pédagogie

Se préparer à préparer son cours

SE PREPARER A PREPARER SON COURS

Comprendre ce que ne comprendra pas l'élève réel, deviner ce qui le bloquera:

voilà ce qui conditionne toute activité pédagogique efficace.

Mais puisqu'il s'agit de l'élève réel, les éléments théoriques que donnent

la didactique ou la pédagogie seront souvent insuffisant sur le moment:

il faudra être capable de réagir aux multiples formes que prendront

les incompréhensions ou les rejets.

Pour cela, il faut se mettre à l'avance en situation.

Souvent, pour une notion A, la racine des difficultés des élèves peut être

mise à jour en se mettant soi-même en difficulté ( relative bien sûr ! ?).

Il faut donc reprendre la notion A en court-circuitant notre savoir sur A.

Un bon moyen est d'utiliser le délire raisonné, un peu comme le recommandait Riemann

pour la recherche sous l'expression " penser à côté...."

J'ai donc repris à la demande d'un jeune collègue quelques pages de ce site

écrites il y a quelques années pour l'irem.

Chaque collègue a ses outils pour quelques notions.

Ils en feront profiter ailleurs, sous des formes différentes et dans des lieux divers.

Le rassemblement de ces techniques donnerait sûrement

un très utile "surcommentaire" des programmes.

voir donc

ici

RICHESSE DU NON-DIT


Richesse du non-dit

( à propos de "les nouveaux amours de l'équerre et du compas" )

 

J’ai toujours regretté, lorsque j’enseignais, la directivité des programmes et de leurs commentaires, même quand ils la nient.( c'est aussi un problème de démocratie : mais c'est encore à venir)

Elle se traduit en général implicitement par trois choses :

  • l’absence de justification publique de la suppression de notions
  • l’absence de justification publique de l’ajout de notions
  • l’absence de référence à « l’inconscient d’un programme », c'est-à-dire aux manipulations que telle notion (étudiée l’année n) suppose faites les années antérieures ( n-1, n-2, n-3, n-4 ….)

Par exemple si j’enseigne la translation en 4ème,  quelles manipulations préparent ce travail en 5ème, 6ème et même à l’école primaire ?

Si en 4ème j’introduis l’étude des ouverts et des fermés, le CM2 et la 6ème auraient dû être les années où les problèmes de répartition d’arbres séparés de 10 m dans une allée de 50m ont marqué les élèves.

La trigonométrie de seconde ou de première suppose des manipulations quelques années avant sur le cadran circulaire des montres et des horloges ( méfions-nous des « générations quartz » !)

Les propriétés numériques des  logarithmes de terminale se construisent sur des manipulations de 4ème et 3ème sur les exposants…

La distinction entre « étude d’une notion » et « manipulation de cette notion » est nécessaire car on peut ( et on doit), manipuler une notion avant de l’avoir étudiée, et même souvent, de l’avoir « nommée ».

L’idéal est d’avoir pris du plaisir, de l’émotion, à la manipuler : cela crée des conditions psychologiques non négligeables en général, préalables à la mise en branle de la raison et de l’étude.

Par exemple, il est bien regrettable que les problèmes de lieu géométrique aient disparu et restent disparus, des programmes de 5ème et de 4ème alors qu’ils sont à la base des intuitions géométriques dont les élèves ont besoin dans le second cycle (et il est trop tard à ce moment là parce que ces intuitions progressent dans le premier cycle en même temps que les notions géométriques (exemple la médiatrice et le lieu des  points équidistants)

 

Si par exemple je m’intéresse à l’étude de l’algorithmique en seconde, et à son contenu, il est clair qu’un autre disparu de l’enseignement du premier cycle devrait être à la base des manipulations préparatoires : ce sont les constructions à la règle et au compas.

Elles illustreraient très tôt le « divin enchaînement des effets et des causes » cher à J.L.Borgès.

 

Je voudrais ici plaider pour des manipulations qui aideraient très tôt à alimenter dès la 5ème ou la 4ème l’inconscient de l’enseignement de l’algorithmique : les macros des logiciels de géométrie élémentaire, comme décomposition ou composition de programmes ou sous programmes.

