merci internet et mr Chasles: distance point-ellipse

Il y a quelques jours, en reprenant l'article "penser à côté" de la catégorie " courtes promenades mathématiques", je proposais de définir et

de calculer la distance d'un point à une ellipse, avec un logiciel de géométrie, en évitant si possible l'utilisation  expliclite des équations

de façon à faire manipuler cette notion intuitivement par un élève de collège.En fait, il s'agissait surtout d'un travail à faire par l'enseignant

pour se déstabiliser un peu avant de préparer son cours sur les distances courantes en 5ème ou 4ème.

voir :

Penser à côté ( éloge de l'imprudence)

distance-pt-ellipse-1.jpg

Je sais que la distance sera définie comme le minimum de la longueur des segments joignant P à

l'ellipse.

Première idée: faire mesurer les distances pm par le logiciel et prendre le minimum, donc repérer m

sur la courbe par une abscisse et placer en ordonnée la distance pm.

Le lieu donnera une courbe dont on prendra le minimum.

Le malheur,c'est que je ne sais par repérer directement un point sur l'ellipse.

je garde l'idée, mais je vais partir du fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal de

l'elllipse par une affinité dont l'axe est le grand axe de l'ellipse et le rapport b/a, b et a étant

respectivement le petit axe et le grand axe de l'ellipse.

Il me suffira donc

  • d'ouvrir le repère
  • de demander au logiciel la longueur L du cercle et de reporter ce nombre sur l'axe des x ( choisir un cercle pas trop grand au début: on l'agrandira sans problème ensuite)
  • de tracer le segment [0L]
  • de choisir un point m0 entre 0 et L ( longueur du cercle),et de demander son abscisse x
  •  de reporter ce nombre x sur le cercle à partir d'un point du cercle choisi comme origine, ce qui me donnera un point m1
  •  de construire l'image de m1 par l'affinité adéquate, ce qui donne un point m
  • de mesurer la distance Pm
  • de place le point de coordonnées (x;Pm) dans le repère canonique du logiciel ce qui donne un point n
  • de demander le lieu de n quand x varie
  • Ensuite, on cherche le minimum absolu de la courbe ( il peut y avoir 3 minima relatifs en plus)
  • L'ordonnée de ce minimum absolu est la distance de P à l'ellipse.

Mais les logiciels donnent en général une conique avec 5 points

J'ai donc besoin de savoir trouver les axes d'une ellipse et de faire une macro commode pour d'autres travaux.

  • On commence par apprendre à trouver le centre.

Par deux des 5 points c et d, on trace une corde. Par un 3ème, e, on trace une corde parallèle. Les milieux des deux cordes parallèles donnent un diamètre. On recommence avec une autre corde ce par exemple, ce qui donne un second diamètre et l'intersection des deux diamètres donne le centre O de l'ellipse. On fait une macro dite "ellipse, centre" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point P, l'objet final étant O.

centre-d-une-ellipse-construction.jpg

  • reste à tracer les axes : une méthode consiste à utiliser les demi-diamètres conjugués.
  • Rappelons qu'étant donné un diamètre, l'ensemble des milieux des cordes parallèles à ce diamètre forment un second diamètre qui est dit "conjugué du premier".(en fait,ce sont les images de 2 diamètres perpendiculaires du cercle principal)
  • On trace donc une ellipse à partir de 5 points. On trace son centre O avec la macro précédente.
  • On choisit un point quelconque m sur cette ellipse ( différent bien sûr des 5 points).On trace la demi-droite diamètre [om).Par un des 5 points de définition de l'ellipse, on trace une corde parallèle à [om) et on prend son milieu n. La droite (on) est le diamètre conjugué du diamètre (om).
  • On fait une macro "diamètre conjugué associé à m" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point m, et comme objet finaux la droite (on).

