Week end ludique chez une cardioide

Week end ludique chez une cardioide

De temps en temps, il est bon de retrouver notre fraîcheur intellectuelle d'enfant.

On peut trouver du plaisir en cherchant des démonstrations. On peut aussi en trouver en

manipulant pour trouver des questions et "vérifier" des conjectures, d'un point de vue naïf.

C'est cette dernière voie que j'ai tenté et que je vous propose, suite à un week-end chez une dame

qui a toujours un charme incroyable et qui est toujours pleine de mystères : la cardioïde.

Un logiciel de géométrie dynamique, comme cabri, carmétal, geogebra, wingeom,....est requis.

Cette grande dame a été découverte par Korsma, rencontrée par Ozanam comme cycloide,

étudiée par bien des galants dontJérabek, Carré, Laguerre, d'Ocagne, Lemoyne,Brocard,Weill,

Zharadnik, Catalan,  Gerono, Terquem, et bien d'autres.

 

 

La cardioide comme conchoide

 

On trace un cercle de rayon a et on prend un  point R sur ce cercle.On choisit un point m sur ce

cercle. On prolonge le segment Rm d'une longueur 2a (diamètre du cercle) en avant ou en arrière.

 On obtient les points m' et m" .Le lieu de m' et m" est une cardioïde.

Le point R est le point de rebroussement,

Le centre du cercle de départ est le foyer.

Le point diamétralement opposé à R sur ce cercle est le centre de la cardioide.

Le point symétrique de R par rapport à O est le sommet de la cardioïde.

Une remarque technique: si on fait une macro, il vaut mieux prendre deux points F et R, tracer le

cercle, et prendre un point m sur le cercle, construire m', puis demander le lieu.

Ensuite demander donc comme objets initiaux F et R, mais comme objets finaux, demander le

lieu mais aussi m et m'. Cela servira pour des constructions transformant la cardioide et évitera

alors les lieux de lieux.

cardioide comme épicycloide

 

On trace un cercle de rayon a et on fait rouler sur ce cercle un cercle de même rayon. Le lieu

d'un point du second cercle est une cardioide.( On utilise l'enroulement d'un arc).

la cardioide comme podaire

 

On prend deux points O et R et on trace le cercle de centre O passant par R.

On choisit un point m sur ce cercle, on trace la tangente en m, puis on construit le projeté

 orthogonal de m sur cette tangente , ce qui donne le point m'. Le lieu de m' est une cardioïde.

la cardioide comme inverse d'une parabole

 

On cherche trace une parabole et son inverse : on obtient une cardioide si le centre d'inversion

est bien choisi.

cardioide, foyer, centre, rebroussement, sommet

 

cardioide et tangente règle-compas

 

Cette propriété permet une construction de la tangente à la règle et au compas, en utilisant une

médiatrice et une bissectrice. Une macro simple est donc possible pour avoir la tangente en m.

tangentes aux extrémités d'une corde passant par le rebroussement

 

une propriété des cordes consécutives

 

tangente et tiers

 
 

cardioide comme caustique (enveloppe de rayons réfléchis

 

On prend un point F comme centre et on trace un cercle .

On prend un  point S sur ce cercle. Un point m variable sur le cercle, on trace le symétrique de la

 droite (Sm) par rapport au rayon Fm. L'enveloppe de cette droite est une cardioide.

une relation entre les pieds de tangente et de normale

 

cardioide angle de deux tangentes

 
 

Pour terminer

 

La construction comme conchoïde donne l'équation polaire r = a(1+cos t)

Voilà quelques activités manipulatoires entre adultes consentants.

L'affectivité était au rendez-vous.

 

 

 

 

 

Je remercie mon hôtesse:

 

 

Chéri, mais où est le liquide vaisselle?

(éloge de la cardioïde )

 

La canicule t'a épluchée

toute entière.

Quelle belle apode tu fais!

Mais quelle belle idée

aussi

d'avoir mis les détergents sous l'évier.

Ta quête obstinée de l'utile

me jette ainsi au visage

la splendide cardioïde.

Dieu, qu'il est beau, sous cet évier,

le cas particulier

du limaçon de Pascal!!!