Penser à côté ( éloge de l'imprudence)

Quelques apéritifs pédagogiques

 

"Dans le règne de la pensée, l'imprudence est une méthode" (Bachelard)

 

Malgré tout un arsenal de « garde-fous » , de techniques pédagogiques, de recettes personnelles liées à notre expérience , nous sommes toujours surpris par

les réactions des élèves face à de nouveaux concepts .

On sait qu’il est impossible de tout prévoir face à une classe réelle et des élèves réels.

 

L’obstacle principal est toujours dans la difficulté que nous avons , si nous réfléchissons en toute humilité , à nous débarrasser de toute l’intuition que nous avons du concept que nous avons à enseigner.

 

J’ai personnellement souvent utilisé une technique de « déconditionnement » à usage personnel avant de préparer une semaine de « cours ».Elle s’inspire de la recommandation de RIEMANN : « penser à côté.... ».

 

Je vais en donner quelques exemples , à titre de pistes .

 

L’existence d’outils aussi magiques que cabri 2, geogebra, carmétal ect... donne plus de force à cette approche par la facilité qu’ils procurent pour manipuler de façon rapide , et donc intuitive , des objets qui était trop lourds à manipuler avec le papier-crayon ou la raison seule.

 

Les publications anciennes de l’apmep ou des irem , ou des utilisateurs de CABRI , ainsi que les manuels de math de l’enseignement supérieur peuvent constituer les précieux liquides de nos apéritifs pédagogiques. Evidemment il n’est pas forcément question  ici de faire faire , ou même de parler de ces activités aux élèves concernés.(en tout cas, ce débat n’est pas envisagé ici).( encore que .....!)

 

Mais il s’agit d’exercices pour moi (le « maître) ,désireux de me retrouver dans la situation psychologique et cognitive de naïveté qui sera dans quelques heures celle de mes chers bambins.

Frissons garantis !! 

 

TCHIN-TCHIN !!!!

 

DISTANCES

EXEMPLE 1( je me suis inspiré ici d’un génial article d’Henri Bareil dans un texte pour l'apmep des années 70)

 

Je dois introduire la semaine prochaine en 4ème   , ou en seconde , la notion de distance à une

 

droite .

 

Distance de deux points :connue. ! !

 

Je vais évidemment définir la distance d’un point A à une droite (d) comme la distance minimum

 

de A à un point M de (d). (toute autre approche , rentable peut-être sur le moment serait

 

culturellement dommageable et dangereuse à long terme ).

Je me déconditionne en pensant ( ou en me souvenant que la distance d’un point M à un ensemble

 

de points E est le minimum de la distance de M aux divers point de E).

 

Et je vais jusqu’au bout.


distance-point-ensemble.jpg

Distance d’un point à un cercle :

 

Distance d’un point à un cercle 


distance-point-cercle.jpg

Distance d’un point à un segment.


Distance point-segment


Il y évidemment trois cas à envisager suivant que M est, ou non, dans la bande orthogonale au segment et passant par les extrémités du segment


distance-point-segment-1.jpg

Autres distances



Distance d'un point à une demi-droite



distance-point-demi-droite-1.jpg












Au cas ou nous manquerions d’humilité, définissons et précisons la distance d’un point A à une ellipse :

un graphique peut nous guider dans Cabri. !

Je vous laisse ce plaisir.

Si vous voulez aller vite, allez voir

C'est peut être payer un peu cher pour la distance d'un point à un cercle en 4ème mais nous serons devenus assez humbles pour comprendre les difficultés de certains élèves.



 On peut aussi passer à l’espace.



 

Taxi distance

On peut aussi penser à la taxi-distance , nombre entier comptant le nombre minimum de trajets

 

horizontaux-verticaux pour aller de A à B., ici 6.(A et B étant des points de la grille)

 

On pourrait développer , examiner dans chaque cas s’il s’agit ou non de distances au sens strict : ce n’est pas l’objet de ce travail.

« CERCLES » (ou KERKLES)

 

Je dois introduire la notion de cercle.

·        Cercle de centre un point O  donné et de rayon 3cm :connu. ! C’est la famille de tous les points du plan situés à une distance de O de 3cm.

 

·        Cercle ayant pour centre une droite donnée (d) et pour rayon 3cm.


