Abaques cercle-courbe f1f2f3 - (f1+f2) +f3 = 0 (aapa)

Idées

Abaques circulaires pour f1f2f3-(f1+f2)g3+h3 = 0 (cercle-courbe)

 

Voici un type d’abaque qui contient les précédentes, mais qui a ses utilisations spécifiques.

Soit deux points O et O’.On mesure OO’ et dans calculatrice on divise OO’ par lui-même : on trouve 1.000

évidemment.

On multiplie ce nombre par 90.  On trouve 90.000.On va dans « rotation » et on place l’image de O’ par la rotation de

centre O et d’angle 90.000 trouvé, ce qui donne un point O’’. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repére

OO’O’’.

L’unité du plan est donc OO’.

Soit W le milieu de [OO’].On trace le cercle de diamètre OO’.

L’équation du cercle est donc : (x-0.5)² + y² = 0.5² ou encore x²+y² -x = 0  (1).

On trace une droite (d) sécante au cercle et ne passant pas par O.

L’équation de la droite (d) est : ax+by +c = 0   (2).

Elle coupe le cercle en M’ et M’’.(point générique M).

On trace les demi-droites OM’ et OM’’ et la tangente en O’.Elles coupent cette tangente en T et T’, d’abscisse t’ et

t’’ sur cette tangente.( Ce sont les ordonnées dans le repère).

L’équation de la demi-droite générique [OM) est évidemment y = tx.  (3)

Alors (1) et (3) donnent t²x² + x² - t x = 0

donc x = 1 /(1+t²) et y = t / (1+t²) avec (3)

M' et M'' vérifient  (2) donc

a +bt + c(1+t²) = 0   ou

ct²+bt + (a+c) = 0   (4)

donc t'+t'' = -b/c  et  et   t't'' = 1+ a/c

(4) s'écrit : t² + tb/c + 1+a/c = 0

et l'équation de la droite : (a/c) *x+(b/c)*y +1 = 0

(t't''-1)x - (t'+t'') y + 1 = 0

donc la connaissance de t' et t'' donne la droite (d).

cette équation s'écrit :

t't''x -(t'+t'')y +(1-x) = 0

Soit une courbe (H) coupée en un seul point M''' par (D) de coordonnées x3 et y3 et représentant sur la courbe la

graduation Z

t't''x3 -(t'+t'') y3 +(1+x3) = 0   (5)

 

Si t' et t'' représentent deux fonctions f1 et f2 de 2 variables X et Y et M''' une fonction f3 de Z, l'alignement des 3

points traduira la relation :

f1f2f3 - (f1+f2) g3 +h3 = 0  (6)

C'est-à-dire pour 3 variables X,Y,Z la relation :

f1(X)f2(Y)f3(Z) -[f1(X)+f2(Y)] g3(Z) + h3(Z) = 0

On a t' = m1f1   et  t'' = m2f2  donc la relation  (6) s'écrit, en choisissant m1=m2 : t't''f3/m² (t'+t'')g3/m+h3 = 0   (7)

la necessaire proportionnalité de (5) et (6) donne:

       x3/(f3/m²) = -y3/(g3/m) = (1-x3)/h3 =1/(f3/m²+h3)

           (propriété classique des proportions)

                               On en déduit: x3= f3/(f3+m²h3)

                                       et            y3 = -mg3/(f3+m²h3)

                ce qui donne les équations paramétriques    

                 de la courbe (H).

 

Au lieu de graduer la tangente, on graduera le cercle par projection centrale de centre O.

 

Nous aurons donc besoin d’une macro donnant les graduations sur le cercle à partir de celles de la tangente, puis  d'une macro graduant une courbe dépendant d'un paramètre.

circulaire-courbe-figure-depart.jpg

Distance non canonique

Distance non canonique

On se donne un segment U qui sera l’unité.

On se donne un segment AB.

On mesure U en cm, ce qui donne u.

On mesure AB en cm.

Dans « calculatrice », on fait le quotient AB / u. Le nombre d obtenu est la distance AB avec l’unité U.

