abaques de soreau

abaque des formules du type (f1+f2)/(g1+g2)= f3

Voici un groupe d'abaques à points alignés appelées "abaques de soreau"

Elles se mettent sous la forme   (f1+f2) / (g1+g2) = f3

abaque-soreau-1.jpgLa clef est :

clef-soreau.jpg

 

On peut vérifier en faisant les calculs pour 3 points alignés


abaque-de-soreau-1-verirication-2.jpg

Nous allons faire la construction et la macro.

construction et macro

Abaque de Soreau : (F1+F2)/(G1+G2) = F3

Cette abaque est souvent utile. Elle est constituée de deux courbes graduées et d’une droite graduée.

On se donne 5 fonctions et la formule (F1+F2)/(G1+G2) = F3

par exemple (x²+y²) / (1.2x+0.5y) = z²/7.

On tape donc les expressions x^2 (F1) ; x^2 (F2) ; 1.2*x (G1) ; 0.5*x (G2) ; et

 x^2/7 (F3).

La formule s’écrit : F1+F2 = G1F3+G2F3 ou encore G1F3-F1 = F2- G2F3=T  en appelant T la

fonction valeur des deux membres, notée T(t).

On en tire : G1F3 – T = F1  et G2F3+T = F2.

Or si on se souvient de la forme de Cauchy : f1g3+f2h3 = f3, on peut écrire ces relations

ainsi :

F3*G1+T*(-1) = F1 en utilisant la fonction constante en x égale à (-1)

et F3*G2+T*(+1) = F2 en utilisant la fonction constante en y égale à (+1).

Pour être plus clair :

et F3(z)*G2(y) +T(t)*[+1](y) = F2(y).

On pourra donc représenter la première par deux droites parallèles et une courbe (la première

droite pour z, la seconde pour t, la courbe pour x).

La seconde relation sera aussi représentée par deux droites parallèles et une courbe (la

première droite pour z encore, la seconde pour t et la courbe pour y).

Comme on a la macro de Cauchy vue plus haut, on pourra monter l’abaque rapidement, sans

oublier le fait que la graduation de T n’a aucun intérêt et on pourra prendre pour fonction T

une fonction arbitraire ; on choisira l’identité, x.

On aura seulement besoin pour appliquer deux fois la macro de Cauchy, du dictionnaire

suivant (Lattention :-1 et +1 sont à taper comme des « expressions » et non pas comme des

nombres).

 Pour F3G1+T(-1) = F1                            

Pour f1

F3

x^2/7

Pour f2

T

x

Pour f3

F1

x^2

Pour g3

G1

1.2*x

Pour h3

-1

-1

2<x<11

 

 

 

 

 

Pour la seconde relation :

F3G2+T(+1) = F2

On a :

Pour f1

F3

x^2/7

Pour f2

T

x

Pour f3

F2

x^2

Pour g3

G2

0.5*x

Pour h3

+1

+1

3<y<10

 

 

 

On va donc appliquer la macro de Cauchy deux fois avec ces dictionnaires.

On se donne les axes et deux points H1 et H2 sur l’axe des abscisses.

On trace par ces points deux parallèles à l’axe des ordonnées.

Sur la première,( qui portera la graduation de z), on se donne deux points A et B et on choisit

deux nombres a et b qui seront leurs côtes.(par exemple 0.5 et 8.5).

Sur la seconde,( qui ne portera pas de graduation mais qui représentera T), on se donne deux

points A’ et B’ et on choisit deux nombres a’ et b’ qui seront leurs côtes.(par exemple 0.2 et

15).

On tape l’expression d*m*h/ ( m*h + n*g) qui donnera l’abscisse du point de la courbe et

l’expression m*n*f / (m*h + n*g) qui en donnera l’ordonnée. On laisse ces expressions sur

l’écran.

On choisit alors deux nombres p et k donnant le pas et la largeur du trait de la graduation

(par exemple 1 et 0.1).

On applique alors la macro de Cauchy pour le premier dictionnaire : on obtient la courbe

graduée de x.

On choisit deux autres nombres p’ et k’ et on applique la macro de Cauchy pour le second

dictionnaire , ce qui donne la courbe pour y.( on utilise toujours les points H1 et H2, ainsi que

les fonctions -1,+1 et la fonction F3.

On peut graduer la droite des z avec la macro « graduation de AaBb f(x),p,k ».

 

On peut faire une grosse macro donnant les courbes graduées directement :

Initiaux : axes, H1,H2, AaBb F3; A’a’B’b’ expression x ; F1,G1,-1 (attention à l’ordre) ; les

bornes de x ; p et k, puis F2,G2,+1 ,les bornes de y, enfin p’ et k’.

Et évidemment les expressions d*m*h/ ( m*h + n*g) et m*n*f / (m*h + n*g).

Finaux :le vecteur AB ; les 2 courbes lieux, les deux graduations lieux, avec les 4 points

extrêmes des courbes ( on n’a pas besoin de T)

Validation : abaque de Soreau pour (f1+f2)/(g1+g2) = f3

Aide : axes, H1,H2, AaBb F3; A’a’B’b’ expression x ; F1,G1,-1 (attention à l’ordre) ; les bornes

de x ; p et k, puis F2,G2,+1 ,les bornes de y, enfin p’ et k’.

les expressions d*m*h/ ( m*h + n*g) et m*n*f / (m*h + n*g).

 

 

Finalement, voici l'abaque:abaque-de-soreau-1-nue.jpg