abaque en trident :f1(x)+f2(y) = f3(z)

Préparation du squelette et de sa macro

 

Nous commençons ici une sorte d'éloge numérique de la géométrie.


(Penser à cliquer sur les images pour les faire apparaître entièrement)

 

 

Nous voulons faire l'aapa (abaque à points alignés) des relations du type:

 

f1(x)+f2(y) = f3(z)  ( ou f1+f2=f3)

 

Etant donné un segment O1O2 et un point O3 de la droite (AB), Soit 3 droites orientées 


parallèles d'origines O1,O2 et O3.


Elles sont coupées par une droite sécante en U, V et W. Soit u, v et w les abscisses


respectives de ces points.


trident-figure-1.jpg


Une application simple du théorème de Thalès donne la relation fondamentale:

 

u O3O2 + v O1O3 = w O1O2  ( relation 1)  (voir la démonstration dans la 4ème partie du travail).


On veut que cette armature représente la relation f1+f2 = f3.


On a déjà, en appelant m1, m2 et m3 les modules des 3 repères fonctionnels:


u = m1*f1    v= m2*f2  et w = m3*f3


donc  u/m1+ v/m2 = w/m3 (relation 2)


Les coefficients des deux équations (1) et (2) en u,v,w doivent être proportionnels.


On en déduit les relations:


m1*O3O2  =  m2*O1O3 = m3*O1O2


d'où:


m2 = m1*O3O2/O1O3  et m3 = m1*O3O2/ O1O2   (relations 3)


De plus, m1/O1O3 = m2/O3O2= (m1+m2)/O1O2    (proportion et chasles)

D'où : O1O3 = m1*O1O2 / (m1+m2)  (relation 4)


De plus on a : m3*O1O2 = m2*O1O3 = m2*m1*O1O2/ (m1+m2)

 

donc par simplification :  m3 = m1*m2 / (m1+m2)    (relation 5)

 

La méthode de construction de l'abaque sera donc simple:

 

1)On ouvre les axes.On choisit 3 fonctions f1 = x^2+5, f2 = x^2+15 et f3 = 3*x+20 par

exemple

2)On choisit sur l'axe des abscisses deux points H1 et H2.

3) On trace par ces points deux parallèles à l'axe des ordonnées par exemple.

4) On choisit sur la première deux points A et B avec leurs côtes a et b , par exemple 2

et 10 . On trace le vecteur AB en bleu

5) De même sur la seconde deux points A' et B'  avec leurs côtes a' et b', par exemple 

et 11.On trace le vecteur A'B' en orange.

6) Avec la macro "origine géométrique de [AaBb f(x)]" on détermine l'origine O1

7) Puis avec la macro "origine géométrique de [AaBb f(x)] on détermine l'origine O2

8) On trace la demi-droite [O1O2).On cherche l'abscisse de O2 sur cette demi-droite

    avec la macro "abscisse d'un point sur demi-droite": on a donc le nombre O1O2

9) On calcule les modules m1 et m2 de [AaBb f1] et [A'a'B'b' f2] avec la macro " module

de [AaBb f(x)].

10) On calcule O1O3 avec la formule (4) rouge.( en montrant les nombres dans la

calculatrice)

11) On place le point O3 et on trace par O3 la parallèle d3 aux deux autres .Il reste

plus qu'à placer A" et B", bornes de f3. Elles sont à l'intersection de (AA') et de d3 pour

l'une, de (BB') et de d3 pour l'autre.

12) Reste à trouver leurs côtes. Comme on doit avoir f3(a'') = f1(a)+f2(a'), on calcule

f1(a) avec "appliquer une expression". De la même façon, on calcule f2(a').

Puis on additionne les deux nombres, en les montrant.On obtient un nombre s.

On cherche alors l'inverse de s par f3 avec la macro "inverse d'un nombre y par f(x)".On

a donc a''.

On procède de même pour avoir b'' en utilisant b et b'.On place a'' et b'' à côté de A'' et

B''.On trace le vecteur A''B'' en violet.


On a maintenant obtenu l'armature, ou le squelette de l'abaque aapa.Il ne reste plus

qu'à l'habiller avec les graduations, ce qui est facile à faire puisqu'on a la macro

"graduation de [AaBb f(x)], p, k".

Mais avant, faisons la macro qui automatisera tout ce travail et permettra de tracer

le squelette en quelques clics de souris.


Objets initiaux: les axes, les points H1 et H2, A,a,B,b,f1; A'a'B'b' f2 et f3 et deux

bornes de monotonie pour f3 (ici, -100 et 100)

Objets finaux : le vecteur AB, le vecteur A'B', le vecteur A''B'', les nombres a'' et b''

Validation : squelette de l'abaque f1+f2=f3 en trident


Aide : les axes, H1, H2 et deux parallèles, AaBbf1 A'a'B'b' f2 et f3.


squelette-trident-f1-f2-f3.jpg


Maintenant on peut vérifier que les deux façons de calculer le module du repère f3

donnent le même résultat.


On vérifie que la macro marche en reprenant les données et en faisant la dizaine de

clics de souris nécessaire (penser à la touche F1 pour faire apparaître les aides tapées

dans les macros.


On peut aussi vérifier ainsi:


On trace une droite qui coupe les 3 vecteurs en M,N,P.

On détermine les côtes x, y et z de ces 3 points avec la macro "côte d'un point donné

dans AaBb f(x)"

Ensuite on calcule f1(x),f2(y) et f3(z) avec "appliquer une expression".

On vérifie ensuite avec la calculatrice, en montrant les nombres, que

f1(x)+f2(y) = f3(z)


squelette-de-f1-f2-f3-1.jpg


Ensuite on marque les graduations et on imprime: l'abaque est prête pour répondre à

des questions variées.


La voici:


abaque-trident-f1-f2-f3.jpg




 

exemple f1*f2 =f3 ramoné au trident f1+f2 = f3

 

Voici une formule qui donne la force portante d'un électro-aimant en fonction de la


section et du champ magnétique : F = B²*S /(8*pi*981000).


Elle n'est pas sous forme d'une somme de fonction, mais on s'y ramène en prenant le


logarithme des deux membres:


2*log B+ log S = log F +log(8*pi*981000)


On a bien la forme f1+f2=f3. On suppose par exemple que B varie de 12000 gauss à


20000 gauss et que S varie de 200 à 3000 cm².


On applique la macro précédente "squelette de l'abaque f1+f2=f3 en trident ".


force-portante-electro-aimant-f1-f2-f3.jpg