A quoi ça sert de démontrer ? la dimension heuristique de la démonstration

 

 

LA DIMENSION HEURISTIQUE DE LA DEMONSTRATION

 

Ce texte est celui d'une brochure que j'avais écrite avec Jean Bichara, chercheur bien connu de l'irem de guadeloupe, en particulier pour ses travaux sur l'image des mathématiques ou sa création des émissions de maths dans divers médias.

Il débouche tout naturellement sur le concept de "rumination d'un problème" que je développerai ailleurs.

 

 

 

Un problème classique

 

 

Voici un problème connu .

On donne un disque de rayon 2R , deux diamètres perpendiculaires, et les 4 cercles tangents entre eux et de rayon R construits comme la figure l’indique. Démontrer que l’aire rouge est  égale à l’aire verte.

 

Démonstration classique:

 

S rouge = p(2R)² - S jaune = 4p R² - S jaune

S verte = pR² + pR²+pR²+pR² - S jaune

            = 4 pR² - S jaune donc

Aire rouge = Aire verte

 

 

 

Rôle de S jaune: c’est l’opérateur invisible en psychanalyse , c’est le moteur du travail.

 La discussion :

 

_Mr Heu! Ristique: ” A-t-on eu vraiment besoin de toutes les hypothèses? ”

_  !!!!….?

_ Par exemple , a-t-on eu besoin de “tangents” ? C’est à dire a—on utilisé dans la démonstration le fait que les 4 cercles étaient tangents ?

_ Non

 

_ On n’a même pas eu besoin d’une disposition particulière des disques!

On peut imaginer un petit tour de magie: un disque de plexiglass rouge , et 4 anneaux de rayon moitié . On jette les anneaux n’importe comment et on se demande si l’aire rouge  non comprise dans les anneaux est égale à l’aire contenue dans les anneaux , mais pas rouge .Réponse “oui” .

 

_Mr Heu! Ristique : “Est-ce que le fait que les 4 petits disques aient la même aire a  été utilisé?”

_Non .Seul le fait que les disques aient une aire totale égale à celle du grand a eu quelque utilité .

 
 

 

__Mr Heu! Ristique “Et le fait que les petits disques coupent le grand ? S’il y en avait un entièrement en dehors ?

_”Pa ni pwoblèm”

 

 

 

_Mr Heu! Ristique “ Est-ce que le nombre de disques a une importance ?

_Non , tant que la condition d’aire totale reste vérifiée?

 

_Mr Heu! Ristique “Et si , au lieu des disques , on avait des carrés ?

_ Cela ce changerait rien .

 

 

“des patates ?”

 

 

 

 

 

_ Non plus , pourvu en conclusion

1)     que les petits soient deux à deux disjoints

2)     que la somme de leurs aires soit égale à celle du grand.

Notons que ces deux hypothèses ne figuraient pas explicitement dans l’énoncé

( honneur au “non dit de l’impensé”!

 

 

déjà on fait le point

 

On voit poindre donc deux nouveaux  rôles pour la démonstration :

1)     Elle me permet , si je l’interroge , de trouver de nouveaux résultats, non prévus initialement.

2)     Elle joue un rôle libérateur pour mon imagination : elle contrôle à postériori évidemment mon laisser–aller ( cela , on le savait déjà, elle assure la vérité de sa conjecture ) mais surtout elle guide à priori de façon efficace , mon rêve et ma créativité, pour trouver d’autres conjecturesque la sienne

Ainsi , à un double titre , la démonstration est la condition de ma liberté de penser.

Celui qui ne sait pas démontrer ne peut pas être libre.

 

La prise de conscience par l’élève de cette dimension est importante , parce que quand on lui demance de “démontrer” , le résultat est souvent si extérieur à lui que tout ce passe comme si des forces obscures , mystérieuses , venant d’un autre univers , s’adressaient à lui.

Et si par un heureux hasard pédagogique , il s’est approprié le résultat, le même effet se produit parce qu’on lui dit qu’il ne “voit” pas , alors qu’il voit.

 

Ainsi tout se passe comme si l’èlève é tait en proie à 3 personnages :

-Le devin , qui fonctionne excusivement “à l’intuition”

-         le soucougnan , qui exige de démontrer , et qui démontre

-         Mr Heu! Ristique , celui qui interroge l’au delà de sa procédure de démonstration.

 

un autre exemple

 

 

Essayons un autre exemple.

Soit deux carrés posés l’un sur l’autre, ABCD et DEFG, disposés comme l’indique la

figure.Leurs côtés sont a et b .On peut imaginer deux carrés de carton comme image physique.

 Que dire de (AF) et (BG) ?

 

Soit I le point d’intersection de [DE) et (BG)

et soit J le point d’intersection de (AF) et [DE)

 

 

                            

 

 

De même :

 

 

 

 

 

 

 

 

On en déduit que DI=DJ d’où I=J ici.

