abaque circulaire de f1 + f2 = f3 + f4

Encore des souvenirs de géométrie de 4ème.

Encore des souvenirs de géométrie de 4ème.


Soit deux cercles concentriques (w) et (w’) de centre W.

Traçons une corde AB de (w) et une corde parallèle A’B’ de (w’).

Les angles orientés AWA’ et B’WB sont égaux.

Soit une demi-droite Wz qui servira au groupe des angles orientés des demi-droites

d’origine W. Elle coupe les cercles en O et O’.

Soit a,b,a’,b’ les abscisses angulaires des demi-droites passant respectivement par

A,B,A’ et B’.

On a alors la relation fondamentale :

a – a’ = b’ – b

Si les points A, B, A’ et B’ représentent les valeurs de 4 fonctions f1, f2, f3 et f4 avec

des modules m1, m2, m3 et m4, on aura :

a = m1*f1   b= m2*f2   a’ = m3*f3   b’ = m4*f4.

La relation fondamentale s’écrira

 m1*f1-m3*f3 = m4*f4-m2*f2

et si on choisit m1=m2=m3=m4

elle s’écrira : f1-f3 = f4-f2

  • ou f1+f2 = f3+f4.

Nous allons en déduire des abaques circulaires pour ce type de relation.

La clef sera :

clef-circ-pall-f1-f2-f3-f4-1.jpg


construction du squelette circulaire f1+f2 = f3 + f4

Voici une relation connue à manipuler.

une-figure-sur-pythagore.jpg

construction

 

Squelette circulaire de f1+ f2 =f3 + f4

Soit à manipuler la relation (x+1)²+(y+2)² = (z+3)²+(t+4)².

Elle est bien de la forme f1(x)+f2(y) = f3(z)+f4(t).

On trace un cercle de centre Ω et d’origine O.

On trace un second cercle de centre Ω.La demi-droite ΩO rencontre ce cercle en O’.Nous prendrons O’ comme origine du second cercle.

Les graduations de f1 et de f2 seront portées par le premier cercle (f1 à l’extérieur, f2 à l’intérieur).

De même, les graduations de f3 et f4 seront portées par le second.

Nous supposerons que les bornes des variables sont  a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4 soit par exemple :

11 et 41 pour f1 ; 12 et 32 pour f2 ; 3 et 23 pour f3 ; 14 et 34 pour f4.

On calcule f1(b1),f2(b2), f3(b3),f4(b4).On suppose que le maximum est f1(b1).

  • On se donne le point de côte b1pour f1, soit B1 .On le place assez loin sur le cercle d’origine O.

On peut alors calculer le module m1 avec la macro :  « module de [© ;O ; f(x) ;A ;a] sens (+) ».

On peut maintenant placer le point A1avec la macro  « Point de côte angulaire donnée dans [©, O, f(x) ;

m].(sens positif) ».

On trace alors l’arc positif A1B1 avec la macro « arc positif AB ».

On peut déjà tirer le point B1 pour que l’arc soit plutôt sur la gauche du cercle.

On sait que les 4 modules doivent être égaux, donc on peut placer les points A2, B2, A3, B3, A4, B4 sur les

deux cercles.

On trace alors l’arc positif A2B2 avec la macro « arc positif AB ».

On le change de couleur.

On trace alors l’arc positif A3B3 avec la macro « arc positif AB ».On le change de couleur.

On trace alors l’arc positif A4B4 avec la macro « arc positif AB ».

On le change de couleur.

  • On peut épaissir les Bi pour faire sentir le sens des arcs ( c’est commode quand il y a des fonctions négatives (soustractions))
  • On peut alors faire la macro :

Initiaux :les cercles, le point O,

 B1,b1,f1,a1,b1,f2,a2,b2,f3,a3,b3,f4,a4,b4.

Finaux : les 4 arcs

Aide : deux cercles concentriques et un point O du premier, les 8 côtes-bornes, un point B1 du premier correspondant à la plus grande côte, et les 4 fonctions f1,f2,f3 et f4, la fonction f1 correspondant à f1.

squelette-circulaire-f1-f2-f3-f4.jpg

vérification

squelette-circulaire-f1-f2-f3-f4-verification.jpg

abaque circulaire f1+f2=f3+f4

 on met les graduations

abaque-circulaire-f1-f2-f3-f4.jpg

autre exemples

 Si on permute les translations et le carré, on aura :squelette-circulaire-f1-f2-f3-f4-1.jpget l'abaque

 

abaque-circ-f1-f2-f3-f4-bis.jpg