Le logiciel utilisé est Cabri, parce qu’il est le plus intuitif, mais on peut l’adapter avec les autres.

En utilisant comme usine à fantasmes, les courbes géométriques, on amène l’élève à manipuler des sous-programmes, ou en tout cas, à les utiliser pour obtenir de belles et utiles choses.

On lui donne le texte de la construction.

Il n’a pas besoin en premier cycle de comprendre pourquoi ça marche, même si on peut lui signaler que les textes ne sont que les traductions d’équations en coordonnées polaires ou cartésienne, ou cartéso-polaires.

Mais pour que cela le marque, il faut qu’il s’amuse avec la courbe, suivant une série de manipulations que j’indique dans les 5 premières pages au début. Il suit d’abord le texte, obtient la courbe, fait la macro et délire graphiquement .

Il faut aussi qu’il en fasse plusieurs, sinon l’objectif sera raté.

Il pourra essayer lui-même de modifier des éléments du texte et s’apercevoir qu’il y a des données indispensables et d’autres non nécessaires pour faire la macro.

J’insiste : l’important est moins la construction que la macro.

J’ai essayé avec des enfants du CM1 à la terminale : enthousiasme garanti !!!

NB "ce travail remplace celui intitulé "amusons nous avec les courbes" : il est plus complet et plus sûr.

voir donc "les nouveaux amours de la règle et du compas"

Plaisirs de lecture

Entre deux abaques à point alignés, je me ressource depuis quelques jours avec un livre


qui devrait se trouver dans toutes les bibliothèques d'iufm ou de lycée ou de collège, et


même en plusieurs exemplaires. C'est l'ouvrage de David Ruelle "L'étrange beauté des


mathématiques" chez Odile Jacob.


Travail d'un mathématicien qui, par ses remarques sur sa pratique 


de chercheur, donne à penser différemment de nombreuses pratiques et théories de


notre enseignement.


Par exemple sur les rôles du travail conscient et inconscient dans la recherche, mais


qui concernent aussi bien l'élève ou l'étudiant dans la mesure où nous essayons dans


les classes, de le mettre en situation de chercheur.


Il cite abondamment le texte, peu diffusé hélas, de Jacques Hadamard et Henri


Poincaré: "Psychologie de l'invention en mathématiques". (Ce dernier ouvrage devrait


être et aurait dû être fourni gratuitement à tout nouvel enseignant de


mathématique, et ceci depuis bien longtemps: il aurait permis aux enseignants de


toutes générations d'avoir une boussole critique dans les flots agités des programmes


successifs, leur évitant de réagir vague après vague et de culpabiliser souvent


inutilement.


Citons Ruelle:


" Hadamard distingue, à la suite de Poincaré, dans le travail mathématique, un stade


conscient de préparation, un stade inconscient d'élaboration ou incubation, une


illumination, qui ramène à la pensée consciente, et un stade conscient de


vérification ".


La simple réflexion sur cette phrase induit des pratiques différentes sur la


périodicité et le rôle et le contenu des devoirs à la maison, par exemple.


Ou sur le rôle capital des automatismes, qui fournissent le gros du travail


inconscient.


Sur la distance dans le temps, entre les activités et le "cours".



Sur l'importance des "problèmes" et des "exercices", sur le rôle pédagogique des


problèmes dits de "rallye".


Sur le rôle réel, souvent hypertrophié, et donc minimisé, de la "rédaction".


Continuons : "la phase d'incubation est décrite comme étant de nature combinatoire;


les idées sont assemblées de diverses manières, jusqu'à obtenir la bonne


combinaison. Hadamard estime que le choix est fait sur une base "esthétique".


J'ajoute qu'on voit ici le rôle que vont jouer les aspects affectifs : plaisir ou


répugnance, peur ou excitation, blocages ou jeu.


Evidemment cet enchaînement des 4 parties débouche sur des "résultats-relais" qui


servent de base pour la suite du raisonnement.


Enfin les concepts manipulés consciemment ou non peuvent être liés aux mots, mais


aussi non verbaux : dessins, schémas, formules, gestes, rythmes.


