On se donne deux bornes d’injectivité évidentes lues sur le graphique, soit h et h’.( par exemple ici 0 et 100)
  • On calcule le module k avec la macro « module de ABab f(x) »
  • On place l’origine des abscisses, W, avec la macro « origine de ABab f(x) »
  • On détermine l’abscisse de M dans la demi-droite [WB) avec la macro « abscisse d’un point sur une demi-droite » (attention, pas la demi-droite [AB) !!) : on trouve un nombre z.
  • On sait que l’abscisse z est le produit du module par f(m), donc on calcule le nombre Z = z/k, ce qui donne f(m)
  • Ensuite on utilise la macro « inverse de a par f(x) entre h et h’ » et on trouve la côte m.

 

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux a, b,h,h’, A, B, M et f(x)
  • et comme objet final le nombre m.
  • On la dénomme « Côte d’un point M dans ABab f(x)»

cote-pt-donne-sur-abab-f-x-bornes-h-et-h.jpg

Graduation de [ABab f(x)] de pas p et de largeur de trait 2h

Nous avons tous les outils pour travailler sur ordinateur.

Il reste à préparer le travail pour les résolutions sur papier              ou ordinateur, mais avec des graduations.

 

F)   Graduation de [ABab f(x)] de pas p avec des traits de largeur h.

Il s’agit de graduer un segment donné ABab suivant une fonction injective sur [ab] des réels.( a et b étant les côtes (pas les abscisses) de A et B.

a)    On se donne deux points A et B dans le plan, et leurs côtes a et b ( par exemple 3 et 13)

b)    On se donne une fonction injective sur l’intervalle [3,13] par exemple f(x)= x^2+2

c)    On se donne une variable avec curseur h (largeur du trait) entre 0 et 1

d)    On se donne une seconde variable avec curseur (ce sera le pas). Suivant les cas il pourra être de 1, ou de 0.1 ou de 10  ou de 1000. On choisit ici entre 0 et 3 :on prendra 2.

e)    Avec la macro « module de ABab f(x) », on calcule le module que l’on nomme k.

f)     Avec la macro « origine de ABab f(x) », on place l’origine W de la graduation.

g)    Avec la macro  « vecteur unitaire de (A,B) » on trace ce vecteur unitaire u

h)    Avec la macro  « vecteur unitaire normal à (A,B) » on trace ce vecteur unitaire v

i)      Il est clair que le point courant correspondant par exemple à la côte i sera obtenu en tapant W+k*f(i)*u.

Les extrémités du trait de graduation de largeur 2h que l’on veut seront donc respectivement : W+k*f(i)*u +h*n  et W+k*f(i)*u -h*n  (puisque ce trait devra  être perpendiculaire à (AB).

On va donc saisir :

Séquence[ Segment[W+k*f(i)*u-h*n, W+k*f(i)*u+h*n ],i, a+p, b-p, p ]

puisque le pas doit être p et que l’on veut les traits entre a et b.

 

On fait alors une macro  avec :

  • comme objets initiaux a, b, h, p, A, B, et f(x)
  • et comme objet final la suite de segments ( la liste de segments).
  • On la dénomme « graduation ABab f(x) de pas p, trait 2h »

graduation-abab-f-x-de-pas-p-trait-2h.jpg

origine de | [AB),a,k, f(x)

 

 l arrivera parfois que l’on connaisse d’une graduation un point A et sa côte a, la demi-droite positive d’origine A, le module k et la fonction. On aura alors besoin de trouver l’origine de la graduation (c'est-à-dire le point W de côte 0) et de placer un point M de côte donnée m.

 

G)   Origine de [d,Aak f(x)]

 

  • On trace un point A et une demi-droite d d’origine A
  • On se donne la côte a de A, par exemple 3
  • On se donne la fonction f(x), par exemple x^2+2
  • On se donne le module k, par exemple 0.3
  • Pour trouver l’origine W, on remarque que, dans la graduation cherchée, l’abscisse de A est k*f(a) et que par conséquent l’abscisse de W dans la demi-droite [AB)

est –k*f(a). On saisit donc –k*f(a) et on le nomme w’.Avec la macro « point d’abscisse m sur demi-droite » on trouve le point W origine des côtes.

 

  • comme objets initiaux A, B pour la demi-droite, le nombre a, le module k et f(x)
  • et comme objet final la suite de segments ( la liste de segments).
  • On la dénomme « origine de d ;A ;a ;k »

origine-de-d-a-a-k-f-x.jpg

Point de côte donnée m dans {[AB),a,k, f(x)}

H) Point de côte donnée dans [d,A,a,k, f(x)]

 

  • On se donne une demi-droite [AB), la côte a de A, par exemple 3, un nombre k qui sera le module (par exemple 0.3).
  • On se donne une fonction f(x), par exemple x^2+2
  • Avec la macro précédente « origine de d ;A ;a ;k » on  place l’origine W. 
  • On calcule le nombre k*f(m)= m’ qui est l’abscisse du point cherché M.
  • On place le point d’abscisse m’  avec la macro «  point d’abscisse donnée dans demi-droite » (attention, c’est de la demi-droite [WB) qu’il s’agit)

 

On fait une macro :

  • comme objets initiaux A, B pour la demi-droite, le nombre a, le module k, le nombre m et f(x)
  • et comme objet final le point M
  • On la dénomme « point de côte m dans[ d ;A ;a ;k,f(x)] »

point-de-cote-m-ds-d-a-a-k-m-f-x-2.jpg