abaques de cauchy

abaque de cauchy : départ

 

 

Ce sont des abaques fréquentes pour les relations du type


f1(x)*g3(z) + f2(y)*h3(z) = f3(z)

 

Encore un hommage à la géométrie !


Nous reprenons la figure du trident en l’exploitant différemment.


la notation AB ou oo' signifie ici "mesure algébrique de AB".

geometrie-pour-cauchy.jpg

Construction

« squelette de Cauchy : f1g3+f2h3= f3 »


On fait apparaitre les axes et on les tire dans le coin gauche en bas.

On choisit deux points H1 et H2 sur l’axe des x.

On trace par ces points deux parallèles à l’axe des ordonnées.

On se donne une première fonction f1, par exemple x^2+5.

On choisit deux points A et B sur la première parallèle et deux nombres a et b (par exemple 5 et 15) que l’on place à côté de ces points. On trace le vecteur AB

De même, on se donne une seconde fonction f2, par exemple x^2+4.

On choisit deux points A’ et B’ sur la seconde parallèle et deux nombres a’ et b’ (par exemple 4 et 14) que l’on place à côté de ces points. On trace le vecteur A’B’

Enfin, on se donne une troisième fonction f3 par exemple x^3+3.

On se donne enfin deux autres fonctions (qui seront des fonctions de z comme f3 ) par  g3 qui sera x+2 et h3 qui sera x+6.

La relation étudiée sera donc

(x²+5)(z+2) + (y²+4)(z+6) = z^3+3


Avec la macro «  module de [AaBb f(x)] », on calcule les modules m et n des graduations de f1 et f2.(au lieu de m1 et m2, mais cela va simplifier la macro)

On va chercher l’origine O1 de f1 avec la macro :

 « Origine géométrique échelle fonctionnelle [AaBb, f(x)] ».

De même on trouve l’origine O2 de f2.

 

La théorie nous dit que le point représentatif de z aligné avec le point représentatif de f1 et celui de f2 décrira une courbe, son abscisse étant

x = d*m*h3 / (m*h3+n*g3)

Et son ordonnée

y= m*n*f3/(m*h3+n*g3) dans un repère centimétrique  R’porté par la droite des origines géométriques O1O2 des graduations de f1 et f2 et la parallèle par O1 à l’axe des y du repère canonique R du logiciel.

Pour avoir le repère R’, on trace la demi-droite [O1O2), puis la parallèle à l’axe des y habituel par O1.

On prend un nombre de l’écran sûrement non nul, par exemple b1 placé plus haut.

On ouvre la calculatrice et on calcule b1/b1 en montrant le nombre deux fois.

On trouve évidemment 1.On place ce nombre 1 sur l’axe habituel des ordonnées. On trouve un point J. On trace le vecteur OJ, puis on place l’image J’ de O1 par la translation OJ. On trace la demi-droite O1J’.

Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre O1et de rayon 1( le 1 trouvé).Il coupe la demi-droite  [O1O2)en I1et la demi-droite [O1J’) en J1.Avec la commande « nouveaux axes, on trace le repère {O1I1J1}.

 

Puis, on se donne deux nombres qui seront les bornes de z, a’’ et b’’(par exemple 1.5 et 5.8).

On place ces deux nombres sur l’axe des x du repère initial : on obtient deux points Z1 et Z2. On trace le segment [Z1Z2]. On choisit sur ce segment un point quelconque M. On demande au logiciel les coordonnées de M. On obtient un couple (z ; 0.00). On supprime 0.00.

Avec la macro « mesure algébrique de AB sur axe », on calcule le nombre

d = algébrique de O1O2.

Avec la commande « appliquer une expression », on calcule les nombres f= f3(z), g= g3(z) et h= h3(z).

On peut alors calculer les coordonnées x et y du point représentatif de z en utilisant les deux formules vues plus haut.

Mais pour que cela soit intégrable dans une macro, on procèdera comme suit.

