Invariants

" Un père a 32 ans, sa fille 12 . Dans combien d'années l'âge du père sera-il le triple

de celui de sa fille?"

Vieux problème qui fait parfois vibrer les élèves de 5ème ou de 4ème.

La solution utilisant les équations donne une surprise : résultat impossible dans N,

négatif dans Z.

D'où la nécessité du moment peirceien d'interprétation.

Mais il y a aussi une solution "mentale" : il suffit de savoir que nous grandissons tous ensemble

et que la différence d'âge entre deux individus ne change pas, d'où la solution immédiate.

Dans la vie courante, on peut trouver d'innombrables autres exemples qui sont basées sur la bonne

 vieille règle fondamentale de la soustraction :

"Une différence ne change pas quand on ajoute (ou qu'on retranche) un même nombre à ses deux

termes".

Cette règle capitale devrait être vue dès le primaire, dès le début de la soustraction car c'est elle q

ui pilote tout calcul mental sur la soustraction ( je dis bien calcul mental, pas calcul non posé !)

Elle était clairement énoncée dans les très vieux livres du primaire ou de 6ème et 5ème.

Elle a disparue dans les années 70 parce qu'elle était vue avec les opérateurs, qui, hélas, ont

disparu explicitement ( Ne jetons jamais le bébé avec l'eau du bain!) . On la donnait sous la forme

" un opérateur additif ou soustractif ne change pas une différence"  ou encore:

"une translation ne change pas une différence":

t(b)- t(a) = b-a

Disons : la différence de deux nombres est un invariant pour la translation

( on n'est pas obligé de donner cette forme pédante aux jeunes élèves.Encore que ....

Mais maintenant, on peut la chercher sans la trouver dans les manuels ou les programmes.

Notons que c'est elle qui sous-tendait l'idée de "mesure algébrique de AB" honteusement disparue

 sans justification (et pour cause). des programmes de collège et de lycée.

Pourtant, c'est cette notion qui installait déjà la relation dite de Chasles, qui est l'oubli possible de

 l'étape intermédiaire quand je vais de A à B en passant par C. Et cela se comprenait très bien.

L'ahurissant est que cette relation est revue pour l'addition des vecteurs plus tard, pour l'addition

des angles orientés, pour l'addition des arcs, pour l'addition des intégrales !!! Et elle

 est basée sur

cette propriété fondamentale de la différence.

O mères, ne confiez jamais la toilette de votre bébé à ceux qui font les programmes de

mathématiques, sauf s'il s'agit du père car le réflexe d'amour primera sur toute autre considération.

D'autant plus que sont maintenus sans sourciller des règles utiles comme "la composante d'un

 vecteur AB s'obtient en retranchant l'abscisse de "l'origine" à l'abscisse de "l'extrémité" "

De façon plus générale, la mise en évidence très tôt de l'invariant ( pas ceux de Riemann ni de kein

 évidemment !) permet l'utilisation des propriétés mathématiques dans les situations non

 canoniques, non purement scolaires, non évidentes, non conditionnées.

La phrase non prononcée hélas " la composante d'un vecteur ne change pas si je change l'origine

sans changer le sens, ni l'unité" devient triviale si on dispose de la règle d'invariance de la

différence.

Ce type de règle permet de passer directement au "Sens", sans en rester à la "signification": et c'est

le sens qui permet de passer aux applications non canoniques, non immédiates , d'intégrer à la

culture mathématique ou scientifiques, et très tôt.

Un autre exemple : la règle fondamentale de la division, mère de la proportionnalité " On ne change pas un quotient en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre "

( je ne dis pas

invariant