abaque en trépied : 1/f1 + 1/ f2 = 1/ f3

un peu de géométrie

 

Retournons dans le sein de notre mère, la géométrie.

 

Soit un triangle OAB et une cévienne OM (segment reliant un sommet à un point du côté opposé )

. Soit u le côté OA, v le côté OB et w la cévienne.

 

Soit a l'angle BOM et b l'angle AOM.

 

On a la relation connue de géométrie élémentaire :

 

sin a / u  +  sin b / v = sin(a+b) / w.

figure et justification

 

figure-cevienne.jpg

Dans le triangle jaune OMB on a la relation des sinus:

 

sin a / MB = sin M1 / v  ou  sin a = MB sin M1/ v

 

soit en divisant par u :   sin a  / u = MB *sin M2 / uv

 

de même dans le triangle OMA , on trouvera:

sin b  / v = MA*sin M2 /  uv

en ajoutant membre à membre les deux dernières relations et en tenant compte du fait que les deux angles en M sont supplémentaires et ont donc le même sinus, on obtient :

 sin a / u + sin b / v = AB sin M1 / u v

 

or dans le triangle jaune, on a sin M1/ v = sin B / w

donc   sin a / u + sin b / v  = AB sin B / w u

or dans le grand triangle on a sin B /u = sin(a+b) / AB

donc par simplification

 

 sin a / u + sin b / v  = sin(a+b) / w  

Noter que cette relation devient la condition d’alignement de 3 points situés sur 3 axes concourants et d’abscisses u, v et w.

préparation de la construction

 

 

 

On va tenter de représenter par ce schéma la relation 1/f1+1/f2 = 1/f3.

La relation géométrique peut s’écrire :

1/(u/sin a)+ 1/(v/sin b) = 1/[w/sin(a+b)]    (1)

Si on représente f1 par une échelle fonctionnelle portée par la droite des u, f2 par une échelle fonctionnelle portée par la droite des v, f3 par une échelle fonctionnelle portée par la droite des w, on aura les relations algébriques : f1 = u/m1,  f2= v/m2 et f3 = w/m3

D’où : 1/( m1/u)+1/(m2/v) = 1/(m3/w)   (2)

L’identification cherchée suppose la proportionnalité des coefficients de u, v, w.

D’où : 

              m1/sin a = m2/ sin b = m3/ sin (a+b)

 

On voit que si on se donne d’une façon ou d’une autre les modules m1 et m2, on pourra

calculer m3 si on connaît a+b. On se donnera donc l’angle des échelles f1 et f2.

Mais on doit calculer a et b.

Pour cela, on remarque qu’il s’agit de trouver deux nombres a et b connaissant leur somme Ô et le rapport de leur sinus car sin b/sin a = m2/m1 = k.

 Sin b = k*sin a s’écrit : sin( Ô-a) = sin a

Ou sin Ô*cos a – sin a cos Ô = k  sin a  (3)

En posant classiquement tan(a/2) = t on a sin a = 2t/(1+t²) et cos a = (1-t²)/(1+t²)

Et la relation (3) devient :

(1-t²)sin Ô -2tcos Ô = 2kt

Donc :  t² sin Ô +2t(k+cos Ô) –sin Ô = 0

Le discriminant D’= (k+cos Ô)2 + sin²Ô = k²+2kcos Ô + 1.

On a donc t’= -(k+cos Ô) + (k²+2kcos Ô + 1)^0.5

Et t’’ = -(k+cos Ô) - (k²+2kcos Ô + 1)^0.5

On prendra t’.

On en déduit a = 2*arc tan t’.

 

Nous avons maintenant les outils pour monter l’abaque.

construction et macro

On se donne 2 demi-droites d’origine O d1 et d2 qui porteront les échelles de f1 et f2, l’origine géométrique des deux échelles étant aussi O. On se donne les points de côtes maximales B1 et B2 ainsi que ces côtes b1 et b2.

On calcule les modules m1 et m2par OB1/ f2(b1) et OB2/ f2(b2)  .

On se donne les côtes a1, a2, des extrémités A1 et A2. On peut alors placer ces deux points avec la macro « pt de côte donnée ds [O ; d ;m ;f(x)] » ou en notant que OA1 = m1* f(a1) et OA2 = m2* f(a2).

Il reste à placer d3.

On mesure l’angle Ô. On met ce nombre sur l’écran.

On calcule le nombre k = m2/m1. On met ce nombre sur l’écran.

On ouvre la calculatrice.

On calcule le nombre t’ = -(k+cos Ô) + (k²+2kcos Ô + 1)^0.5. On met ce nombre sur l’écran.

On calcule 2* arc tan t’avec la calculatrice. On met ce nombre sur l’écran, soit a.On calcule alors b = Ô -a.(calcul avec la calculatrice).

On va alors dans rotation et on demande l’image de d1 dans la rotation de centre O et d’angle b. Le logiciel donne d3 support de f3.

Reste à trouver deux points A3 et B3 de d3 avec leurs côtes.

Pour cela, on trace la droite B1B2 qui coupe d3 en B3.