On tape l’expression d*m*h/ ( m*h + n*g) qui donnera l’abscisse et l’expression m*n*f / m*h + n*g) qui donnera l’ordonnée.

Ensuite on va dans la commande « appliquer une expression » et on calcule leur valeur en montrant dans l’ordre alphabétique les 5 nombres.

On place alors le point (x ;y) P correspondant au deux nombres que l’on a trouvé (on utilise pour cela la macro « point (x,y) ») .(attention, il faut montrer le nouveau repère !!!))

Ensuite, on va dans « options », on coche dans [options ; lieux, préférences] la case « lier les points » et on demande le lieu de P quand M varie.

On obtient la courbe qui supportera la graduation de z.

Reste à graduer cette courbe, par exemple de p en p ( p sera le pas de la graduation côtée ).

Pour cela, on revient au point M et à son abscisse z.

On choisit un nombre p, qui sera le pas de la graduation, par exemple 1,  que l’on place quelque part sur l’écran et un autre nombre k par exemple 0.3 qui sera la largeur du trait de graduation, placé à côté de p.

On va dans « calculatrice » et on calcule le nombre z’= p*floor(z/p) en montrant les nombres. On calcule alors, les nombres f’=f3(z’), g’=g3(z’)

et h’ = h3(z). Puis, avec les formules ayant donné les coordonnées x et y du point P, on calcule les coordonnées x’et y’ du point P’ représentant z’.

On place ensuite P’. On obtient un point voisin de P et on change la couleur.

On trace le segment PP’. Avec « compas » on trace le cercle de centre P’ et de rayon k. On trace la perpendiculaire à PP’ par P’. On cache P’ et on demande l’intersection du cercle et de la perpendiculaire. On obtient deux points et on trace le segment joignant ces deux points. On cache ces deux points (pas le segment).

On demande alors le lieu de ce segment quand M varie.

On a alors la graduation de la courbe.

On peut placer le point de côte minimum, correspondant ici à z1=a’’=1.5 en utilisant les mêmes formules : on épaissit alors le point en moyen.

Puis de même le point de côte maximum, ici z2= b’’=5.8 : on épaissit en gros.


cauchy-construction.jpg

On peut alors faire la macro :

Initiaux : AaBb f1 ; A’a’B’b’ f2 : a ‘’b’’ f3 g3 h3 (ordre alphabétique) le pas p, la largeur k et les axes et les deux expressions

d*m*h/ ( m*h + n*g) et m*n*f / m*h + n*g)

Finaux : les vecteurs AB, A’B’, la courbe, le lieu des segments ( la graduation),

les deux points extrêmes épaissis.

Validation : « squelette de Cauchy : f1g3+f2h3= f3 »

 

Aide : les axes , deux points H1 et H2 sur les abscisses, les deux parallèles à l’axe des ordonnées par ces points, AaBb f1 ; A’a’B’b’ f2 : a ‘’b’’ f3 g3 h3, nombre p, nombre k et les deux expressions : d*m*h/ ( m*h + n*g)

et m*n*f / m*h + n*g)

On a alors les deux axes et la courbe graduée et les deux échelles rectilignes.

Il ne reste plus qu'à graduer ces échelles avec la macro habituelle et à mettre à la

main quelques nombres de l'échelle courbe.



abaque à une courbe et deux droites

abaque-cauchy.jpg

application directe de la macro

 

l'application directe de la macro donne :


abaque-cauchy-apres-macro-1.jpg

métaremarque : les enfants


f1g3+f2h3= f3


voici quelques enfants de cette formule, cequi permet de voir la cohérence, mais n'est

pas toujours commode à utiliser dans la pratique.


 

Reprenons la relation :  f1g3+f2h3= f3 

 

  • Si on prend les fonctions constantes f3 = 1 et g3 = 1, on retombe sur la relation

 

f1+f2 = f3 vue plus haut.

 

  • Si on prend la fonction f3 = 0, on tombe sur la relation f1g3=-f2h3 ou

 

f1=  f2*( -h3/g3) ou f1/F3 = f2 déjà vue.