mathematiques

la géométrie, amplificateur du plaisir en peinture

Toujours entre deux abaques de CALCULS SCIENTIFIQUES POUR TOUS les abaques à points alignés  , j'ai découvert deux  sites de peintures très riches qui peuvent aider à travailler la géométrie tout en gardant le plaisir de la peinture.

je dirai même que la géométrie, avec un logiciel de géométrie dynamique, par exemple "cabri", peut doubler le plaisir.

Je m'explique . Il s'agit des sites : http://fr.wahooart.com/ et http://www.googleartproject.com/fr/.

Vous choisisseez un tableau que vous enregistrez.

Vous commencez par ouvrir votre logiciel, un clic droit dans l'écran, et vous choisissez "image de fond", "depuis fichier".Le tableau apparait donc sur l'écran dans le logiciel.

On peut alors tracer les droites, cercles etc.... et étudier les régularités, alignements.examiner les rapports d'or,

Quand on a quelques outils pour analyser, même modestement, un tableau, on peut, une fois le plaisir pris de sa vue et de ses parcours, utiliser ces propriétés géométriques pour comprendre comment le peintre a construit son tableau, parfois explicitement, pour nous émouvoir et ainsi nous passons à un second stade d'émotion, et ainsi de suite parfois.

La première fois que j'ai fait cette expérience est ce jour où, à montpellier, en remontant la rue de l'aiguillerie, j'ai trouvé dans une librairie à prix réduit, le livre de charles Rouleau :"géométrie secète des peintres" . Il y indique les tracés directeurs dans une bonne centaine d'oeuvres.

Cela m'a changé la vision de la peinture, mais j'étais resté assez frustré car les reproductions étaient toutes en noir et blanc.

Avec internet, j'ai accès à ces oeuvres en couleurs!

Un problème demeure cependant:il est fastidieux souvent d'essayer de vérifier des régularités géométriques canoniques: on s'arrête au bout de 5 ou 6 essais.

Et voilà où intervient cabri.

On peut faire une série de macros canoniques qui, en exactement 3 clics de souris permettent de tracer les schémas directeurs que l'on veut essayer.Ensuite on fera un menu comportant une vingtaine de macros permettant les essais.

( on peut affiner en utilisant différents menus suivant qu'il s'agit d'un tableau de la renaissance, ou du moyen âge, ou du 19ème en Europe, ou d'autres cultures).

Voici un début de liste de macros utiles à faire.

1) Cadre rectangulaire. Deux points qui seront le sommet gauche-haut du cadre et le sommet bas-droite, et les axes que l'on tirera toujours dans le coin bas gauche de l'écran.On trace les parallèles aux axes, on trace le polygone et on place son centre que l'on épaissit.

objets initiaux : les 2 points et les axes

objets finaux: le polygone et le centre

validation: cadre rectangulaire

(donc, étant donné un tableau importé, on ouvrira la macro et on désignera les deux points et les axes)

2)Carré droit. Quand le cadre est construit,  on rabat la largeur avec un cercle sur la longueur et on trace le carré.

Il donnera une verticale souvent interessante. Pour la macro, on prendra toujours pour objet initiaux les deux sommets privilégiés et les axes, le seul objet final étant le carré ou, si on préfère la verticale intéressante.

3)Carré gauche.

4)Rabattement du rectangle. Il est formé du cadre et des deux carrrés précédents (construits sur les largeurs).

5) Le rectangle médian du bicarré. C'est le rectangle formé par les deux côtés intérieurs des carrés précédents.

(cette macro est souvent commode)

6) axes de symétrie du cadre : ce sont les axes de symétrie du rectangle (commode)

7)verticales d'or. On trace le cadre, on mesure la longueur, on multiplie ce nombre par 0.618 ( approximation de l'inverse du nombre d'or) et on reporte ce nombre sur la longueur en traçant la demi-droite adéquate. On trace le symétrique du point obtenu par rapport au centre. Des parallèles donnent les deux verticales d'or.

8)horizontales d'or.On trace le cadre, on mesure la largeur, on multiplie ce nombre par 0.618 ( approximation de l'inverse du nombre d'or) et on reporte ce nombre sur la largeur en traçant la demi-droite adéquate. On trace le symétrique du point obtenu par rapport au centre. Des parallèles donnent les deux horizontales d'or.

9)Points d'or.Ces 4 points sont les intersections des verticales d'or et des horizontales d'or.(Pour la macro, il vaut mieux ne garder en objet finaux que ces 4 points).

10) Rectangle d'or. On se donne deux points a et b qui détermineront la longueur. On la mesure et on multiplie le résultat par 0.618.On trace par a la perpendiculaire au segment ab sur laquelle on trace une demi-droite d'origine a. Sur cette demi-droite, on reporte le nombre trouvé.On termine le rectangle.

