Invariants

" Un père a 32 ans, sa fille 12 . Dans combien d'années l'âge du père sera-il le triple

de celui de sa fille?"

Vieux problème qui fait parfois vibrer les élèves de 5ème ou de 4ème.

La solution utilisant les équations donne une surprise : résultat impossible dans N,

négatif dans Z.

D'où la nécessité du moment peirceien d'interprétation.

Mais il y a aussi une solution "mentale" : il suffit de savoir que nous grandissons tous ensemble

et que la différence d'âge entre deux individus ne change pas, d'où la solution immédiate.

Dans la vie courante, on peut trouver d'innombrables autres exemples qui sont basées sur la bonne

 vieille règle fondamentale de la soustraction :

"Une différence ne change pas quand on ajoute (ou qu'on retranche) un même nombre à ses deux

termes".

Cette règle capitale devrait être vue dès le primaire, dès le début de la soustraction car c'est elle q

ui pilote tout calcul mental sur la soustraction ( je dis bien calcul mental, pas calcul non posé !)

Elle était clairement énoncée dans les très vieux livres du primaire ou de 6ème et 5ème.

Elle a disparue dans les années 70 parce qu'elle était vue avec les opérateurs, qui, hélas, ont

disparu explicitement ( Ne jetons jamais le bébé avec l'eau du bain!) . On la donnait sous la forme

" un opérateur additif ou soustractif ne change pas une différence"  ou encore:

"une translation ne change pas une différence":

t(b)- t(a) = b-a

Disons : la différence de deux nombres est un invariant pour la translation

( on n'est pas obligé de donner cette forme pédante aux jeunes élèves.Encore que ....)

Mais maintenant, on peut la chercher sans la trouver dans les manuels ou les programmes.

Notons que c'est elle qui sous-tendait l'idée de "mesure algébrique de AB" honteusement disparue

 sans justification (et pour cause). des programmes de collège et de lycée.

Pourtant, c'est cette notion qui installait déjà la relation dite de Chasles, qui est l'oubli possible de

 l'étape intermédiaire quand je vais de A à B en passant par C. Et cela se comprenait très bien.

L'ahurissant est que cette relation est revue pour l'addition des vecteurs plus tard, pour l'addition

des angles orientés, pour l'addition des arcs, pour l'addition des intégrales !!! Et elle

 est basée sur cette propriété fondamentale de la différence.

O mères, ne confiez jamais la toilette de votre bébé à ceux qui font les programmes de

mathématiques, sauf s'il s'agit du père car le réflexe d'amour primera sur toute autre considération.

D'autant plus que sont maintenus sans sourciller des règles utiles comme "la composante d'un

 vecteur AB s'obtient en retranchant l'abscisse de "l'origine" à l'abscisse de "l'extrémité" "

De façon plus générale, la mise en évidence très tôt de l'invariant ( pas ceux de Riemann ni de Klein

 évidemment !) permet l'utilisation des propriétés mathématiques dans les situations non

 canoniques, non purement scolaires, non évidentes, non conditionnées.

La phrase non prononcée hélas " la composante d'un vecteur ne change pas si je change l'origine

sans changer le sens, ni l'unité" devient triviale si on dispose de la règle d'invariance de la

différence.

Ce type de règle permet de passer directement au "Sens", sans en rester à la "signification": et c'est

le sens qui permet de passer aux applications non canoniques, non immédiates , d'intégrer à la

culture mathématique ou scientifiques, et très tôt.

Un autre exemple : la règle fondamentale de la division, mère de la proportionnalité :

" On ne change pas un quotient en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre "

Inutile de détailler les dizaines de conséquences qu'éclaire cette règle, des fractions, rationnelles ou

non, à la règle qui seule autorise la notion de rappors de segments, préalable à Thalès.

En géométrie, " la projection parallèle d'une droite sur une autre laisse invariant le rapports des

segments", énoncé de Thalès.

Ou encore la projection centrale laisse invariant le birapport de 4 points.

De façon plus générale, l'affirmation A=B signifie que la quantité A-B est un invariant de la

situation, de même d'ailleurs que la quantité A/B .

C'est la forme "invariant" qui est la base de l'intuition dans toutes les branches des mathématioues

 et ceci dès la maternelle. C'est elle qui est à la base de la naissance du sens. Les programmes,

surtout attachés au développement de la signification et de l'explicite, escamote malheureusement

 cette dimension. C'est elle aussi qui rythme l'appropriation culturelle des questions  mathématiques.

J'ai toujours considéré que la progression en mathématiques, pour tout individu, est une chasse

aux invariants permanente. Ce pourrait être une clef explicite pour tout arsenal mathémaatique.

On pourra d'ailleurs remarquer (mais dans un autre papier), qu'il s'agit ici d'invariant quantitatifs.

Mais on peut avoir des invariants qualitatifs :relationnels, par exemple telle fonction conservant  l'ordre ou non(ce sont les fonctions croissantes) ou conservant telle relation : ce sont les morphismes relationnels.

On peut considérer même le point de vue des opérations conservées par une fonction ou une

transformation: on tombe sur les homomorphismes.

On change une situation avec un opérateur, et on regarde ce qui ne change pas.

Ensuite bien sûr, si ça change, on regarde comment.

invariant