abaque f1+f2=f4+f5 alignements parallèles

principe du double alignement parallèle

 

 

« Squelette de f1+f2=f3+f4 à double alignement parallèle ».

 

Souvent l'encombrement rend délicat l'utilisation claire de l'auxiliaire f3.

 

On envoie alors H3 à l'infini.


Les points de lecture M1, M2, M3, et M3, M4, M5 ne seront plus alignés, mais 


M1M2 et M4M5 seront parallèles.


On en déduit la construction suivante.


La clef sera :


clef-align-para-f1-f2-f4-f5.jpg

 On rappelle les formules du trident :


La première


O1O3= O1O2*m1/(m1+m2)  ou  h11h3= h1h2*m1/(m1+m2)


montre que si on veut que h3 soit à l'infini, il faut que m1= -m2.


De plus, si on prend deux valeurs différentes de x1 et de x4, la clef devient


évidemment ceci:



clef-2-align-para-f1-f2-f4-f5.jpg

La similitude des triangles montre que M4M'4 / M1M'1 = h4h5/h1h2


donc, avec les côtes x1,x'1, x4 et x'4:


m4[f4(x'4)-f4(x4)]/m1[f1(x'1)-f1(x1)] = h4h5/h1h2


Or  f4(x'4)+f5(x5)= f1(x'1)+ f2(x2)


et  f4(x4) + f5(x5) = f1(x1)+f2(x2)


donc par soustraction membre à membre


f4(x'4)-f4(x4) = f1(x'1)-f1(x1)


et donc m4/m1 = h4h5/h1h2



Ainsi, connaissant m1, h4h5 et h1h2, on peut trouver m2, m4 et m5 (puisque 


h5h3 = m5*h5h4/(m4+m5), ce qui nécessite m5= -m4.

 


Si on remarque que les lignes des origines O1O2 et O4O5 doivent aussi se couper à


l'infini, donc sont parallèles, on en déduit la construction :



 

 

 

 





Construction du double alignement parallèle (méthode 1)

 

 

On se donne les axes et 4 points H1, H2, H4 et H5 sur l'axe des abscisses.

 

Avec la macro « algébrique de AB sur axe », on calcule e= H1H2 et e' = H4H5.

 

On trace 4  parallèles ( verticales par exemple) par ces 4 points: d1,d2,d4et d5.

 

Sur la première, on prend deux points A1 et B1 et on choisit deux nombres simples a1 et b1 qui seront les bornes (  par exemple 1et 11 ainsi qu'une expression pour f1, par exemple x^2 + 1.

 

On cache la droite d1 et on trace la demi-droite [A1B1), soit d'1.

 

Avec la macro « origine de AaBbf(x) » on cherche l'origine O1.

 

Avec la macro « module de AaBbf(x) »  on cherche le module m1 que l'on place quelque part sur l'écran.

 

On trace le vecteur A1B1.

 

 

 

On se donne f2(x), par exemple x^2+2 que l'on place sur l'écran, ainsi que deux nombres simples a2 et b2 (2 et 12 par exemple)

 

La théorie nous apprendra que m2 =-m1. On calcule donc ce module à la calculatrice par m2 = m1*(-1).On tire ce nombre sur l’écran.

 

On se donne un point A2 sur d2, plutôt vers le haut. On cache d2 et  on trace par A2  avec la macro «  demi-droite de même sens » la demi-droite d'2 parallèle à d'1 et de même sens que d'1.

 

On utilise la macro  « origine de [Ax), a, f(x), m » pour déterminer O2.(attention, le module est ici m2)

 

On cache la demi-droite d’2.

 

On trace la demi-droite [O2A2).

 

Sur cette demi-droite  on place B2, de côte b2 avec la macro « point de côte donnée x dans [Ox), f(x), m ».

 

On trace le vecteur A2B2.

 

On choisit un point A4 sur d4, vers le bas. On choisit une fonction f4, par exemple x^2+4, et deux nombres a4 et b4 (   par exemple 4 et 10).

 

La théorie nous dit que m4 = m1*e'/e (calculés plus haut).

 

On cache alors d4 et on trace par A4 la demi-droite d'4 de même sens que [A1B1).

 

On demande alors l'origine de { [A4), a4, f3(x) ; m4} avec la macro « origine de [Ax), a, f(x), m » : on obtient le point O4.

 

On place alors le point B4 avec la macro « point de côte donnée x dans [Ox), f(x), m ».

 

On choisit deux nombres a5 et b5 (5 et 9) et la fonction f5 que l'on met sur l'écran( par exemple x^2+5).

 

La théorie nous apprendra que l'origine O5 est telle que O1O2 est parallèle à O4O5, donc on trace la parallèle à


O1O2 par O4: elle coupe d5 en O5.

 

On cache d5 et on trace la demi-droite d’5 d’origine O5 de même sens que d’1.

 

La théorie nous apprendra que m5 = -m4. On calcule donc ce module à la calculatrice par m5 = m4*(-1).Il est de


signe contraire à celui de m4 .Ensuite on utilise la macro « point de côte donnée dans d, f(x), m » pour placer les


points A5 et B5 puisqu'on connait d'5 , f5 et m5.

 

On trace alors les vecteurs, A1B1, A2B2, A4B4 et A5B5.

 

 

 On fait alors la macro du squelette.

 

Initiaux : les axes, les points H1H2H4 et H5 , A1a1B1b1f1,  A2 a2b2 et f2, A4, a4 b4,f4, puis a5b5 et f5

 

Objet finaux: les 4 vecteurs A1B1, A2B2, A4B4 et A5B5

 

Valider: « squelette de f1+f2=f3+f4 par alignement parallèle et axes parallèles ».

