Abaques diamétrales (toujours aapa)

brève introduction

Abaque diamétrale.

 

Voici un autre type d’abaques à points alignés très commodes.

Un petit souvenir de géométrie sera encore le ressort de cette manipulation.

Soit un cercle de diamètre AB. Soit P un point de ce diamètre et une corde MN passant par P.

Si on désigne par α l’angle ABM et par β l’angle ABN, on a la relation :

tan α *tan β = AP / PB en mesures algébriques.

Si on prend  A comme origine sur le diamètre, en appelant x l’abscisse de A,

On aura :

tan α *tan β = x / (2R-x). (relation D)

On peut l’expliquer rapidement.

La relation des sinus dans un triangle donne pour le triangle APM, en tenant compte de l’égalité des angles inscrits

ABN et AMP :

AP/sin α = PM / sin BAM  et si on remarque que BAM est le complémentaire de β, on aura : x/sin α = PM / cos β. (1)

De même dans le triangle BPM, on a

BP/ sin BMP = PM / sin β et on aura si on remarque que BMP est égal à

BAN comme angle inscrit et est donc le complémentaire de α :

(2R-x) / cos α = PM / sin β        (2)

Et en divisant membre à membre la relation (1) par (2) :

x/(2R-x) = tan α * tan β.

 

Si donc nous graduons le diamètre à partir de A suivant une fonction f1,

on aura : x/(2R-x) = m1*f1.

Si on gradue le demi-cercle gauche suivant une fonction f2 avec un faisceau de demi-droites issues de B, donc

suivant les tangentes des angles α, et de même pour le demi-cercle de droite avec les angles β et une fonction f3,

on aura :

tan α = m2*f2 et tan β = m3*f3

d’où :

m1*f1= m2*f2*m3f3

donc si on choisit les modules de telle sorte que m1=m2*m3, on aura un abaque pour les relations du type

f1 = f2*f3.  

graduation du diamètre

Graduation du diamétre.

On trace la demi-droite [AB).

Si la côte d’un point du diamètre AB est x et son abscisse X, on a la relation :

X / (2R-X) = m1f1(x).

Il est clair que A d’abscisse 0 représente le nombre qui annule f1 (f1 étant supposée injective ou monotone sur l’intervalle d’étude).

De même B d’abscisse 2R représente l’infini.

Le point O d’abscisse R représente un nombre x tel que  R/(2R-R)=1=m1*f1(x).

On peut décider que ce nombre x sera précisément R (il faut 3 couples de nombres (x ;y) pour déterminer une

homographique).

On aura alors: m1= 1/f1(R).

On peut donc écrire :

X/(2R-X) = f1(x)/f1(R) d’où la côte en fonction de l’abscisse :

 x= f-1(X/ [m1*(2R-X]

et l’abscisse en fonction de la côte :

X = 2Rm1 / [1+m1*f1(x)]

On peut alors graduer le diamètre entre 0 et une côte maximale donnée a.

Graduation fonctionnelle projective du diamètre entre 0 et a suivant f1.

Graduation fonctionnelle projective du diamètre entre 0 et a suivant f1.

Soit un cercle de diamètre AB et de centre O.

On mesure le rayon R.

On choisit une fonction f1, par exemple x^2+2 et une côte maximale a par exemple 20.

On calcule f1(R) avec « appliquer une expression ».

On calcule avec la calculatrice le module m1 par m1 = 1 / f1(R). On le met sur l’écran.

On tape l’expression 2*R*m*z / (1+m*z) que l’on met sur l’écran.

On ouvre les axes. On les tire comme d’habitude en bas à gauche.

On place sur l’axe des x le nombre a en cliquant sur lui. On trace le segment [oa]. On place sur ce segment un point H. On demande ses coordonnées. Soit h l’abscisse.

On place sur l’écran deux nombres p et k qui seront le pas de la graduation et la largeur du trait (par

exemple 1 et 0.1).

On ouvre la calculatrice et on tape p*floor(h/p).On trouve un nombre h’.

