6 variables f1+f2+f3+f4+f5 = f6

L'idée !!!

Essayons maintenant avec 6 variables.

Soit donc une équation du type f1(x)+f2(y)+f3(z)+f4(t)+f5(u) = f6(w)

donc : f1+f2+f3+f4+f5 = f6. (relation (0))

Si on pose f1+f2+f3 = g (relation (1))

on aura : g+f4+f5 = f6  (relation (2))

La relation (1) s’écrit

f1+f2 = - f3+g   (3)

et la relation (2) devient :

g + f4 = -f5+f6

On peut donc représenter la relation (0) par deux abaques bicirculaires

ayant une

variable commune g (ou fonction

commune) qu’il sera inutile de graduer.

Nous prendrons des abaques bicirculaires à alignements parallèles.

 

Squelette de f1+f2+f3+f4+f5 = f6 (alignements parallèles)

Soit 3 cercles concentriques (C1),(C2),(C3) de centre Ω et

l’origine O de (C1).

On trace la demi-droite ΩO qui coupe les autres cercles

en O’ et O’’.

On veut manipuler la formule

(x+1) + (y+2) + (z+3) + (t+4) + (u +5) = w².

( Par « manipuler la formule » j’entends par exemple

« trouver une des variables connaissant les 5 autres »).

On se donne donc les 6 fonctions : x+1 ; x+2 ; x+3 ;

x+4 ; x+5 et x^2.

On se donne leurs bornes respectives ai et bi,

sauf celles de f1.

2 et 12 pour f2 ; 2 et 13 pour f3 ; 2 et 14 pour f4 ;

5 et 15 pour f5 ;

6 et 11 pour f6. 

On va chercher le point B1 et le nombre b1 tels que :

 f1(b1)+f2(b2)+ f3(b3)+f4(b4)+ f5(b5) = f6(b6)

En supposant ici que ces fonctions prennent des valeurs

positives,

la plus grande valeur des fi(bi) est f6(b6). On place

alors le point B6 sur le petit cercle, le plus loin possible

de l’origine O’’(arc positif proche de 360 degrés).

Av ec la macro « module angulaire de [©,O,f(x),A,a] »,

on calcule le module m6 = m, qui est égal aussi aux 5 autres modules.

On peut alors placer le point B5 sur le même cercle avec la macro

« point de côte angulaire x ds [© ;O ;f(x),m] » puisque on connaît b5.

On trace le segment de droite B6B5.

On peut de même placer B4 sur le cercle intermédiaire 

d’origine O’avec la même macro (on connaît b4).

Par B4, on trace la parallèle à B6B5.Elle recoupe ce cercle en un point

« pivot » G.

On peut placer sur ce même cercle le point B3 (on connaît b3).

On trace le segment de droite GB3.

On peut de même placer B2 sur le cercle d’origine O

avec la même macro (on connaît b2).

Par B2, on trace la parallèle à GB3.Elle recoupe ce cercle en un point

qui sera B1.

Reste à trouver la côte b1. On calcule f2(b2),f3(b3),f4(b4), f5(b5) et f6(b6) ,

avec la commande « appliquer une expression »

(on met ces nombres sur l’écran).

On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre

K = f6(b6)-[ f2(b2) + f3(b3) + f4(b4) + f5(b5)].

Ce nombre est f1(b1).

Avec la macro « inverse de y par f(x) ;entre a et b »,

on peut trouver b1.

 

On recommence pour les points Ai en construisant le point A1 et

le nombre b1 tels que :

 f1(b1)+f2(b2)+ f3(b3)+f4(b4)+ f5(b5) = f6(b6)

On peut placer A6 (on a le module m et a6) sur le petit cercle

avec la macro « point de côte angulaire x ds [© ;O ;f(x),m] »

puisque on connaît a6..

On peut placer le point A5 sur le même cercle.

On trace le segment de droite A6A5.

On peut de même placer A4 sur le cercle intermédiaire  d’origine O’

avec la même macro (on connaît a4).

Par A4, on trace la parallèle à A6A5.Elle recoupe ce cercle en un point

« pivot » G’.

On peut placer sur ce même cercle le point A3 (on connaît a3).

On trace le segment de droite G’A3.

On peut de même placer A2 sur le cercle d’origine O

avec la même macro (on connaît a2).

Par B2, on trace la parallèle à G’A3.Elle recoupe ce cercle en un point A1.

Reste à trouver la côte a1. On calcule f2(a2),f3(a3),f4(a4),

f5(a5) et f6(a6) , avec la commande « appliquer une expression »

(on met ces nombres sur l’écran). On ouvre la calculatrice

et on calcule le nombre

K = f6(a6)-[ f2(a2) + f3(3) + f4(a4) + f5(a5)].

Ce nombre est f1(a1).

Avec la macro « inverse de y par f(x) ;entre a et b »,

on peut trouver a1.

On trace alors les arcs positifs A1B1, A2B2, A4B4, et A6 B6

et les arcs négatifs A3B3 et A5B5 en les mettant en couleurs,

y compris les noms des points

et en épaississant au maximum les Bi

On peut faire la macro du squelette.

Initiaux : Les 3 cercles, le point O, les 6 fonctions, les 10 nombres,

( a1 et b1 seront calculés par la macro), le point B6, les points O’ et O’’,

les deux bornes de monotonie pour f1.

Finaux : les 6 arcs ; les nombres a1 et b1

Aide : 3 cercles concentriques, le point O, les 6 fonctions, les 10 nombres ai,

( a1 et b1 seront calculés par la macro), le point B6, les points O’ et O’’,

les deux bornes de monotonie pour f1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 La clef sera ici:

clef-f1-f2-f3-f4-f5-f6-1.jpg

 

Construction du squelette

 Figure de la construction

squelette-f1-f2-f3-f4-f5-f6-1.jpgComme quoi, les sagesses africaines et antillaises ont raison quand elles enseignent :


"Avec de la patience et de la salive, on peut faire rentrer un pépin de calebasse dans le derrière d'un moustique"

Vérification

On vérifie en prenant un point M1 sur l'arc A1B1

et en construisant M1,M2,M3,G, M4, M5 et M6 en suivant la clef.

Ensuite, en utilisant 6 fois la macro "côte d'un point dans [AaBb f(x)]"

( Pour G c'est inutile), on peut vérifier pour les

points Mi que f1+f2+f3+f4+f5 est bien égal à f6.

squelette-f1-f2-f3-f4-f5-f6-verification.jpg

abaque avec les graduations

On obtient l'abaque suivante :

 

abaque-f1-f2-f3-f4-f5-f6.jpg