"paramètre"

un des plus beaux mots de la langue française

Un des plus beaux mots de la langue française est "discuter". Il a un parfum de liberté, d'égalité

 et de fraternité bien comprise. Il dit que l'autre est une personne, un citoyen, dont on a besoin

 pour vivre. Il est tout à fait étonnant qu'il ait pratiquement disparu des évaluations et même des

 exercices dits "formatifs" ou "normatifs" en mathématiques. Pourtant, c'est l'activité de

 discussion qui structure le débat mathématique, dans une classe ou un groupe de travail, si

 puissant pour une appropriation non formelle.

C'est la discussion avec un être intérieur qui crée la dynamique d'une démonstration, ce

 personnage intérieur qui pose à chaque étape la question "Pourquoi?", Brecht le rappelait :

" Pourquoi ? Demande pourquoi, camarade, car c'est toi qui doit payer la note!"

La société serait moins malade si tout citoyen avait ce réflexe.

Les psychanalyste appelle "sermocination" la discussion que nous sentons tous entre les

instances du moi, du surmoi et du mal-aimé ça. On se connaît mieux soi-même ainsi.

En maths, c'est l'interrogation sur les hypothéses d'un résultat qui fait passer la connaissance

( et même le savoir) à un stade supérieur à chaque instant de notre vie mathématique,depuis la

petite enfance jusqu'à la grande enfance où je suis actuellement.

C'est la "rumination" des hypothèses d'un problème qui me fait généraliser, passer à de plus gros

 objets, démarche caractéristique de toute sciences, mais particulièrement des mathématiques.

C'est là que se trouve la dimension heuristique de la démonstration, qui n'est pas seulement un

outil pour trouver la vérité, mais qui permet de trouver de nouveaux résultats et de nouveaux

concepts, même quand je suis à l'école primaire.

Il me semble que le critère le plus simple pour voir si un programme de maths fait place à une

 dimension, consiste à regarder si le mot " paramètre" figure dans le programme, car c'est en

considérant certaines données comme modifiables que je peux agir sur une situation au lieu de la

 subir. C'est l'apparition, à côté de l'espace de phase , d'un espace de contrôle, boîte de vitesse ou

 thermostat.

Apprendre à l'élève à discuter les hypothèses, voir ce qui se passe quand on les modifient,

comment les changer pour avoir un autre but, comment le changement de processus même

 change la vision des solutions d'un problème.

Rêvons quelques minutes .

Au CE1: Pierre a 10 euros. Il veut acheter un jouet dont le prix est 6 euros. Combien lui restera-

t-il? Combien doit coûter un jouet pour qu'il puisse l'acheter? Discuter.

Au Ce2 : Le père de Jean a 1000 euros pour nourrir sa famille pendant le mois de février.

Il achète cependant un fusil de 980 euros. Combien lui restera-t-il pour nourrir sa famille ?

Discuter ses possibilités, par exempel, suivant le prix du fusil.

Au CM1: La rue qui passe devant l'école de Kader mesure 100m. Le maire veut planter des

 arbres sur le trottoir gauche. Il veut mettre un arbre tout les 10m. Combien doit-il acheter

d'arbres?Discuter ( belle introduction à la topologie).

CM2 : La mère de Aïssa a exactement 30 ans et 5mois. Aïssa a 8ans et 2mois.

Quel âge avait Aissa quand sa mère avait exactement 30 ans ? Discuter suivant les données.

6ème: Un champ rectangulaire a une longueur de 100m et un périmètre de 272,541m.

Quelle est sa largeur ? Discuter.

5ème : Mamadou dispose d'une baguette bleue de 20cm,d'une blanche de 12cm,  et d'une rouge.

Quel doit être la longueur de la rouge pour qu'il puisse construire un triangle bleu, blanc, rouge

et obtenir ainsi un titre de séjour en France ?

4ème. On a un cube d'arête entière. On divise son aire totale par son volume. On trouve un

nombre k. Discuter des valeurs possibles de k.

3ème . Résoudre l'équation (m-3)x = m²-9. Discuter.

( Je suppose que tout le monde sait que l'élève de 4ème doit être capable maintenant de prouver,à tout instant, non seulement les identités remarquables, mais aussi son identité nationale.).

Seconde. On considère la famille de fonctions affines de x : (m²-9)x + 2m-6

Discuter suivant les valeurs de m leur sens de variation.

Première k étant un réel, et A et B deux points distants de 6cm, quel est l'ensemble des points M

tels que  MA²+MB² = k . Discuter.

En terminale, on peut en principe en trouver de temps en temps.

Je reviendrais sur ces questions dans "le carnaval des lettres", dans ce site.

Un voeu donc : Introduire encore plus les "discussions" dans les problèmes

et introduire dans les programmes la notion de paramètre assez tôt, au moins implicitement.

La visualisation de l'espace ou des espaces de paramètres d'un problème est devenue chose très

aisée grâce aux logiciels de géométrie dynamiques.