On fait la macro :

Initiaux : U , A, B

Finaux :le nombre d

Valider : Distance non canonique AB

 

report de mesure non canonique

Report de mesure non canonique.

On se donne une demi-droite et un segment U qui sera l’unité.

On se donne un nombre a.

On mesure U, ce qui donne u, puis dans la calculatrice on multiplie a par u.

Avec la commande « Report de mesure », on place le point situé sur la demi-droite à l’abscisse a*u.

On obtient le point A.

On fait la macro :

Initiaux : la demi-droite, U et a

Finaux : le point A.

Valider : Report de mesure non canonique.

 

 

graduation circulaire tangentielle

Graduation circulaire tangentielle

 

Soit deux points O et O’. Soit une expression f(x) positive (par exemple x^2+3)

On trace le milieu de OO’ et le cercle de diamètre OO’. Soit B un point de ce cercle et sa côte, un nombre positif b (par exemple 6) : ce sera le point de côte maximale.

On se donne aussi deux nombres : p, qui sera le pas de la graduation (1 par exemple) et k, qui sera la largeur du trait (par exemple 0.1).

On trace la perpendiculaire en O’ à OO’.

La demi-droite [OB) coupe cette perpendiculaire en B’.

On trace la demi-droite [O’B’).

Avec la macro précédente Distance non canonique AB, on mesure O’B’.

On calcule alors le quotient (mesure non canonique O’B’) / f(b) : le nombre obtenu est le module m de la graduation sur [O’B’) que nous ne traçerons pas.

On ouvre les axes canoniques (gradués en cm).

Sur l’axe des x, on place avec la commande « report de mesure » du logiciel le nombre 6.

On obtient un point B’’. On trace le segment [OB’’].

Sur ce segment on prend un point Z. On demande au logiciel ses coordonnées.

Soit z son abscisse.

On ouvre la calculatrice et, en montrant les nombres sur l’écran, on calcule le nombre  p*floor(z/p) : on obtient le nombre z’.

Avec la macro  Report de mesure non canonique, on reporte z’ sur la demi-droite [O’B’). On obtient un point M.

On trace la demi-droite [OM) : elle coupe le cercle en M’.

On va chercher la vieille macro : « trait pour graduation circulaire », on trace en M’ un trait de largeur k.

Puis on demande le lieu de ce segment quand Z varie : on obtient la graduation cherchée.

On fait alors la macro :

Initiaux : O,O’, f(x), B, b , les axes, p, k

Finaux :le lieu

Validation : graduation circulaire tangentielle.

Aide : O,O’, Cercle de diamètre OO’, B sur le cercle, b, axes ; p ; k

graduation-circul-tangentielle.jpg

macros traits extérieur et intérieur

On peut utiliser souvent des traits de graduation intérieurs ou extérieurs.

Trait de graduation intérieur .

On trace un cercle de centre O.

On se donne un nombre k (par exemple 0.2).

On se donne un point M du cercle.

On trace le segment OM.

Avec « compas », on trace le cercle de centre M et de rayon k.

Il coupe le segment en N. On cache le segment OM.

On trace le segment MN. On cache les points M et N.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, M, k

Finaux : le segment

Validation : trait intérieur

 

 

 

 trait-de-graduation-circulaire-int-et-exterieur.jpg

Trait de graduation  extérieur .

On trace un cercle de centre O.

On se donne un nombre k (par exemple 0.2).

On se donne un point M du cercle.

On trace le segment OM.

Avec « compas », on trace le cercle de centre M et de rayon k.

Il coupe le segment en N. On trace le symétrique de N par rapport à M, ce qui donne un point N’.

On trace le segment MN’. On cache N, M et N’.

On fait la macro :

Initiaux : cercle, M, k

Finaux : le segment

Validation : trait extérieur.

 

 

 

graduation circulaire tangentielle intérieure

Graduation circulaire tangrad-circ-tang-interieure.jpggentielle intérieure.

Soit deux points O et O’. Soit une expression f(x) positive (par exemple x^2+3)

On trace le milieu de OO’ et le cercle de diamètre OO’. Soit B un point de ce cercle et sa côte, un nombre positif b (par exemple 6) : ce sera le point de côte maximale.