On ouvre « appliquer une expression » et on calcule la valeur de l’expression précédente

2*R*m*z / (1+m*z) en cliquant dans l’ordre sur m, R, h’.

On obtient un nombre h’’. On place le point correspondant H’’sur la demi droite [AB).

Avec la macro « Trait de graduation sur AB de largeur k », on place un segment perpendiculaire à AB

en H’’ et de longueur k.(ou on trace avec"compas" un cercle de rayon k centré en H'';on le coupe par une perpendiculaire, ce qui donne un segment [uv]; on cache la perpendiculaire, u,v et H'').

Puis on demande le lieu de ce segment quand H varie.

(Ne pas oublier dans « options »« lieux » de décocher la case « lier les points ».

On fait la macro :

Initiaux :le cercle, A, B, la fonction f1, la côte a,  

l’expression 2*R*m*z / (1+m*z),  les axes, le pas p, la largeur k

Finaux : le lieu

Validation : graduation fonctionnelle du diamètre (par homographie)

Aide : le cercle, A, B, la fonction f1, la côte a,  

l’expression 2*R*m*z / (1+m*z),  les axes, le pas p, la largeur k

 

 


construction

diametral-graduation-diametre.jpg

diamétral :Côte d'un point du diamètre

Diamétral : Côte d’un point du diamètre


Soit un cercle de diamètre AB et de centre O.

On mesure le rayon R.

On choisit une fonction f1, par exemple x^2+2.

On se donne le module m.

On tape l’expression g(x) = x/(2*R-x).

On sait que m*f1(x) = g(X) en désignant par x la côte de M et par X son abscisse par rapport à O.

On calcule l’abscisse X de M en mesurant la distance AM.

Avec « appliquer une expression », on calcule g(X).

On divise g(X) par m, et on applique au nombre trouvé la macro « inverse de y par f monotone entre p et q ». Le nombre trouvé est la côte cherchée.

On fait la macro :

Initiaux :cercle, A, la fonction f(x), le point M, les axes, l’expression x/(2*R-x)

et deux nombres p et q bornes de monotonie de f(x).

Finaux : la côte x trouvée.

Validation : Diamétral : Côte d’un point du diamètre

Aide : cercle, A, f(x), M, les axes, l’expression x/(2*R-x) et deux nombres p et q.

 

diametral-cote-d-un-pt-ds-c-a-f-m.jpg

diamétrale: première macro élémentaire : à gauche

Point de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),m] (à gauche).

 

Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+2), un nombre m (par exemple 0.15) qui sera le module et

un nombre x qui sera la côte (par exemple 7).

On place ces éléments sur l’écran.

D’après nos besoins vus plus haut, l’angle-abscisse u devra vérifier :

tan u = m*f(x).

On calcule donc f(x) avec « appliquer une expression », m*f(x) avec la calculatrice, puis f -1(m*f(x)).

On trouve un nombre u.

On fait subir au point A la rotation de centre B et d’angle u trouvé, ce qui donne un point A’.

On trace la demi-droite [BA’) qui coupe le cercle au point M cherché.

On fait la macro :

Initiaux : le cercle, le point A, f(x), m et x

Finaux : Le point M

Aide : le cercle, le point A, f(x), m et x

 

 

 

diametral-pt-de-cote-x-ds-c-a-f-m-gauche.jpg

diamétrale:seconde macro élémentaire : à droite

Point de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),m] (à droite).

Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+2), un nombre m (par exemple 0.15) qui sera le module et

un nombre x qui sera la côte (par exemple 7).

On place ces éléments sur l’écran.

D’après nos besoins vus plus haut, l’angle-abscisse u devra vérifier :

tan u = m*f(x).

On calcule donc f(x) avec « appliquer une expression », m*f(x) avec la calculatrice, puis f -1(m*f(x)).

On trouve un nombre u. On calcule le nombre v = -u.

On fait subir au point A la rotation de centre B et d’angle v trouvé, ce qui donne un point A’’.

On trace la demi-droite [BA’’) qui coupe le cercle au point M cherché.