En appliquant la « définition » du cercle , on trouve deux droites parallèles.

On peut avec CABRI faire une macro qui nous servira plus tard.

(objets initiaux : la droite et le nombre   , objets finaux : les deux parallèles)


kercle-avec-droite-comme-centre.jpg

Je décide que cette généralisation de ce qu'est un cercle sera baptisée KERCLE : un cercle sera donc un kercle dont le centre est un point!!!!

Cercle ayant pour centre un cercle donné.

 

·        Soit un cercle (c) .Construire le cercle de centre (c) et de rayon 2cm.

 

Attention , il y a deux cercles , mais l’un peut être vide !


kercle-ayant-pour-centre-un-cercle.jpg



kercle-ayant-pour-centre-un-cercle-bis.jpg

Cercle ayant pour centre un segment donné

 

Tracer le cercle de centre [AB] et de rayon 2cm


kercle-ayant-pour-centre-un-segment.jpg

cercle ayant pour centre un triangle donné

 

-On pourrait ainsi définir un cercle de 2cm ayant pour centre un triangle donné , ou un polygone donné


kercle-ayant-pour-centre-un-triangle.jpg

automatiser pour aller plus loin

 

Dans chacun des cas , il sera utile pour la suite de faire une macro donnant le « kerkle » correspondant.

Dans un premier temps , on obtiendra le « kerkle » comme lieu , grâce à l’astuce suivante : 

·        on trace une demi-droite horizontale dans un coin

·        on choisit un point variable m sur cette demi-droite

·        on mesure om

·        le nombre om sera le rayon (ou suivant le cas la distance) et la variation du point m assurrera la variation de rayon cherchée :

·        On fera une macro qui donnera immédiatement le lieu .Nous appellerons ce type de macro « macro naïve » .

 

 

Malheureusement , pour utiliser ce lieu  dans d’autres questions , on est coincé par exemple parce que dans  « cabri » , un lieu n’est pas un objet pour des intersections par exemple, en tout cas pas commodément.

C’est pourquoi une petite analyse du lieu est nécessaire.

-         Il sera décomposé en réunion d’objets simples de « cabri » : segments , droite , demi-droite , cercle , arc, conique.

-         Ensuite on construit ce lieu avec ces éléments

-         On fait une nouvelle macro ,qui sera utilisable pour d’éventuelles intersections : par exemple les médi-hatrices s’obtiennent à partir de l’intersection de deux « kerkles »

 

MEDI-HATRICE.

 

Je veux introduire la notion de médiatrice de deux points (4ème ou seconde).Pour deux points , la

 

bonne définition est : « la famille de points situés à la même distance de A et B »

 

Délirons !

 

Médi-hatrice de deux droites. On peut commencer à chercher les points situés à x cm des deux droites , puis chercher le lieu de ces points.

 

(Dans CABRI , on peut se donner x en de donnant un point m sur une demi-droite [oz) auxiliaire placée en haut de l’écran , mesurer Om , utiliser la macro qui donne le kerkle centré sur chaque droite et de rayon om , prendre les points communs aux deux kerkles et demander le lieu de ces points)

 

On obtient les bissectrices classiques qui sont la médi-hatrice.des 2 droites


J'ai choisi le mot "médi-hatrice parce qu'il est parlant.

Une médiatrice est donc une médi-hatrice concernant deux points et la médiatrice de deux ensemble est donc l'ensemble des points équidistants de ces deux ensembles.


medi-hatrice-de-deux-droites.jpg


 

Médiatrice d’une droite (d) et d’un point A

 

En utilisant toujours un rayon variable om (segment) et les kerkles de centre A (rayon om) , puis de centre (d) (rayon om) , et avec la commande « lieu », on obtient la médi-hatrice qui est une parabole.


medihatrice-d-un-point-et-d-une-droite.jpg

Médi-hatrice de deux segments [AB] et [CD].

 

Médi-hatrice de deux segments [AB] et [CD]. il y a des morceaux de parabole et de droites. 

Médi-hatrice de deux cercles

 

Je vous laisse le plaisir de naviguer dans ces eaux incertaines.

CUBE EN DIMENSION 4

 

Je dois introduire le cube  ou le pavé en 6ème ou en 5ème.Chacun sait que un bon quart des élèves se trompe au début quand il s’agit

 

de dénombrer les sommets , les faces , les arêtes.