On se donne aussi deux nombres : p, qui sera le pas de la graduation (1 par exemple) et k, qui sera la largeur du trait (par exemple 0.1).

On trace la perpendiculaire en O’ à OO’.

La demi-droite [OB) coupe cette perpendiculaire en B’.

On trace la demi-droite [O’B’).

Avec la macro précédente Distance non canonique AB, on mesure O’B’.

On calcule alors le quotient (mesure non canonique O’B’) / f(b) : le nombre obtenu est le module m de la graduation sur [O’B’) que nous ne traçerons pas.

On ouvre les axes canoniques (gradués en cm).

Sur l’axe des x, on place avec la commande « report de mesure » du logiciel le nombre 6.

On obtient un point B’’. On trace le segment [OB’’].

Sur ce segment on prend un point Z. On demande au logiciel ses coordonnées.

Soit z son abscisse.

On ouvre la calculatrice et, en montrant les nombres sur l’écran, on calcule le nombre  p*floor(z/p) : on obtient le nombre z’.

Avec la macro  Report de mesure non canonique, on reporte z’ sur la demi-droite [O’B’). On obtient un point M.

On trace la demi-droite [OM) : elle coupe le cercle en M’.

On va chercher la vieille macro : « trait intérieur pour graduation circulaire », on trace en M’ un trait de largeur k.

Puis on demande le lieu de ce segment quand Z varie : on obtient la graduation cherchée.

On fait alors la macro :

Initiaux : O,O’, f(x), B, b , les axes, p, k

Finaux :le lieu

Validation : graduation circulaire tangentielle intérieure..

Aide : O,O’, Cercle de diamètre OO’, B sur le cercle, b, axes ; p ; k


graduation circulaire tangentielle extérieure

Graduation circulaire tangentielle extérieure

Soit deux points O et O’. Soit une expression f(x) positive (par exemple x^2+3)

On trace le milieu de OO’ et le cercle de diamètre OO’. Soit B un point de ce cercle et sa côte, un nombre positif b (par exemple 6) : ce sera le point de côte maximale.

On se donne aussi deux nombres : p, qui sera le pas de la graduation (1 par exemple) et k, qui sera la largeur du trait (par exemple 0.1).

On trace la perpendiculaire en O’ à OO’.

La demi-droite [OB) coupe cette perpendiculaire en B’.

On trace la demi-droite [O’B’).

Avec la macro précédente Distance non canonique AB, on mesure O’B’.

On calcule alors le quotient (mesure non canonique O’B’) / f(b) : le nombre obtenu est le module m de la graduation sur [O’B’) que nous ne traçerons pas.

On ouvre les axes canoniques (gradués en cm).

Sur l’axe des x, on place avec la commande « report de mesure » du logiciel le nombre 6.

On obtient un point B’’. On trace le segment [OB’’].

Sur ce segment on prend un point Z. On demande au logiciel ses coordonnées.

Soit z son abscisse.

On ouvre la calculatrice et, en montrant les nombres sur l’écran, on calcule le nombre  p*floor(z/p) : on obtient le nombre z’.

Avec la macro  Report de mesure non canonique, on reporte z’ sur la demi-droite [O’B’). On obtient un point M.

On trace la demi-droite [OM) : elle coupe le cercle en M’.

On va chercher la vieille macro : « trait extérieur pour graduation circulaire », on trace en M’ un trait de largeur k.

Puis on demande le lieu de ce segment quand Z varie : on obtient la graduation cherchée.

On fait alors la macro :

Initiaux : O, O’, f(x), B, b , les axes, p, k

Finaux :le lieu

Validation : graduation circulaire tangentielle intérieure..

Aide : O,O’, Cercle de diamètre OO’, B sur le cercle, b, axes ; p ; k

grad-circ-tang-exterieure.jpg

trait de graduation pour petit segment.

Une macro commode pour les graduations de courbes:

Trait de graduation pour petit segment [AB].

On se donne deux points A et B et un nombre k qui sera la largeur du trait.

On trace le segment [AB] et la perpendiculaire au segment en B.

Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre B et de rayon k.

