un travail algébrique sur un cercle

geométrisation et algèbre

Je veux faire travailler les élèves sur l'équation ax+b= 0

Je me propose de le faire avec la technique classique du corps : addition de l'opposé de b aux deux membres , puis multiplication par l'inverse de a quand il existe.

Bien sûr, je sais que ceci n'est qu'un deuxième temps, car cette méthode est un marteau-pilon pour casser une noisette, et j'ai bien avant fait travailler les élèves en interprétant cette équation comme la recherche d'un x dont l'image par un  opérateur multiplicatif( une homothétie de R), suivi d'un opérateur additif(une translation de R) est 0.

Les élèves savent donc déjà qu'il suffit d'utiliser les opérateurs inverses et trouvent mentalement le nombre -b/a. C'est la meilleure méthode, et de loin.

Mais je veux aller plus loin, pour préparer aux équations avec l'inconnue dans les deux membres et aussi avec paramètre, pour la discussion.

Comme je suis confronté à des élèves réels, j'ai besoin de me remettre un peu dans leur situation en traitant moi-même,( seul à priori) une situation moins canonique pour moi, mais similaire.

C'est la vieille technique auto-pédagogique de la prise de recul, ou d'autodéconditionnement de l'enseignant.

Je vous propose un exemple que j'avais trouvé il y a une quinzaine d'année, dans une revue d'une irem, de l'est de la France, de reims ( peut-être l'iremois ?)

Je vous recommande ce type de bain de jouvence utile pour suivre les réactions de ses élèves, b

bien qu'il ne soit pas envisageable d'y confronter les élèves, bien qu'il me soit arrivé de le faire, avec quelques précautions, mais les macros des logiciels de géométrie dynamique.

Addition

 

Addition de deux points.

  • On considère les points d'un cercle.On choisit un point e de ce cercle.Le point diamétralement

opposé à e est noté t . On trace (te). On trace la tangente en t au cercle, notée T

  • Soit a et b deux points du cercle. La droite (ab) coupe la droite T en un point p. La droite

(pe) recoupe le cercle en un point qui sera noté a+b.

  • Vérifier que a+b  = b+a pour tout a et b.
  • Vérifier que (a+b)+c = a+ (b+c)
  • Vérifier que a+e =e , donc que e est neutre: on le note 0.
  • Tracer le symétrique de a par rapport au diamètre (et). On le note (-a).
  • Vérifier que a+(-a) = 0
  • Faire une macro donnant le symétrique (-a) avec comme objets initiaux le cercle et e et comme objet final (-a).
  • Résoudre alors une équation pour a et b donnés sur le cercle: x+a = b

 

 

la multiplication

 

On prend un cercle de centre o et un  point e sur ce cercle, puis le diamètre pasant par e.Puis un point fixe aussi u. Ce point sera le point unité donc u=1.

On prend deux points quelconques a et b du cercle.

On appellera produit des deux points a et b le point a*b obtenu ainsi/

On trace la droite (ab); elle coupe le diamètre (oe) en un point s, et la droite (us) recoupe le cercle en un point : c'est ce point qui sera a*b ou ab.

faire une macro avec comme objets initiaux le cercle, e, et u, puis les point a et b.

Vérifier que ab = ba

Vérifier que (ab)c = a(bc)

Vérifier que u est neutre donc que au = a quel que soit a.

On rappelle que e=o.

 

Refaire une figure avec le cercle , e et u, puis un point a.

La tangente en u au cercle recoupe le diamètre (oe) en p.

la droite (ap) recoupe le cercle en un point que l'on appelle 1/a.

Vérifier que a* (1/a) = 1

Résoudre les équations a*x = b pour a et b donnés.

En acceptant une règle de priorité de * sur l'addition, résoudre l'équation :

ax+b = c pour a, b et c donnés.

Vérifier que le point solution convient bien en remplaçant.

 

 

 

équation ax+b = c

 

On résoud de la même manière l'équation ax+b = c

 

Qestion 1 : est-ce que la multiplication est distributive sur l'addition ?

Qestion 2 : est-ce que le zéro, c'est à dire e est absorbant pour la multiplication : 0a= 0 ?

loi externe sur un cercle

 

On prend le cercle de centre O, le point E=0 en haut, le point quelconque U=1sur le cercle.On trace le diamètre passant par E, qui donne le point V symétrique de E par rapport à O.

On trace la tangente au cercle en E.

La droite (VU) rencontre cette tangente en un point W qui sera le point unité de la tangente, le point 0 de cette tangente étant E( lequel est donc le 0 du cercle et de la tangente).

On choisit point quelconque A du cercle et un nombre k quelconque. On place le point K d'abscisse k.

La droite (VA) rencontre l'axe tangent en un point

A' dont l'abscisse est a. On calcule ak et on place le point A" d'abscisse ak. La droite (VA") recoupe le cercle en un point qui sera par définition le point kA.

Examiner

  • si le 1 du cercle est le 1 de cette loi
  • si on a l'associativité mixte h(kA) = (hk)A
  • si on a la  distributivitéscalaire (k+h)A = kA+hA 
  •  la distributivité vectorielle k(A+B) = kA+kB

 

un travail algébrique sur une conique

 Pour garder une saine humilité, tenter un travail analoque sur une conique (parabole, ellipse, hyperbole).