On fait la macro :

Initiaux : le cercle, le point A, f(x), m et x

Finaux : Le point M

Aide : le cercle, le point A, f(x), m et x

 

 

 

diametral-pt-de-cote-x-ds-c-a-f-m-droit.jpg

Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h]( gauche)

 

Dans la pratique, on ne se donne pas le module, mais le point de côte maximale.

On détermine alors le module en utilisant la relation tan u = m*f(x), d’où les deux macros :

Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h]( à gauche)

 

Soit un cercle de centre O, un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6).

Soit H sur le demi-cercle gauche loin de A et sa côte h (par exemple 25).

On calcule f(h).

Si on appelle m le module, on doit avoir tan u = m*f(h) en désignant par u l’angle inscrit ABH.

On mesure l’angle ABH (le logiciel mesure l’angle rentrant).

 On calcule la tangente du résultat que l’on divise ensuite  par f(h).C’est le module m.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H et h

Finaux : m

Validation : « module de [©, A, f(x),H, h] »

Aide : cercle, A, f(x), H et h.

 


diametral-module-c-a-f-h-h-gauche-1.jpg

Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h](à droite)

Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h](droit)

 

Soit un cercle de centre O, un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6).

Soit H sur le demi-cercle droit loin de A et sa côte h (par exemple 25).

On calcule f(h).

Si on appelle m le module, on doit avoir tan u = m*f(h) en désignant par u l’angle inscrit ABH.

On mesure l’angle ABH.

. On calcule la tangente du résultat que l’on divise ensuite  par f(h).C’est le module m.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H et h

Finaux : m

Validation :  « module de [©, A, f(x),H, h] »

Aide : cercle, A, f(x), H et h.

 

 diametral-module-c-a-f-h-h-a-droite-1.jpg

Diamétral:Côte d'un point dans [cercle, A,f(x),H,h ] à gauche

Diamétral : côte d’un point M dans [©, A, f(x), H, h ].(gauche)

Soit un cercle de centre O, un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6).

Soit H sur le demi-cercle gauche loin de A et sa côte h (par exemple 25).

Soit M un point du demi-cercle gauche dont on veut trouver la côte x.

On calcule le module m de la graduation avec la macro précédente Diamétrale :module de

[©,A,f(x),H,h](gauche).

On doit avoir : tan ABM = m* f(x).

On mesure l’angle ABM, on calcule sa tangente et on la divise par m.

On obtient ainsi f(x).

On choisit deux nombres comme bornes de monotonie de f, ici par exemple 0 et 100, et on applique la macro  « Inverse sur [pq] d’un nombre par une fonction f(x)».

On a obtenu la côte x cherchée.

On fait vite la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H, h et M, puis les axes et les deux bornes de monotonie p et q.

Finaux : le nombre x trouvé.

Validation : « Côte d’un point ds [©, A, f(x), H, h] à gauche»

Aide : cercle, A, f(x), H, h et M, puis 2 nombres p et q.

 

 

 

 

diametral-cote-d-un-pt-ds-c-a-f-m-gauche-3.jpg

Diamétral:Côte d'un point dans [cercle, A,f(x),H,h ] à droite

Diamétral:Côte d'un point dans [cercle, A,f(x),H,h ] droite

Ce sera la même qu'à gauche , car j'ai modifié les macros du module.( seul l'angle géométrique ABM intervient

maintenant: je n'avais pas tenu compte du fait que le logiciel applique les fonctions trigonométriques à des

nombres abstraits ou calculés comme s'ils étaient donnés en radians même si l'option "degrés" est sélectionnée).

Cela ne gêne pas ici car les angles inscrits sont toujours saillants)

 

 

Soit un cercle de centre O, un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6).

Soit H sur le demi-cercle gauche loin de A et sa côte h (par exemple 25).

Soit M un point du demi-cercle gauche dont on veut trouver la côte x.

On calcule le module m de la graduation avec la macro précédente Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h](droite).

On doit avoir : tan ABM = m* f(x).

