4 variables f1(x)+f2(y) = f4(z)+f5(t)

 

Pour traiter une relation de ce type, on la met sous la forme d'un système:


f1+f2 = A  et  f4+f5 = A , A étant une variable auxiliaire ou une fonction que l'on


n'explicitera pas .


on voit qu'alors, la relation peut être décrite par deux abaques en trident ayant une


échelle commune.


on va s'arranger pour qu'elle ait la disposition suivante :


clef-pour-alignement-concourants-f1-f2-f3-f4-2.jpg

rappel des relations du trident

 

on avait les relations du trident entre les modules et les positions des 3 axes.

m2 = m1*O3O2/O1O3  et m3 = m1*O3O2/ O1O2   (relations 3)


De plus, m1/O1O3 = m2/O3O2= (m1+m2)/O1O2    (proportion et chasles)

D'où : O1O3 = m1*O1O2 / (m1+m2)  (relation 4)


On en déduit la contruction suivante :






 

construction

 

 Squelette de f1+f2 = f3 +f4  (axes parallèles et alignements concourants)

 

On montre les axes.

On choisit sur l'axe des abscisses 5 points H, H2, H3, H4, H5 dans l'ordre et on trace par ces points cinq droites parallèles verticales.

Sur la première d1, on prend deux points A1 et B1. On prend deux nombres a2 et b1, qui seront les bornes, et la fonction f1. On cache d1 et on trace la demi-droite [A1B1).

Sur d2, on prend un point A2, plutôt vers le haut. On prend deux nombres a2 et b2 et la fonction f2.

Sur d4, on prend un point O4 vers le milieu de l'écran, deux nombres a4 et b4, et la fonction f4.

On choisit enfin deux nombres a5 et b5 et la fonction f5.

On calcule le module de (AaBb f1) avec la macro « module de [ AaBbf(x)] »:

on obtient m1.

Les relations du trident permettent d’écrire :

m1 h3h2= m2 h1h3= m3 h1h2

 

Avec la macro «  mesure algébrique de AB sur un axe», on calcule donc H3H2, H1H3 et H1H2. Avec la calculatrice, on calcule le module m2 par

 m2=  m1*H3H2/H1H3 puis m3 par m3= m1*m2/(m1+m2)

ou m3 = m1 * H3H2 / H1H2.

 

Comme H3 est commun, le rôle de H1 est joué par H5 et le rôle de H2 est joué par H4.on a donc : m5 h3h4 = m4 h5h3 = m3 h5h4

Donc on calcule aussi m5 par m5 = m3*H5H4/H3H4

puis m4 =m3*H5H4/H5H3.

On calcule f2(a2) et f2(b2) avec le bouton « appliquer une expression »

On calcule la longueur de l'échelle de f2 avec la formule

 L2 = abs[m2*(f2(b2)-f2(a2))] et on sort ce nombre.

On cache d2.

On a remarqué que m2 est négatif. On trace la demi-droite parallèle et de sens contraire à [AB) avec la bonne macro. Avec la commande « compas », on trace le cercle de centre A2 et de rayon L2.Il coupe cette demi-droite en B2.

On peut alors avec la macro «  origine de AaBb f(x) » placer l'origine O1 de AaBb f1, soit O1 et celle de A'a'B'b' f2 soit O2.

La droite O1O2 coupe d3 en un pt O3.

On a trouvé m4 négatif. On cache d4 et par O4 on trace la demi-droite parallèle

et de même sens que [AB). Comme on connaît a4 et b4, et f4, on peut placer les points A4 et B4 avec la macro «  point de côte donnée dans [d, m, f(x)] ».

La droite O3O4 coupe d5 en un point qui sera O5.

On a remarqué que m5 est positif. On cache d5 et par O5 on trace la demi-droite de même sens que [AB).

Comme on connaît a5 et b5, et f5, on peut placer les points A5 et B5 avec la macro «  point de côte donnée dans [d, m, f(x)] ».

On trace alors les vecteurs A1B1, A2B2, A4B4 et A5B5. et on a le squelette en plaçant les nombres a1 b1 a2 b2 a4 b4 a5et b5 à côté des points correspondants.

On peut faire la macro du squelette :

Initiaux : axes, H1 H2 H3 H4 H5 , A1 a1 B1 b1 f1 , A2 a2 b2 f2, O4 a4 b4 f4, a5 b5 et f5.

Finaux : les 5 vecteurs

Valider « squelette de f1+f2 = f3 + f4 axes parallèles par alignement concourants ».

 

Aide : les axes ; 5 points sur l'axe des x : H1 H2 H3 H4 H5 ; 5 verticales parallèles ; A1 a1 B1 b1 f1 ; A2 a2 b2 f2 ; O4 a4 b4 f4 ; a5 b5 et f5.

construction et vérification

sqelf1-f2-f4-f5-1.jpg

abaque complète

f1-f2-f4-f5.jpg