Les deux segments extrêmes se coupent donc sur la ligne de contact des carrés.

 

 

 

On en déduit que DI=DJ d’où I=J ici.

Les deux segments extrêmes se coupent donc sur la ligne de contact des carrés.

 

Interrogeons la démonstration avec Mr Heu’ristique.Est-ce que l’orthogonalité a joué un rôle ?

Non c’est le parallèlisme qui intervient et le fait qu’il y ait deux côtés consécutifs égaux

Donc la propriété doit rester vraie pour deux losanges de mêmes angles.

 

 

 

 

Si je remplace Ab par ka , k réel positif quelconque , et GF par kb , on obtient deux rectangles semblables ( le rapport est le même)

   et  

 

La propriété reste donc vraie pour deus rectangles semblables et même pour deux parallèlogrammes semblables.

 

On pourrait de même s’interroger sur la rencontre de (BE) et de (CF) .

 

 

La méthode est tout aussi féconde en algèbre.

En s’interrogeant sur la démonstration du fait que l’équation

x+a =b dans Z a une solution et une seule , on s’aperçoit que seules intervienent l’associativité, l’existence d’un neutre et l’existence pour tout élément d’un symétrique.

On en déduit que cela sera valable pour l’équation

ax = b dans les réels non nuls  ou pour l’équation

 dans l’ensemble des vecteurs du plan.

C’est ainsi qu’on retombe sur la théorie des groupes et on devine  alors que la méthode d’interrogation de la démonstration a été un élément de la fécondité des mathématiques.

 

Contrairement aux apparences , la méthode peut être mise en œuvre très tôt , à condition de choisir des exercices ad hoc dans un premier temps.

Il y a des mines de départ : carré des milieux d’un carré , exercices d’arithmétique

simples sur les multiples , ect….

Nous en donnerons des exemples dans un travail ultérieur.

On peut décrire aussi quesques grans outils pour interroger la démonstration:

_changement de la dimension de l’espace

_Changement de cadre , au sens de Douady

_changement de registre au sens de Duval

_concrétisation

_ abstraction

_Décontextualiser par certains côtés le problème , puis le particulariser .

Interroger la démonstration par dualité (Exemple célèbre des théorèmes de PASCAL et de BRIANCHON)

 

 

Ainsi , traditionnellement on démontre pour convaincre , soi-même ou d’autres , ou pour expliquer.

En fait ,on démontre aussi pour trouver d’autres résultats que ceux initialement visés.

Et c’est la démonstration mathématique qui le permet .

Les autres genres de preuves ne le permettent pas , parce que ,d’une part elles n’explicitent pas toujours toutes les raisons et ensuite , parce que leurs exigences esthétiques ne comportent pas , comme la démonstration mathématique, la notion de “raison minimale”.

Du point de vue pédagogique , nous pensons que la démonstration doit maintenant devenir un “lieu d’interrogation” , pour deviner des résultats que l’on pourra toujours ensuite chercher à démontrer par des moyens spécifiques.

 

un autre exemple ( th de pascal)

 

Donnons un dernier exemple : le théorème de PASCAL/

Les côtés opposés d’un hexagone inscrit se coupent en 3 points alignés.

Il y a plusieurs démonstration :avec MENELAUS  et CEVA , avec les faisceaux

Ect…

Prenons celle de géométrie algébrique.

 

 

 

Soit un cercle et six points de ce cercle formant hexagone ABCDEF

Considérons les points I et J rencontre des côtés 1 et 4 , puis 2 et 5.

Soit K le point de rencontre de 3 et 6.

Le cercle et la droite (IJ) forment une courbe de degré 3, notée C1 (équations)

Les supports des côtés 1,2,3 forment une courbe C’ de degré 3

De même les côtés 4,5,6 forment une courbe de degré 3, notée C’’.

D’après un théorème connu , deux courbes de degrés n  se coupent en points.

Donc C’ et C’’ se coupent en 9 points qui sont d’ailleurs A,B,C,D,E,F,I,J,K

 

Or un théorème dû à CRAMER dit que ,deux courbes de degré 3 se coupant en  9 points , si une courbe de degré 3 passe par 8 de ses points , alors elle passe par le dernier.

Donc ici C passe par 8 des 9 points , à savoir A,B,C,D,E,F,I,J.

Elle passe donc par le neuvième qui est K.

K est sur Cet comme il n’est pas sur le cercle , il est sur la droite (IJ).

Donc I,J,K sont alignés.

 

 

Interrogeons la démonstration.

1)Seul intervient le fait que le cercle est du second degré: le résultat sera donc valable pour une conique quelconque , d’où une première série de résultats.

2)Si je remplace le cercle par deux droites , le résultat reste vrai (degré) et j’obtiens un théorème célèbre de PAPPUS.

 

Ainsi , une bonne habitude à développer très tôt : interrogeons la démonstration

pour qu’elle ne soit plus la fin du problème.