On mesure l’angle ABM, on calcule sa tangente et on la divise par m.

On obtient ainsi f(x).

On choisit deux nombres comme bornes de monotonie de f, ici par exemple 0 et 100, et on applique la macro  « Inverse sur [pq] d’un nombre par une fonction f(x)».

On a obtenu la côte x cherchée.

On fait vite la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H, h et M, puis les axes et les deux bornes de monotonie p et q.

Finaux : le nombre x trouvé.

Validation : « Côte d’un point ds [©, A, f(x), H, h] à droite»

Aide : cercle, A, f(x), H, h et M, puis 2 nombres p et q.

 

 

 

 

diametral-cote-d-un-pt-ds-c-a-f-m-droite.jpg



une macro commode point de côte x dans [(C),A,f(x), H,h] gauche

Point de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),H,h] (à gauche)

Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+2), un point H du demi-cercle gauche et sa côte 300.

On veut placer le point M de côte x, par exemple 100.

On place ces éléments sur l’écran.

On calcule le module m avec la macro Diamétrale module de [©,A,f(x),H,h](gauche).

On peut alors placer le point M avec la macro vue plus haut :

Point de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),m] (à gauche)

 

On fait la macro :

Initiaux : le cercle, le point A, f(x), H, h et x

Finaux : Le point M

Aide : le cercle, le point A, f(x), H, h et x

 

 

 

et voici sa symétrique

une macro commode point de côte x dans [(C),A,f(x), H,h] droite

int de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),H,h] (à droite)


Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+2), un point H du demi-cercle droit et sa côte 300.

On veut placer le point M de côte x, par exemple 100.

On place ces éléments sur l’écran.

On calcule le module m avec la macro Diamétrale module de [©,A,f(x),H,h](droit).

On peut alors placer le point M avec la macro vue plus haut :

Point de côte diamétro-circulaire donnée dans [©, A, f(x),m] (à droite)

 

On fait la macro :

Initiaux : le cercle, le point A, f(x), H, h et x

Finaux : Le point M

Aide : le cercle, le point A, f(x), H, h et x

 

 

 

diametral-pt-cote-x-ds-c-a-f-x-h-h.jpg

diamétral:squelette de f1 = f2*f3 et vérification

Nous avons maintenant les outils pour faire le squelette de l'abaque diamétral de f1 = f2 * f3.

Squelette diamétral de f1= f2* f3


Soit un cercle de centre O, un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O. On trace la demi-droite [AB).

Soit une fonction f2(x), (par exemple x^2+6).

Soit H sur le demi-cercle gauche loin de A et sa côte h (par exemple 16), point de côte maximale.

Soit une fonction f3(x), (par exemple x^2+3).

Soit H’ sur le demi-cercle gauche loin de A et sa côte h’ (par exemple 13), point de côte maximale.

Soit une fonction f3(x), (par exemple x^2+20).Sa graduation sera portée par la demi-droite.

On calcule le module m2 de f2 avec la macro : « Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h](gauche) ».

On calcule le module m3 de f3 avec la macro : « Diamétrale :module de [©,A,f(x),H,h](droite) »

On calcule le module m1 avec la relation nécessaire m1 = m2 * m3.

On calcule la borne maximale de f1 de la façon suivante :

Avec « appliquer une expression » on calcule les nombres f2(h) et f3(h’).

On calcule le produit de ces deux nombres soit z = f2(h)*f3(h’), puis on calcule l’inverse de z par f1 avec la macro   « Inverse sur [pq] d’un nombre par une fonction f(x)». (Car f1 = f2*f3)

On obtient ainsi la côte maximale de f1, c'est-à-dire la côte h’’ du point H’’, intersection de [AB) avec le segment [HH’].

On trace alors l’arc positif AH, l’arc négatif AH’ et le vecteur AH’’.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, A, f2, H ,h ;f3, H’,h’ ; f1, les axes et deux bornes de monotonie p et q pour f1.

Finaux : les deux arcs, le vecteur et le nombre h’’.