Je cite enfin une définition de ce livre magnifique de David Ruelle:


"Je pense que la beauté des mathématiques consiste dans la découverte de la


simplicité et de la complexité cachée qui coexistent dans le cadre logique rigide


imposé par le sujet"


NB : J'ai terminé aussi un ouvrage passionnant: le livre de Cedric Villani "Théorème


vivant".


Sous forme de roman grand public, l'auteur nous décrit magnifiquement la genèse d'un de ses théorèmes.


Evidemment, je n'ai pas compris grand chose dans les parties techniques, qui sont


séparées, quoique dans le corps du livre, mais cela n'est pas gênant, loin de là.


On reste fasciné par la recherche et ses péripéties humaines.


Cela m'a remis dans la situation de mon enfance où, à 11 ans, je lisais le roman de


jane austin (orgueil et préjugés) ou le "madame Bovary" de Flaubert, sans comprendre


la genèse ou le fonctionnement du désir ou des passions, mais où je restais fasciné


par leur mystère ( ça dure encore d'ailleurs !!!)


Encore un livre à mettre entre toutes les mains , matheuses ou non.










ordinateur et prothèses

Je relisais ces jours-ci le beau livre d'Umberto Eco " Kant et l'ornythorinque" qui devrait être dans

 toutes les bibliothèques d'iufm dans le rayon d'enseignement des maths ( Comme les livres de guy

magen sur le radical du sens ou celui de Jean Petitot sur la morphogenèse du sens).

Ce travail d'Eco me semble indispensable à tout prof de math : On n'enseigne plus une définition

de la même façon après l'avoir lu et surtout quand on a en vue l'élève réel.

Mais c'est autre chose qui m'a accroché : les remarques sur les divers types de prothèses.

Si on entend par prothèse "tout appareil permettant d'étendre le rayon d'action d'un organe"

et si on a en vue aussi le cerveau, on peut étager les diverses utilisation de l'ordinateur dans

l'enseignement des maths sur les divers types de prothèses et en tirer de multiples stratégies

 pédagogiques suivant les besoins.

  • Les prothèses substitutives: un membre artificiel, des lunettes, une canne . Elles font ce que le

corps faisait, mais ne peut plus faire. Pour l'élève, les techniques de classe largement intérieures et

 qu'il fait mal ou trop lentement, soit pour les calculs, soit pour les instruments géométriques,On n

e peut pas tout sacrifier du programme de la classe n parce que certaines techniques de la classe

(n-4), même si on est conscient que sa compréhension ne sera pas la même.

  • Les prothèses extensives: fourchettes, pinces, cuillères, échasses, mégaphones. Elles

prolongent l'action naturelle du corps ou de l'esprit. Pour l'élève, les calculs avec de grands

nombres dans les calculatrices ou les tableurs, l'utilisation des traces en géométrie dynamique, les

constructions complexes utilisant les lieux, le tracé des graphiques de fonctions ou de statistiques

  • Les prothèses démultipliantes : les jumelles, les écouteurs réglables, les microscopes, les sacs

Elles permettent de faire ce qu'on faisait avant, mais en mieux, en plus complexe.

Les tableaux numériques de fonctions, de statistiques, Notons aussi la fabrication et l'utilisation d

e macros dans divers logiciels, activité si capitale et pourtant peu utilisée.

  • Les prothèses extensives : périscope, miroirs d'angles, etc...Elles permettent de voir là où le

corps ou l'esprit ne peuvent aller( on pourrait dire même "extensive-intrusives".

L'étude des valeurs approchées pour nos élèves, la visulisation de limites ou de points

d'accumulation (voir par exemple les 4 points d'accumulation de la suite u(n+1)= 3.5u(n)*(1-u(n))

Ou encore les fourchettes statistiques, ou les images d'une figure non simple par une

transformations ou encore les diverses vues d'un objet avec geospace.

  • Les prothèses démultipliantes intrusives comme les scanners.Ici les changemetns d'échelles, les

logiciels de 3d comme k3d surf ou encore la contraction du temps que constitue la simulation de

10000 jets de dés en un clic de souris et ses conséquences.

Il y a là matière à créer des séquences variées et même une analyse plus fine que d'habitude des

enjeux du travail sur ordinateur pour nos classes: est-il possible en 2010 qu'un système scolaire

puisse prévoir moins d'une heure hebdomadaire en maths devant l'ordinateur?