On calcule avec « appliquer une expression » f1(b1) = b’1 et f2(b2) = b’2. On place ces nombres sur l’écran.

On doit avoir :

1/b’1+1/b’2 = 1/b’3 donc b’3= f3(b3) = b’1*b’2/(b’1+b’2).

On calcule ce nombre et ensuite on lui applique la macro « inverse de y par f(x) », ce qui donne b3.( si f3 n’est pas monotone, on choisit deux bornes de monotonie).

De même, on calcule a’3 = f3(a3) = a’1*a’2/(a’1+a’2) puis a3.

On trace les vecteurs A1B1, A2B2 et A3B3.

On a obtenu le squelette de l’abaque et on a tout ce qu’il faut pour la parer de ses graduations.

 

On peut faire la macro :

Initiaux : d1 et d2 d’origine O ; a1, B1 b1sur d1, f1 ; a2, B2 b2sur d2, f2 ; f3 (et si nécessaire les bornes choisies de monotonie pour f3) ; les axes.

Finaux : les 3 vecteurs et les nombres calculés a3 et b3. 

Validation : « squelette 1surf1+1surf2 = 1surf3 »

 

Aide : deux demi dtes d1 et d2 d’origine O ; a1, B1 b1sur d1, f1 ; a2, B2 b2sur d2, f2 ; f3 (et si nécessaire les bornes choisies de monotonie pour f3) ; les axes.

figure et vérification

il y avait une erreur: jr rectifie.

trepied-construction.jpg

ce que donne la macro

trepied-nu-1.jpg

vérification après macro

trepied-verification.jpg

abaque 1/f1+1/f2 = 1/ f3

trepied-abaque-1sf1-1sf2-1sf3.jpg

Trépied de luxe pour 1/f1+1/f2=1/f3

Autre approche du trépied.

 

Souvent la partie utile d’une ou des deux échelles est loin de l’origine commune.

Il vaut mieux faire une autre macro en se donnant tout de suite les segments utiles.

On fera la macro sur un cas facile où l’origine est accessible, mais après, le logiciel se débrouillera tout seul.

Trépied de luxe 1/f1 +1/f2 = 1/f3

 

On se donne deux segments AB et A’B’ dont les supports se coupent sur l’écran ( juste pour faire la première construction) du côté des A et A’.

On se donne les deux côtes maximales b et b’ (par exemple 12 et 14).

On se donne 3 fonctions f1, f2 et f3, par exemple x^2+2, x^2+4 et x^2+3.

On trace les droites (AB) et (A’B’) qui se coupent en un point O.

On cache ces droites et on trace les demi-droites [OB) et [OB’).

On calcule le module m1 en utilisant la macro [O,d,f(x),A,a] (ou en divisant OB par f1(b) après avoir utilisé le bouton « appliquer une expression »).

On peut alors calculer la côte a de A avec la macro « côte d’un pt donné ds [O ;d ;m ;f(x)] ».

Idem pour la côte a’ de A’.

On choisit deux nombres bornes de monotonie pour f3, u et v, par exemple ici 0 et 100.

On a alors tout le matériel pour appliquer la macro « squelette 1surf1+1surf2 = 1surf3 » :

Elle nous donne les 3 vecteurs et les deux bornes a3 et b3.

On colorie comme de coutume a en bleu comme f1 et a’ en orange comme f2.

( C’est important)

On fait alors la macro :

Initiaux : A,B,A’,B’ ; b et f1 ; b’ et f2 ; f3 ; les axes et les deux bornes de monotonie choisies.

Finaux : les vecteurs AB(bleu) A’B’ (orange) A’’B’’(mauve) ; le nombre bleu a, le nombre orange a’, et les nombres mauves donnés par la macro intermédiaire a’’ et b’’.

Valider : Trépied de luxe 1/f1 +1/f2 = 1/f3

( la macro donnera ensemble les 4 nombres a,a’,a’’ et b’’ que l’on placera grâce à leurs couleurs)

 

Aide : A,B,A’,B’ ; b et f1 ; b’ et f2 ; f3 ; les axes et les deux bornes de monotonie choisies.

AB et A’B’ se coupent du côté de A et A’.

trepied de luxe (construction)

trepied-luxe-const.jpg

trépied nu aprés macro

trepied-luxe-nu.jpg

métaremarques

  

                     

Le trépied peut permettre de traiter des abaques trés variées.


  • soit une relation du type f1(x)+f2(y) = f3(z), donc f1+f2 = f3.

Elle s'écrit 1/(1/f1)+1/(1/f2) = 1/(1/f3), donc on construit le trépied pour les

fonctions : g1 = 1/ f1, g2 = 1/f2 et g3 = 1/f3.

(on suppose que les fonctions fi ne s’annulent pas sur les intervalles     considérés)

  • Soit une relation du type f1*f2 = f3.

Si les fonctions sont positives, alors la relation s’écrit:

  log(f1)+log(f2) = log(f3)

Si les fonctions ne prennent pas la valeur 1, la relation s’écrit :   

1/(1/log(f1))+1/(1/log(f2)) = 1/(1/log(f3))

On peut monter l’abaque en trépied.