Il coupe la perpendiculaire en u et v.

On trace le segment [uv] et on cache la droite, le segment [AB],le cercle, les points u et v.

On fait la macro :

Initiaux : A,B,k

Finaux : le segment ]uv[.

Validation : Trait de graduation pour petit segment [AB].

+

graduation de la courbe pour circulaire tangentielle

On va maintentant apprendre à graduer la courbe.

Graduation de la courbe pour « circulaire tangentielle »

On se donne 3 fonctions f3, g3, h3 dépendant d’une même variable x.

Par exemple 1.1x+2, -0.4*x-12.5 et 2*x^2.

On se donne aussi un module m (par exemple 0.15).

On se donne aussi un pas de graduation p (par exemple 1) et une largeur de trait k (par

exemple 0.2).

On se donne deux nombres qui seront les bornes de la 3ème variable z, par exemple 2 et 20.

On se donne aussi les expressions vues plus haut , coordonnées du point générateur, en les

paramétrant pour pouvoir faire une macro :

a / ( a+m^2*c) pour l’abscisse

- m*b / (a+m^2*c) pour l’ordonnée

en sachant que : a=f3(x), b = g3(x) et c = h3(x) pour une valeur de la 3ème variable.

On ouvre les axes canoniques dont l’axe des abscisses portera le domaine de la troisième

variable z. On place 2 et 20 sur cet axe et on trace le segment [2 ;20].

On place, sur ce segment , un point Z.

On demande ses coordonnées et on supprime la seconde en gardant la première z.

On ouvre la calculatrice et on calcule nombre p*floor(z/p) ce qui donne un nombre z’.

On calcule alors les 3 nombres f3(z), g3(z) et h3(z).

On applique alors à ces 3 nombres et à m les formules vues plus haut donnant l’abscisse et

l’ordonnée du point générateur M de la courbe.

On ouvre de nouveaux axes, car c’est dans ces axes que les choses vont se passer. On dilate

les unités en montrant leur axe des abscisses, en faisant apparaître le mot »graduation et en

tirant sur lui.

On place le point sur ces axes.

On demande alors au logiciel le lieu de M quand Z varie non sans avoir au préalable coché la

case « lier les points » dans « options » « préférences » « lieux ».

On refait le même travail avec z’, ce qui donne un point M’.

On va chercher la macro « trait de graduation pour petit segment AB » et on l’applique à

MM’.

On demande au logiciel le lieu du trait quand Z varie.On obtient la graduation espérée.

On refait les mêmes calculs pour la minimale de z, ici 2, ce qui permet de placer le point

minimal de la courbe que l’on épaissit moyennement.

On refait les mêmes calculs pour la maximale de z, ici 20, ce qui permet de placer le point

maximal de la courbe que l’on épaissit beaucoup.

 

On peut faire la macro :

Initiaux : les 3 fonctions et le module ; p, k, et les deux nombres mini et maxi de z ; les

expressions a / ( a+m^2*c)  et - m*b / (a+m^2*c) ; les axes canoniques et les nouveaux

axes

Finaux :les deux lieux et les points mini et maxi.

Validation : « graduation courbe pour circulaire tangentielle »

Aide :f3,g3,h3,p,k ,mini,maxi, a / ( a+m^2*c)  et - m*b / (a+m^2*c) ,axes canoniques et

nouveaux axes

 

.circulaire-tang-graduation-de-courbe-1.jpg

module circulaire tangentiel

On sait que le module doit être le même pour les 3 variables

Voici une macro utile.

 module circulaire tangentiel

Soit deux points O et O’. Soit une expression f(x) positive (par exemple x^2+3)

On trace le milieu de OO’ et le cercle de diamètre OO’. Soit B un point de ce cercle et sa côte,

un nombre positif b (par exemple 6) : ce sera le point de côte maximale.

On trace la perpendiculaire en O’ à OO’.

La demi-droite [OB) coupe cette perpendiculaire en B’.

On trace la demi-droite [O’B’).

Avec la macro précédente Distance non canonique AB, on mesure O’B’.