diametre-conjugue.jpg

  • La théorie (qui définit l'ellipse comme le lieu d'un point fixe d'un segment de droite HK de longueur constante dont les extrémités décrivent deux axes rectangulaires) nous dit qu'en reportant à partir de m sur la perpendiculaire au rayon conjugué de (om) un segment égal à ce rayon conjugué, on obtient le point diamétralement opposé à O sur le cercle. Donc
  1. sur un ellipse munie d'un point m on construit le diamètre conjugué associé à m, et  on trace un des deux rayons conjugués associés à m, soit [op].
  2. On trace la perpendiculaire par m à ce conjugué
  3. On trace avec le compas le cercle de centre m et de rayon op
  4. il coupe la perpendiculaire en I par exemple
  5. on prend le milieu de o et I, soit w
  6. On trace le cercle de centre w passant par o.Il coupe la droite (wm) en h et k
  7. On trace les droites (oh) et (ok) : ce sont les axes de l'ellipse

On fait alors une macro "axes d'une ellipse", avec comme objet initial l'ellipse et comme objets finaux les deux axes.

axes-d-une-ellipse-construction.jpg

maintenant que j'ai cette macro, je vais pouvoir tracer le cercle principal ( son diamètre est le grand axe).


  • donc je trace une ellipse avec 5 points et un point du plan, soit p,
  •  puis je trace les axes avec la macro précédente.
  • je trace les extrémités du grand axe a et a' et je trace le cercle de diamètre [aa'].
  • Je mesure la longueur de ce cercle principal soit L
  • Je réduis la conique en longueur pour que L soit inférieur à 20 cm ( pour que la figure "rentre": cela n'aura pas d'incidence après la macro)
  • J'ouvre les axes canoniques du logiciel dont je tire l'origine en bas à gauche
  • Je place le nombre L précédent sur l'axe des abscisses ( le grand axe de l'ellipse), ce qui donne un point z
  • Je trace le segment [oz] et je place sur ce segment un point m dont je demande l'abscisse x
  • Je reporte, avec "report de mesure" le nombre x sur le cercle, ce qui me donne un point m1
  • Je trace la perpendiculaire à l'axe des x par m1 qui coupe l'axe des x en h
  • je trace la demi-droite [hm1) et j'efface la perpendiculaire.
  • je prend l'intersection de cette demi-droite avec l'ellipse, soit un point m2
  • je mesure la distance pm2 = y
  • Je place le nombre x sur l'axe des abscisses et le nombre y sur celui des ordonnées et je trace les bonnes parallèles pour avoir le point (x, y) nommé e ( à moins que je n'ai eu la bonne idée de faire une macro "point (x,y)" pour placer un point)
  • Je demande alors le lieu de e quand m varie: j'obtiens une courbe qui peut avoir plusieurs minimum relatifs dont un absolu.
  • Je place un point sur la courbe un point témoin t et je demande les coordonnées de t.
  • En déplaçant t jusqu'au minimum, je pourrai lire son ordonnée qui sera la distance de p à l'ellipse.

distance-point-ellipse-methode-1.jpg

En changeant le point p de place, on voit qu'il peut y avoir plusieurs minima relatifs, en particulier si p est à l'intérieur.

le problème est résolu, mais j'aurai souhaité pouvoir obtenir une macro me donnant tout de suite la distance de p à l'ellipse, en montrant simplement le point, l'ellipse et au besoin les axes. Mais cela n'est manifestement pas possible avec cette méthode.

On va explorer une voie plus "géométrique" en imaginant que lorsque pm est un minimum relatif, la droite (pm) est une normale à la conique.

Il suffirait alors de construire les normales et de mesurer les 2 ou 4 segments normaux et de prendre leur minimum.

Pour construire une normale à une ellipse (définie par 5 points, comme d'habitude), en un point m de cette ellipse, la méthode la plus simple est de construire le point de fregier w de m, intersection de deux cordes découpées par deux angles droits de sommet m.

la droite (mw) est la normale en m. En choisissant chaque angle droit à partir de deux des 5 points de départ, on peut facilement faire une macro avec pour objets initiaux l'ellipse eet le point m, et pour objet final la normale.


Mais les choses sont plus compliquées ici quand le point p est hors de l'ellipse.

J'essaie en passant par le cercle principal en utilisant l'affinité qui a pour axe le grand axe et pour rapport b/a ( demi-axes)

mais si ça marche bien pour construire une tangente passant par p, ce n'est pas le cas pour les normales.


Faisons une petite digression à ce sujet qui peut être utile pour d'autres problèmes sur les coniques.

Soit une ellipse et un point P extérieur. Le problème est de construire les deux tangentes issues de p et d'en faire une macro.

