la moyenne a-t-elle une odeur ?

LA MOYENNE A-T-ELLE UNE ODEUR ?

A quel moment le petit d'homme commence -t-il la statistique ? Très tôt me semble-t-il, dès l'école maternelle, quand il commence à évaluer en gros si le partage en 2 du gâteau lui est favorable ou s'il y a plus de fraises sur tel morceau.

Avec la conquête des nombres, il va peu à peu affiner et construire seul sa notion de moyenne. Il va peu à peu l'utiliser pour construire ses jugements sur les choses et les gens. Par exemple, ayant vu  enfants du village voisin rouquins, il en déduira que tous les villageois de ce village sont roux. Ayant vu 5 travailleurs marocains beaucoup plus grands que son père et même que la plupart des amis de son père, il pensera que les marocains sont grands. Les mathématiques devraient lui apprendre plus tard ( il vaudrait mieux que ce soit le plus vite possible) que l'induction a ses limites dans le premier cas et aussi dans le second à s'aider de la notion de moyenne, mais de façon tempérée sur des échantillons. C'est hélas avec ces "terribles simplifications" pour reprendre la terminologie des psychiatres de Palo Alto, que se construisent les "idées" racistes ou sexistes.

La polémique nauséabonde qu'a provoquée et nourrie le grand renifleur de culottes grises qui tient lieu à la France de ministre de l'immigration et de l'identité nationale, nous rappelle combien il est important de faire réfléchir chaque élève aux notions de mathématiques que nous lui faisons rencontrer. Nous lui fournissons des outils critiques pour sa vie de citoyen. Pour qu'il puisse juger ceux qui ont été capables de dire qu'être français, c'est ne pas égorger un mouton dans un appartement ou parler verlan !( au fait, et manger une huître vivante) ? (que dis-je une huître! des dizaines d'huitres). Pour éviter que ces hauts personnages finissent par faire porter une étoile noire aux gens d'ailleurs. !

Et parfois, les programmes doivent être complétés par l'enseignant réel.

Prenons donc la notion de moyenne. On commence par deux nombres a et b.

Définir leur moyenne comme (a+b)/2 peut être naturel si on géométrise tôt, grâce à la notion de milieu, et le papier millimétré.

On peut aussi la définir comme " ce qui dépasse égale ce qui manque".

On peut encore géométriser très tôt avec des travaux sur le thème suivant:

Soit un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même périmètre que ce rectangle. On trouve la moyenne arithmétique (a+b)/2

Continuons dans cette voie. On ne sait pas où on va, mais comme disait René Thom, "quand on sait où on va, on ne va, en général, pas bien loin".

Soit un rectangle de côtés a et b.Trouver le côté du carré qui a même aire que ce rectangle.On trouve √(ab) dite moyenne géométrique.

Continuons: on donne un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même diagonale que le rectangle (écran de

télé carré). On trouve 

[(a²+b²)/2]: c'est la moyenne quadratique.

 

On poursuit. On donne un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même rapport entre le périmètre et l'aire que

ce rectangle. On trouve un nombre h égal à 2ab/( a+b), donc un nombre tel que 2/h = 1/a+1/b : c'est la moyenne harmonique.

Encore un effort.

On donne un rectangle de côtés a et b. On multiplie un de ses côtés par p et l'autre par q. Trouver le côté du carré qui aurait le même périmètre si on multiplie un de ses côtés par p et l'autre par q.

on trouve (pa+qb)/(p+q), c'est à dire la moyenne pondérée.

Ces notions servent ailleurs qu'en géométrie, dans les problèmes commerciaux, ou de change de devises ou de mouvement et vitesses, ect..J'y reviendrai dans une page du site : " éloges géométriques des moyennes".

Généralisons rapidement pour comprendre et revenir à notre propos de départ.

Soit une fonction monotone f. J'appellerai " moyenne de a et b suivant f" notée Mf(a, b) l'image inverse du milieu des images par f de a et b. C'est simple avec le schéma suivant :

Donc Inv f ([(f(a)+f(b))/2])

 C'est interessant à un double titre.

  • D'abord si f est la fonction identité ( f(x) = x, ou la fonction linéaire f(x)= kx , cette moyenne généralisée est la moyenne arithmétique.
  • Si f est la fonction inverse, cette moyenne généralisée est la moyenne harmonique
  • Si f est la fonction carrée, cette moyenne généralisée est la moyenne quadratique
  • Si f est la fonction logarithme, cette moyenne généralisée est la moyenne géométrique

Ensuite, on voit donc que suivant l'expérience de la vie réelle, c'est telle ou telle moyenne qui va être efficace pour comprendre, analyser, prévoir.

Il faut très tôt apprendre à l'élève à savoir observer de façon critique les données résumées par des chiffres qui lui sont jetés à la figure, soit par malveillance idéologique, soit par incompétence.

 

 

 

 

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