On calcule alors le quotient (mesure non canonique O’B’) / f(b) : le nombre obtenu est le

module m de la graduation sur [O’B’).

Initiaux : O,O’, f(x),B, b

Finaux : m

Valider :  «module circulaire tangentiel »

 Aide : O,O’, f(x),B, b

 

f1f2f3- (f1+f2) + h3 =0

On revient à la forme f1f2f3-(f1+f2) +h3 = 0

Pour graduer la courbe, on procéde ainsi :

Squelette f1f2f3 – (f1f2)g3+h3 = 0

 

 

On se donne 5 fonctions f1, f2, f3, g3, h3

f1 dépendant d’une première variable : expression  x+1.Borne maximale :11

f2 dépendant d’une seconde variable : expression  x+2. Borne maximale :12

f3, g3, h3 dépendant d’une troisième variable : expressions  x+3 ; x^2+4 et x^3+5. Borne maximale :13.

Soit deux points O et O’. On mesure OO’ et dans calculatrice on divise OO’ par lui-même : on trouve 1.000 évidemment.

On multiplie ce nombre par 90.  On trouve 90.000.On va dans « rotation » et on place l’image de O’ par la rotation de centre O et d’angle 90.000 trouvé, ce qui donne un point O’’. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repére OO’O’’.

L’unité du plan est donc OO’.

Soit W le milieu de [OO’].On trace le cercle de diamètre OO’.

On place sur ce cercle un point B qui sera le point de côte maximale pour f1.

On se donne deux nombres p1 et k1 qui seront le pas et la largeur du trait de la graduation de f1.

On peut alors appliquer la macro : Graduation circulaire tangentielle extérieure  ce qui donne la première graduation sur le cercle.

On va alors placer le point B’ de côte maximale pour f2, ici 12.

Pour cela, on calcule le module commun m avec B et b (c’est ici 11) en utilisant la macro : «module circulaire tangentiel ».

On place alors le point B’ en calculant f(b’), en multipliant le résultat par m, en plaçant sur la tangente en O’ le point d’abscisse m*f(b’) (la demi-droite positive est vers le haut) .

On choisit deux nombres p2 et k2 et on gradue f2 avec la macro : Graduation circulaire tangentielle intérieure  .

 

On se donne aussi un pas de graduation p3 (par exemple 1) et une largeur de trait k3 (par exemple 0.2).

On se donne deux nombres qui seront les bornes de la 3ème variable z, par exemple 0 et 20.

On se donne aussi les expressions vues plus haut , coordonnées du point générateur, en les paramétrant pour pouvoir faire une macro :

a / ( a+m^2*c) pour l’abscisse

- m*b / (a+m^2*c) pour l’ordonnée

en sachant que : a=f3(x), b = g3(x) et c = h3(x) pour une valeur de la 3ème variable.

On ouvre les axes canoniques .

On applique la macro « graduation courbe pour circulaire tangentielle » .

premier jet:circ-tangentielle-grad-courbe-bis-1.jpg

abaque complète (x+1)(y²+2)(z+3)-( z²+4)(x+y²+3) + z^4+5= 0

abaque-f1f2f3-f1-f2-g3-h3-0.jpget, nue : f1f2f3 -(f1+f2)g3+h3=0

abaque-f1f2f3-f1-f2-h3-0-bis-1.jpg

côte d'un point du cercle dans

On peut vérifier sur l’ordinateur la justesse d’une construction ou d’une macro .


Pour cela, on a besoin de deux macros donnant la côte d’un point du cercle ou la côte d’un point de la courbe.

 

Côte d’un point du cercle pour circulaire tangentielle.

Soit deux points O et O’. On mesure OO’ et dans calculatrice on divise OO’ par lui-même : on

trouve 1.000 évidemment.

On multiplie ce nombre par 90.  On trouve 90.000.On va dans « rotation » et on place l’image

de O’ par la rotation de centre O et d’angle 90.000 trouvé, ce qui donne un point O’’. On va

dans « nouveaux axes » et on trace le repére OO’O’’.

L’unité du plan est donc OO’.

Soit W le milieu de [OO’].On trace le cercle de diamètre OO’.