Traçons les axes de l'ellipse avec la bonne macro. Plaçons les extrémités A et A' du grand axe et B et B' du petit axe.

Traçons le cercle principal de diamètre [AA']

Mesurons les demi-axes a et b.

on sait que l'ellipse est l'image du cercle principal dans l'affinité orthogonale f d'axe (AA') et de rapport b/a.

De  plus, les contacts se conservent dans l'affinité, donc l'image d'une tangente au cercle est tangente à l'ellipse au point homologue.

Plaçons le point P' dont P est l'image dans cette affinité f.C'est le point image de P dans l'affinité inverse g d'axe (AA') et de rapport a/b.

On trace la perpendiculaire à (AA') par P.Elle coupe (AA') en H . On mesure HP, on trace la demi-droite [HP) et on y reporte le nombre

HP*a/b . On trouve le point P'.

On trace alors les tangentes au cercle issues de P' . (Pour cela il suffit de tracer le cercle de diamètre [OP'] et de placer ses intersections Z et Z' avec le cercle principal. Les droites (P'Z) et (P'Z') sont les tangentes.

Par Z, on trace la perpendiculaire à (AA') qui la coupe en K. On cache cette perpendiculaire et on trace la demi-droite [KP').

Elle coupe l'ellipse en T.La droite PT est une tangente à l'ellipse.

De même par Z', on trace la perpendiculaire à (AA') qui la coupe en K'. On cache cette perpendiculaire et on trace la demi-droite [K'P').

Elle coupe l'ellipse en T'.La droite PT' est une tangente à l'ellipse.

On fait alors une macro "tangente à l'ellipse issues d'un point" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point P et comme objets finaux les deux tangentes.

ellipse-tangente-issues-d-un-point.jpg

 

Revenons à nos normales.

Je vais sur internet chercher " normales à une conique". Je tombe sur plusieurs travaux utilisant la géométrie analytique et les équations associées. En particulier, on parle d'appolonius ( le "grand") et on signale sa résolution du problème avec une hyperbole dit d'ailleurs "hyperbole d'appolonius".

Je vais voir dans le beau site "mathcurves", mais pas de méthode géométrique pour construire cette hyperbole.

J'utilise encore internet pour aller voir chez "Laguerre": bonne pioche, mais il utilise des méthodes avec homographies et involutions.

C'est un peu loin. J'irai une autre fois.

Malgré tout j'essaie un père fondateur de la géométrie projective, donc Chasles avant peut être d'aller voir Poncelet.

Je tombe sur le cours de "géométrie supérieure de Mr Chasles". Je feuillette et je tombe sur le théorème suivant:


ellipse-normales-issues-d-un-pt.jpg

j'en tire la construction suivante de l'hyperbole d'Appolonius.

  • une ellipse et un  point P (il peut être intérieur ou extérieur)
  • Un point m sur l'ellipse
  • le diamètre conjugué de celui de m avec la macro vue plus haut
  • la perpendiculaire de p sur ce diamètre conjugué
  • elle rencontre ce diamètre conjugué  (qui est une droite) en un point z
  • le lieu de z est l'hyperbole d'appolonius
  • les points de rencontre de l'ellipse et l'hyperbole sont les pieds des normales que l'on peut trace
  • on peut faire une macro avec comme initiaux l'ellipse et le point P et comme finaux l'hyperbole, macro que l'on nommera "ellipse, hyperbole d'appolonius".
  • On peut aussi faire une macro donnant les normales (il vaut mieux avoir pris le point intérieur pour faire la macro de façon à avoir les 4 normales au départ, quitte à n'en avoir que 2 dans les cas particuliers): on trace alors les 4 segments"normales" et on fait une macro avec comme objets initiaux l'ellipse et le point P et comme finaux simplement les 4 segments

ellipse-2-normales-issues-d-un-point.jpgellipse-4-normales-issues-d-un-point.jpgellipse-4-normales-issues-d-un-point-bis.jpgPour avoir la distance du point à l'ellipse, il suffit de mesurer les 4 distances et de prendre le minimum.

on le fait en 2 fois.ellipse-distance-a-un-point.jpg

ellipse-quelques-distances-1.jpgla macro donne inexistant quand le point P est sur le grand axe. Mais la distance est évidemment celle de P à l'un des deux points extremité du grand axe.

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