merci, madame la géométrie

Encore un éloge lié de la géométrie.

Souvent, en montant une abaque, on est amené, avant de l’imprimer, à la modifier pour la rendre plus claire.

L’avantage des logiciels de géométrie dynamique est qu’on peut tirer sur un ou plusieurs points,

voire tirer sur les graduations des axes, ou modifier l’angle des axes.

Mais parfois, cela ne suffit pas et on est amené à se poser le problème suivant :

Mon abaque est limitée à un quadrilatère P ( une sorte de fermeture convexe) et je voudrais lui faire occuper

le rectangle de la feuille (ou un autre quadrilatère P’).

Nous allons résoudre ce problème avec quelques souvenirs de géométrie qu’il m’est arrivé d’enseigner

à des classes de 4ème ou de 3ème avant les ordinateurs et

ensuite, plus facilement, avec les logiciels de géométrie dynamique, surtout Cabri.

Soit donc deux quadrilatères abcd et a’b’c’d’. Le problème est d’envoyer le premier sur le second

par des transformations qui respectent l’alignement, c’est-à-dire qui transforment des droites en droites.

Je fais d’abord deux macros préalables.

La première me donnera l’angle saillant de deux vecteurs.

Soit deux vecteurs u et v représentés par OA et O’B. On mesure la longueur de u soit ||u||.

On va dans « calculatrice » et on divise, en le montrant, le nombre ||u|| par lui-même.

On obtient 1.000.Puis on multiplie ce nombre par 90.On obtient 90.000.

On fait subir à A la rotation de centre O et d’angle 90.000.On obtient

un point K. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repère AOK.

On trace l’image de O par la translation de vecteur v. On obtient un point B’.

On demande les coordonnées de B’ dans le repère AOK, soit x et y.

On mesure l’angle géométrique AOB’, soit z.

On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre z*y / |y| [c’est abs(y)].

On obtient le nombre cherché z’. C’est l’angle de la rotation qui envoie la demi -droite R+*u sur R+*v.

On fait la macro :

Initiaux : u et v

Finaux : z’

Validation : « angle saillant de deux vecteurs ».

 

 

 

La seconde macro sera celle qui donne le rapport de deux vecteurs parallèles.

Soit deux vecteurs parallèles u et v (utiliser des parallèles pour les construire)

représentés par OA et O’B .

. On mesure la longueur de u soit ||u||.On va dans « calculatrice » et on divise,

en le montrant, le nombre ||u|| par lui-même. On obtient 1.000.Puis on multiplie

ce nombre par 90.On obtient 90.000.

On fait subir à A la rotation de centre O et d’angle 90.000.On obtient

un point K. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repère AOK.

On trace l’image de O par la translation de vecteur v. On obtient un point B’.

On demande les coordonnées de B’ dans le repère AOK, soit x et 0.

Le nombre x est le rapport de v à u. (celui qui multiplié par u donne v).

On fait la macro :

Initiaux : les deux vecteurs parallèles

Finaux : le nombre x

Validation : rapport de deux vecteurs parallèles (je déteste, dans ces contextes, le mot colinéaire)



 

Revenons à nos ovins quadrilatères.

transfo-mega-1.jpg

Je trace le vecteur aa’.

J’envoie d’abord a sur a’ par la translation T de vecteur aa’ et je transforme

le polygone P par cette translation : j’obtiens le polygone a’b1c1d1.

Ensuite, je vais envoyer b1 sur la droite (a’b’). Pour cela je mesure l’angle des vecteurs a’b1 et a’b’

avec la macro précédente : j’obtiens un nombre z.

Je fais subir au polygone a’b1c1d1 la rotation R de centre a’ et d’angle z.

J’obtiens un quadrilatère a’b2c2d2.

tranfo-mega-2.jpg

Je vais envoyer b2 sur b’ sans changer a’ par une homothétie de centre a’ donc et de rapport

(vecteur a’b’)/(vecteur a’b1). :je trace donc ces deux vecteurs, et , avec la macro précédente

je calcule leur rapport k.

Je fais alors subir au polygone a’b2c2d2 l’homothétie H de centre a’ et de rapport k.

J’obtiens le polygone a’b’c3d3.

tranfo-mega-3.jpg

Je vais maintenant envoyer c3 sur c’, mais en m’arrangeant pour que a’ et b’ ne changent pas.

Cela est possible si la droite (a’b’) reste invariante et si j’utilise par exemple l’affinité d’axe (a’b’)

et de direction c3c’. Il me faut donc faire une macro de l’affinité, la plus simple possible,

accessible à un élève de 5ème .

Affinité d’axe D envoyant un point a sur un  point a’.

Soit une droite D et deux points a et a’, image de a . La droite (aa’) est supposée non parallèle à D.

Soit m un point. Cherchons son image m’.