On choisit une fonction f, par exemple x^2+3.

On suppose connu ou calculé le module m.

On choisit un point M du cercle, sur le cercle.

Ce que l’on veut trouver est la côte de M.

On trace la tangente en O’. On trace le vecteur OO''. On trace l'image de O' par la translation de vecteur OO'', ce qui donne un point O'''.

On trace la demi-droite O'O'''.

La demi-droite OM coupe la demi-droite O’O''' en M’.

On utilise la macro (ou on la fait) "abcisse d'un pt sur une demi-droite" pour calculer

l'abscisse de M' sur cette demi-droite: c'est l'abscisse canonique (en cm).

On mesure OO' en cm et on divise l'abscisse trouvée par OO': on obtient l'abscisse non canonique de M'. On divise cette abscisse par m, ce qui donne donc le nombre f(x).

On choisit deux bornes de monotonie pour f,  u et v, par exemple 0 et 100 ici.

Ensuite, avec la macro « inverse de y par f(x) entre a et b », on calcule x.

Le nombre obtenu est la côte x de M.

On fait la macro :

Initiaux : O ; O’; f(x), m ; le point M, les axes , les bornes u et v

Finaux : le nombre trouvé

Validation : Côte d’un point du cercle pour circulaire tangentielle.

Aide : O ; O’; le cercle de diamètre OO’, f(x); le point M, les axes , les nombres u et v.

cote-pt-cercle-ds-circulaire-tang.jpgbornes u et v

 

 

 

 


côte d'un point de la courbe dans "circulaire tangentielle"

Côte d’un point de la courbe dans « circulaire tangentielle »

On se donne 3 fonctions f3, g3, h3 dépendant d’une même variable x.

Par exemple 1.1x+2, -0.4*x-12.5 et 2*x^2.

On se donne aussi un module m (par exemple 0.15).( en fait, dans la pratique, m sera calculé avec f1, b et B.

On se donne aussi un pas de graduation p (par exemple 1) et une largeur de trait k (par exemple 0.2).

On se donne deux nombres qui seront les bornes de la 3ème variable z, par exemple 2 et 20.

On se donne aussi les expressions vues plus haut , coordonnées du point générateur, en les paramétrant pour pouvoir faire une macro :

a / ( a+m^2*c) pour l’abscisse

- m*b / (a+m^2*c) pour l’ordonnée

en sachant que : a=f3(x), b = g3(x) et c = h3(x) pour une valeur de la 3ème variable.

On ouvre les axes canoniques dont l’axe des abscisses portera le domaine de la troisième variable z. On place 2 et 20 sur cet axe et on trace le segment [2 ;20].

On place, sur ce segment , un point Z.

On demande ses coordonnées et on supprime la seconde en gardant la première z.

On calcule alors les 3 nombres f3(z), g3(z) et h3(z).

On applique alors à ces 3 nombres et à m les formules vues plus haut donnant l’abscisse et l’ordonnée du point générateur M de la courbe.

On ouvre de nouveaux axes, car c’est dans ces axes que les choses vont se passer. On dilate les unités en montrant leur axe des abscisses, en faisant apparaître le mot »graduation et en

tirant sur lui.

On place le point sur ces axes.

On demande alors au logiciel le lieu de M quand Z varie non sans avoir au préalable coché la case « lier les points » dans « options » « préférences » « lieux ».

On place alors un point M sur la courbe et on se propose de trouver sa côte.

Si on observe les formules qui donnent l’abscisse et l’ordonnée d’un point de la courbe, on remarque que le quotient de y par x est –m*g3/f3 .

On calcule donc y/x, on divise le résultat par m, on obtient un nombre t, on forme l’expression g/f et on utilise la macro « inverse de y par f(x) entre a et b »,pour calculer la côte qui

est l’inverse de t.(ne pas oublier de choisir deux bornes de monotonie pour l’expression g(x) / f(x) ).


point du cercle de côte donnée ds circulaire tangentielle ( O,O',f(x) m et x)

Une macro utile :

Point de côte x donnée pour cercle avec module et f(x)(circulaire tangentielle)

Soit deux points O et O’. On mesure OO’ et dans calculatrice on divise OO’ par lui-même : on

trouve 1.000 évidemment.