 

 

Aide : les axes ; 4 points sur l'axe des x : H1 H2 H4 H5 ; 4 verticales parallèles passant


par eux ; A1 a1 B1 b1 f1 ; A2 a2 b2 f2 ; A4 a4 b4 f4 ; a5 b5 et f5.


squel-align-para-2.jpg


 

On vérifie pour 4 points:

squel-align-para-3.jpg



 

abaque f1+f2=f4+f5 alignements parallèles

 

align-para-f1-f2-f4-f5.jpg

 

 

Il est souvent plus commode de ne pas se donner les bornes de f5 pour avoir un dessin


qui entre dans la feuille. On fait la macro suivante qui donne A5, a5, B5 et b5.


La voici


« Squelette bis de f1+f2=f3+f4 à double alignement parallèle ».

 

 

On se donne les axes et 4 points H1, H2, H4 et H5 sur l'axe des abscisses.

Avec la macro « algébrique de AB sur axe », on calcule e= H1H2 et e' = H4H5.

On trace 4  parallèles (verticales par exemple) par ces 4 points: d1, d2,d4et d5.

Sur la première, on prend deux points A1 et B1 et on choisit deux nombres simples a1 et b1 qui seront les bornes (  par exemple 1et 11 ainsi qu'une expression pour f1, par exemple x^2 + 1.

On cache la droite d1 et on trace la demi-droite [A1B1), soit d'1.

Avec la macro « origine de AaBbf(x) » on cherche l'origine O1.

Avec la macro « module de AaBbf(x) »  on cherche le module m1 que l'on place quelque part sur l'écran.

On trace le vecteur A1B1.

 

On se donne f2(x), par exemple x^2+2 que l'on place sur l'écran, ainsi que deux nombres simples a2 et b2 (2 et 12 par exemple)

La théorie nous apprendra que m2 =-m1. On calcule donc ce module à la calculatrice par m2 = m1*(-1).On tire ce nombre sur l’écran.

On se donne un point A2 sur d2, plutôt vers le haut. On cache d2 et  on trace par A2  avec la macro «  demi-droite de même sens » la demi-droite d'2 parallèle à d'1 et de même sens que d'1.

On utilise la macro  « origine de [Ax), a, f(x), m » pour déterminer O2.(attention, le module est ici m2)

On cache la demi-droite d’2.

On trace la demi-droite d’origine O2 et de même sens que d’1 soit d’’2

Sur cette demi-droite  on place B2, de côte b2 avec la macro « point de côte donnée x dans [Ox), f(x), m »ou [d ;m ;f(x) ].

On trace le vecteur A2B2.

On choisit un point A4 sur d4, plutôt vers le bas. On choisit une fonction f4, par exemple x^2+4, et deux nombres a4 et b4 (   par exemple 4 et 10).

La théorie nous dit que m4 = m1*e'/e (calculés plus haut).

On cache alors d4 et on trace par A4 la demi-droite d'4 de même sens que [A1B1).

On demande alors l'origine de { [A4), a4, f3(x) ; m4} avec la macro « origine de [Ax), a, f(x), m » : on obtient le point O4.

On place alors le point B4 avec la macro « point de côte donnée x dans [Ox), f(x), m ».

On trace le vecteur A4B4.

On trace le segment A1A2, puis par A4 la parallèle à A1A2. Elle coupe la droite d5 en A5.

On doit avoir f1(a1)+f2(a2) –f4(a4) = f5(a5) d’où on tirera a5.

Donc on calcule avec « appliquer une expression » f1(a1), f2(a2) et f4(a4).

Avec la calculatrice, on calcule f1(a1)+f2(a2) –f4(a4) et on prend l’inverse par f5 du nombre trouvé, en utilisant la macro « inverse de a par f(x), f monotone »

ou « inverse de a par f(x), entre a et b » puisqu’ici f5 n’est pas monotone.

On obtient donc a5.(il faut choisir deux bornes g5et g’5 de monotonie pour f5 pour appliquer cette macro, par exemple ici 0 et 100.

De même on trace B1B2 puis par B4 la parallèle à B1B2. Celle-ci coupe d5 en un point B5.

On doit avoir f1(b1)+f2(b2) –f4(b4) = f5(b5) d’où on tirera b5.

Donc on calcule avec « appliquer une expression » f1(b1), f2(b2) et f4(b4).

Avec la calculatrice, on calcule f1(b1)+f2(b2) –f4(b4) et on prend l’inverse par f5 du nombre trouvé, en utilisant la macro « inverse de a par f(x), f monotone ».

On obtient donc b5.

On trace le vecteur A5B5.

On fait alors la macro du squelette :

On fait alors la macro du squelette.

Initiaux : les axes, les points H1H2H4 et H5 , A1a1B1b1f1,  A2 a2b2 et f2, A4, a4 b4,f4, et f5, et les bornes de monotonie g5 et g’5 si f5 n’est pas monotone.

Objet finaux: les 4 vecteurs A1B1, A2B2, A4B4 et A5B5

Valider: « squelette automatique f1+f2=f4+f5 alignement parallèle, axes parallèles ».

 

Aide : les axes ; 4 points sur l'axe des x : H1 H2 H4 H5 ; 4 verticales parallèles passant par eux ; A1 a1 B1 b1 f1 ; A2 a2 b2 f2 ; A4 a4 b4 f4 ; et f5.

 

 

.sqelf1-f2-f4-f5-bis-para.jpgpour vérifier :

 

squel-bis-align-para-verification.jpg