 

Je ne  peux pas me remettre « dans leur état » sans grande difficulté , à cause de ma trop grande fréquentation des cubes. Voici un joli challenge :

 

Quel est le nombre de sommet , d’arêtes , de faces , d’un cube d'un espace de dimension 4, par exemple l'espace temps.

c’est à dire en dimension 4. ?

 



descendons les dimensions

 

L’heuristique la plus naturelle (c’est le cas de le dire ) peut consister à se dire :

-         un cube en dimension 2 est un carré .

-         puis en dimension 1 , un cube est un segment

-         puis en dimension 0 , un cube est un point.

Partons de la dimension 1 , par exemple .

 Un segment :    2 sommets , 1 arête , 0 face (s ?: joli question pour un grammairien) donc (s;a;f) = (2;1;0)

Comment passer du segment au carré ? Nous remontons les dimensions .

o       Il faut ajouter une deuxième dimension , disons un « vecteur » non colinéaire.

o       Ensuite une translation perpendiculaire bien choisie me donnera mon carré.

o       Sommets :2anciens + 2 nouveaux   donc 4 sommets

o       Arêtes :l’ancienne , l’image , et les 2 correspondant à ma translation donc 4 arêtes

o       Faces :1seule :elle émerge du néant.

donc (s;a;f) = (4;4;1)


.

du plan à l'espace

Passons à l'espace en partant du carré avec une direction perpendiculaire au plan du carré ( hors du plan donc).

  Il me faut une troisième dimension :support de translation qui engendre le cube à partir du carré.

  • on ajoute une 3ème dimension , un vecteur hors du plan
  • une translation du carré suivant ce vecteur me donnera le cube de R3
  • sommets : les 4 de départ puis les 4 de l'arrivée, soit 8 sommets
  • arètes: les 4 de départ, les 4 de l'arrivée, les 4 qui sont traces des 4 sommets par la translation, donc 12 arêtes
  • faces: la face de départ, la face d'arrivée et les 4 faces trace des 4 arêtes de départ, donc 6 faces
  • donc (s:a:f) = (8;12;6)

de l'espace à l'espace temps

 

Passons à la quatrième dimension : on ajoute un 4ème vecteur de base , donc une translation .

 

En l’appliquant au cube,

·        Sommets : 8 de départ et leurs images, donc 16 sommets

 

·        Arêtes : 12 de départ, leurs images par la translation, donc 12 de plus, puis les arêtes engendrées par trace de chaque sommet, soit 8, donc au total 32 arêtes.

 

·       Faces : 6 de départ, puis leurs images par la translation, soit 6 de plus, puis les faces engendrées par les traces des arêtes du cube, donc 12 de plus, soit 24 faces

 

·        Hyperfaces . Enfin il y a les hyperfaces, qui sont des solides de l’espace : 1 cube de départ, 1 cube d’arrivée par la translation, puis les solides engendrés par les traces dans la translation des faces du cube de départ , donc 6 de plus, soit au total 8 solides hyperfaces.

 donc (s;a;f) = (16; 32; 8)

On obtient la représentation plane de la représentation spatiale du cube de R4: comparer avec l'arche de la défense munie de parois de verre supplémentaires.





 

 

.

 

représentation plane de la représentation spatiale d'un cube de l'espace temps

 

cube-de-r4-1.jpg

bon retour sur terre

 

 

 

1.     Maintenant , je vous propose de répondre vous même aux questions posées , en précisant que les faces ont toujours une dimension 2

 ( les variétés de dimensions 4-1 , c’est à dire 3 seront des hyperfaces.)

2.     Combien y-a-t-il d’hyperfaces ?

3.     Tenter de généraliser à un cube d'un espace à n dimensions

avec de bonnes récurrences.

 

Pensons à Raymond QUENEAU , mathématicien , poète et écrivain :

 

« Pourquoi on lui dirait tout au lecteur ? Il finit par se vexer d’être si méprisamment traité , le lecteur !! ».

 

Il y a tout à gagner à inventer ces exercices de vertiges. Et je peux dire par expérience que les élèves de lycée, et même de collèges, 

ne sont pas insensibles aux charmes de ces voyages

de ces fermentations de fruits mathématiques mûris.