On multiplie ce nombre par 90.  On trouve 90.000.On va dans « rotation » et on place l’image

de O’ par la rotation de centre O et d’angle 90.000 trouvé, ce qui donne un point O’’. On va

dans « nouveaux axes » et on trace le repére OO’O’’.

L’unité du plan est donc OO’.

Soit W le milieu de [OO’].On trace le cercle de diamètre OO’.

On trace le vecteur OO’’ et on place l’image de O’ par la translation de vecteur OO’’. On

obtient un point Q. On trace la demi-droite O’Q.

On se donne une fonction f(x), par exemple x+2.

On se donne un nombre m qui sera le module, par exemple 0.444.

On se donne la côte x du point cherché et on calcule f(a).

On calcule le produit m*f(a) et on le reporte sur la demi-droite O’Q avec la macro « report de

mesure non canonique » puisque l’unité du plan est OO’.

On obtient un point M’.

On trace la demi-droite [OM’) qui coupe le cercle au point M cherché.

On fait la macro :

Initiaux :O,O’, f(x), m ,x

Finaux : le point M

Validation : Point de côte x donnée pour cercle avec module et f(x)(circulaire

tangentielle)

Aide :O,O’, le cercle de diamètre OO’, fonction, module, côte

pt-cercle-cote-x-ds-circulaire-tang-o-o-f-x-m.jpg

abaque f1f2f3+(f1+f2)g3 +h3 = 0

abaque-f1f2f3-f1-f2-g3-h3-0-1.jpg

un exemple concret

Un exemple :

Soit la formule donnant le rayon moyen d’un canal trapézoïdal à 45 degrés.

R = (bd+d²) / (b+d^0.5).

On la transforme aisément en Rb+Rd8^05-bd-d² =0

En divisant par 8^0.5, on obtient :

R(-b/8^0.5)(-1) + [R-b8^0.5] – d²/ 8^0.5 = 0

qui est bien de la forme f1f2f3 + (f1+f2)g3 +h3 = 0.

On obtient l’abaque suivante facilement.

rayon-moyen-d-un-canal.jpg

voici l'abaque nue

On peut vérifier à la main ou en utilisant les macros "côte d'un pt de la courbe ds circulaire tangentielle" et " côte d'un

pt du cercle ds circulaire tangentielle" appliquées à 3 points quelconques alignés

exemple-f1f2f3-f1-f2-g3-h3-0-1.jpgLes calculs qui conduisent à ce résultat paraissent un peu compliqués. Mais songeons à l'élève qui manipulera

l'abaque: pour lui, que du bonheur !!!

Le sage nous a dit:"un médicament qui fait hurler le malade ferait plaisir au mort !!"

3 cas particuliers intéressants

La forme f1f2f3+(f1+f2)g3+h3=0 est aussi intéressante parce qu’elle contient quelques cas particuliers fréquemment utilisés.

En effet les graduations du cercle y restant, on peut chercher à ce que la courbe soit, elle, une droite, et même

une droite particulière.

Rappelons que les coordonnées du point générateur de la courbe sont :

 

x3= f3/(f3+m²h3) et y3 = -mg3/(f3+m²h3).

ou x3= f3(z) /[f3(z)+ m²h3(z)]  et y3 = -mg3(z) /[ f3(z)+ m²h3(z)]

1)    La courbe sera l’axe des y si x =0 donc si :

x3=0 ou encore f3=0, ce qui donne la formule

(f1+f2)g3 +h3 = 0.


blason-f1-f2-g3-h3-0.jpg

2)    La courbe sera l’axe des x si y=0 donc si :

y3 = 0 donc si g3 = 0, ce qui donne la formule :

f1f2f3+h3= 0


blason-f1f2f3-h3-0.jpg

3)    La courbe sera la tangente en O’ si x=1 donc si :

f3 = f3 + m²h3 donc si h3 = 0, ce qui donne la formule :

f1f2f3 +(f1+f2)g3 = 0


blason-f1f2f3-f1-f2-g3-0.jpg