L’axe de l’affinité sera donc D. La direction de l’affinité sera la droite (aa’).

m sera sur la parallèle à (aa’) passant par m. Traçons-la.

La droite (am) coupe l’axe D en un point s qui est invariant.

La droite sam a donc pour image la droite sa’m’.

m’ se trouve donc à l’intersection de la parallèle précédente avec la droite (sa’).

On fait la macro :

Initiaux : D, a, a’ et m

Finaux : m’

Validation :affinité [D, a,a’]

 

Je fais donc maintenant subir au polygone a’b’c3d3 l’affinité A d’axe (a’b’) envoyant c3 sur c’.

.Il suffit de chercher l’image de d3 par l’affinité [(ab) ; c3 ;c’]. J’obtiens d4 et je trace

le polygone a’b’c’d4.

Il ne reste plus qu’à envoyer d4 sur d’. Mais comme il ne faut pas que a’, b’ et c’ bougent,

il me faut une transformation qui respecte bien sur l’alignement, et

qui laisse 3 points invariants non alignés.

Il y en a une qui est simple à étudier, c’est l’homologie. Un rappel :

Soit un point o appelé centre d’homologie (invariant) et une droite D dite axe d’homologie, ensemble de points invariants. On se donne un point a et son image a’. L’homologie est alors parfaitement définie si on sait qu’elle respecte l’alignement. Montrons-le en cherchant l’image d’un point quelconque m.

D’abord l’image m’ de m est quelque part sur la droite (om) puisque o est invariant et que l’homologie doit conserver l’alignement.

Ensuite, la droite (am) rencontre en général l’axe D en en un point s ( qui peut être dans les cas particuliers que nous n’étudierons pas ici, le point à l’infini).

Le point s est invariant. La droite (sam) a pour image la droite (sa’).

Donc m’ est à l’intersection de (sa’) et de (om).

On fait la macro :

Initiaux : D, o, a,a’

Finaux : m’

Validation : « homologie [o,D,a,a’]

 

 

Déshabillons un peu notre problème pour le réduire à l’essentiel maintenant.

Nous avons 3 points a’ ,b’, c’ qui doivent rester invariants et deux points d4 et d’

tels que l’un , d4 doit se tranformer en l’autre, d’.

On va le faire avec deux homologies successives, l’une d’axe (b’a’), l’autre d’axe (b’c’).

Les droites (d4b’) et (d’c’) se coupent en un point w.

L’homologie K1de centre c’, d’axe (b’a’) qui envoie d4 sur w, puis l’homologie K2 de centre a’,

d’axe (b’c’) qui envoie w sur d’ feront l’affaire car leur composée enverra d4 sur d’.

Pour avoir l’image d’un point m par la transformation qui envoie abcd sur a’b’c’d’,

il suffit de faire subir à m la composée

K2°K1°A°H°R°T.

En utilisant et les commandes translation, rotation, homothétie, et les macros précédentes

de A et K , on obtient rapidement à partir de m les points m1 m2 m3 m4 m5 m6 et surtout  m’

et on fait la macro globale G:

Initiaux : a,b,c,d ;a’,b’,c’,d’ et le point m  (attention à l’ordre)

Finaux :le point m’.

Validation :  « transfo quadri P ;quadri P’ »

 Aide : abcd ; a’b’c’d’ 

On est maintenant outillé pour transformer tout point remarquable m de l’abaque.

tranfo-mega-3-2.jpg

Le seul problème va être le cas des courbes.

Pour avoir le transformé d’une figure canonique F du logiciel ( polygone, cercle, conique)

il suffit de choisir un point mobile m sur la figure F, de le transformer par G, ce qui donne m’,

puis de demander le lieu de m’ quand le pilote m décrit la figure.

Par contre, il y a un souci quand la figure est déjà elle-même un lieu L,

car le logiciel grimace alors, parfois mortellement.

Il vaut mieux alors reprendre le point m générateur du lieu L

( donc apparaissant avant le tracé du lieu),

de transformer m par G pour avoir m’, puis de demander le lieu de m’

quand le pilote de m, par exemple p, varie.

C’est ce qui se passera pour les courbes des abaques à points alignés (aapa).

Un détour qui en valait la peine, non ?


amusons nous avec les transformations

DEMOCRATISER L UTILISATION DES MATHEMATIQUES

Remarque

J'avais omis de signaler qu'en fait, à part les deux déplacements il y a 4 homologies, car l'homothétie est une homologie

dont l'axe est à l'infini, et l'affinité une homologie dont le centre est à l'infini.

On peut le vérifier avec Cabri en envoyant alternativement ces deux éléments à l'infini, selon le procédé que j'ai

indiqué dans le livre que j'ai écrit avec Karine Perez " manipulations élémentaires de géométrie non euclidienne"

(hyperbolique) publié chez "publibook".

transformations abaques