Validation :  « Squelette diamétral de f1= f2* f3 »

Aide : cercle, A, f2, H ,h ;f3, H’,h’ ; f1, les axes et deux bornes de monotonie p et q pour f1.

 

 

 

 

 

 

 

 

squelette-diametral-f1-f2-f3-2.jpg

squelette-diametral-f1-f2-f3-verification.jpg

macros outils de graduations

Il reste a graduer pour avoir,l'abaque complète.

Voici une macro pour tracer un trait de graduation sur un cercle en un point M :

On trace la demi-droite [ΩM).

On choisit un nombre k comme largeur du trait de graduation, par exemple 0.3.

On met ce nombre sur l’écran.

Avec la commande « compas » on trace le cercle de centre M et de rayon k.

Ce cercle coupe la demi-droite en deux points U et V.

On cache la demi-droite, le cercle et le point M’ et on trace le segment UV.

On cache les points U et V.

On fait la macro :

Initiaux : Le cercle, le point M, le nombre k

Finaux : le petit segment

Validation : « trait de graduation circulaire »

 

Diamétrale : graduation de [©, A, f(x),H,h] (gauche).

Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6), un point H du demi-cercle gauche et sa côte h =16.

On se donne un nombre p (par exemple 1) qui sera le pas de la graduation et un nombre q (par

exemple 0.1) qui sera la largeur du trait.

On ouvre les axes et on place sur l’axe des abscisses le point T d’abscisse h.

On trace le segment [oH]. On place un point variable W et on demande au logiciel les coordonnées de

W. Soit w l’abscisse.

On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre w’ = p*floor(w/p).

On place alors sur le cercle le point M de côte w’ avec la macro : Point de côte diamétro-circulaire

donnée dans [©, A, f(x),H,h] (à gauche) .

Ensuite on place en M le trait de graduation avec la macro « trait de graduation circulaire ».

Puis on demande le lieu de ce segment quand W varie.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H, h, les axes, le pas p, la largeur k

Finaux : le lieu du segment (attention à ce que, comme d’habitude, dans « options, préférences,

lieu », la case « lier les points soit décochée » !!!

Validation : Diamétrale : graduation de [©, A, f(x),H,h] (gauche).

 

Aide : cercle, A, f(x), H, h, les axes, le pas p, la largeur k

 

 

 


Diamétrale : graduation de [©, A, f(x),H,h] (droite).

Soit un cercle de centre O , un point A en haut.

Soit B le symétrique de A par rapport à O.

Soit une fonction f(x), (par exemple x^2+6), un point H du demi-cercle droit et sa côte h =16.

On se donne un nombre p (par exemple 1) qui sera le pas de la graduation et un nombre q (par

exemple 0.1) qui sera la largeur du trait.

On ouvre les axes et on place sur l’axe des abscisses le point T d’abscisse h.

On trace le segment [oH]. On place un point variable W et on demande au logiciel les coordonnées de

W. Soit w l’abscisse.

On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre w’ = p*floor(w/p).

On place alors sur le cercle le point M de côte w’ avec la macro : Point de côte diamétro-circulaire

donnée dans [©, A, f(x),H,h] (à droite) .

Ensuite on place en M le trait de graduation avec la macro « trait de graduation circulaire ».

Puis on demande le lieu de ce segment quand W varie.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, A, f(x), H, h, les axes, le pas p, la largeur k

Finaux : le lieu du segment (attention à ce que, comme d’habitude, dans « options, préférences,

lieu », la case « lier les points soit décochée » !!!

Validation : Diamétrale : graduation de [©, A, f(x),H,h] (droit).

Aide : cercle, A, f(x), H, h, les axes, le pas p, la largeur k

 

 

 

La macro graduant le diamètre a été vue plus haut.

l'abaque diamétrale f1 = f2*f3

diametrale-graduation-de-f1-f2-f3-1.jpgVoilà!! on a souffert; mais comme le dit un proverbe zairois,

"Le meilleur fétiche pour une bonne récolte, c'est une calebasse de sueur"