11) le losange du bicarré. Les diagonales des 2 carrés construits sur les largeurs déterminent un losange (carré) souvent utilisé par les peintres.On fera la macro de la même façon à partir des points (gauche haut et bas droit).


grilles-elementaires.jpg




Lire la suite

Plaisirs de lecture

Entre deux abaques à point alignés, je me ressource depuis quelques jours avec un livre


qui devrait se trouver dans toutes les bibliothèques d'iufm ou de lycée ou de collège, et


même en plusieurs exemplaires. C'est l'ouvrage de David Ruelle "L'étrange beauté des


mathématiques" chez Odile Jacob.


Travail d'un mathématicien qui, par ses remarques sur sa pratique 


de chercheur, donne à penser différemment de nombreuses pratiques et théories de


notre enseignement.


Par exemple sur les rôles du travail conscient et inconscient dans la recherche, mais


qui concernent aussi bien l'élève ou l'étudiant dans la mesure où nous essayons dans


les classes, de le mettre en situation de chercheur.


Il cite abondamment le texte, peu diffusé hélas, de Jacques Hadamard et Henri


Poincaré: "Psychologie de l'invention en mathématiques". (Ce dernier ouvrage devrait


être et aurait dû être fourni gratuitement à tout nouvel enseignant de


mathématique, et ceci depuis bien longtemps: il aurait permis aux enseignants de


toutes générations d'avoir une boussole critique dans les flots agités des programmes


successifs, leur évitant de réagir vague après vague et de culpabiliser souvent


inutilement.


Citons Ruelle:


" Hadamard distingue, à la suite de Poincaré, dans le travail mathématique, un stade


conscient de préparation, un stade inconscient d'élaboration ou incubation, une


illumination, qui ramène à la pensée consciente, et un stade conscient de


vérification ".


La simple réflexion sur cette phrase induit des pratiques différentes sur la


périodicité et le rôle et le contenu des devoirs à la maison, par exemple.


Ou sur le rôle capital des automatismes, qui fournissent le gros du travail


inconscient.


Sur la distance dans le temps, entre les activités et le "cours".



Sur l'importance des "problèmes" et des "exercices", sur le rôle pédagogique des


problèmes dits de "rallye".


Sur le rôle réel, souvent hypertrophié, et donc minimisé, de la "rédaction".


Continuons : "la phase d'incubation est décrite comme étant de nature combinatoire;


les idées sont assemblées de diverses manières, jusqu'à obtenir la bonne


combinaison. Hadamard estime que le choix est fait sur une base "esthétique".


J'ajoute qu'on voit ici le rôle que vont jouer les aspects affectifs : plaisir ou


répugnance, peur ou excitation, blocages ou jeu.


Evidemment cet enchaînement des 4 parties débouche sur des "résultats-relais" qui


servent de base pour la suite du raisonnement.


Enfin les concepts manipulés consciemment ou non peuvent être liés aux mots, mais


aussi non verbaux : dessins, schémas, formules, gestes, rythmes.


Je cite enfin une définition de ce livre magnifique de David Ruelle:


"Je pense que la beauté des mathématiques consiste dans la découverte de la


simplicité et de la complexité cachée qui coexistent dans le cadre logique rigide


imposé par le sujet"


NB : J'ai terminé aussi un ouvrage passionnant: le livre de Cedric Villani "Théorème


vivant".


Sous forme de roman grand public, l'auteur nous décrit magnifiquement la genèse d'un de ses théorèmes.


Evidemment, je n'ai pas compris grand chose dans les parties techniques, qui sont


séparées, quoique dans le corps du livre, mais cela n'est pas gênant, loin de là.


On reste fasciné par la recherche et ses péripéties humaines.


Cela m'a remis dans la situation de mon enfance où, à 11 ans, je lisais le roman de


jane austin (orgueil et préjugés) ou le "madame Bovary" de Flaubert, sans comprendre


la genèse ou le fonctionnement du désir ou des passions, mais où je restais fasciné


par leur mystère ( ça dure encore d'ailleurs !!!)


Encore un livre à mettre entre toutes les mains , matheuses ou non.










la moyenne a-t-elle une odeur ?

LA MOYENNE A-T-ELLE UNE ODEUR ?

A quel moment le petit d'homme commence -t-il la statistique ? Très tôt me semble-t-il, dès l'école maternelle, quand il commence à évaluer en gros si le partage en 2 du gâteau lui est favorable ou s'il y a plus de fraises sur tel morceau.

Avec la conquête des nombres, il va peu à peu affiner et construire seul sa notion de moyenne. Il va peu à peu l'utiliser pour construire ses jugements sur les choses et les gens. Par exemple, ayant vu  enfants du village voisin rouquins, il en déduira que tous les villageois de ce village sont roux. Ayant vu 5 travailleurs marocains beaucoup plus grands que son père et même que la plupart des amis de son père, il pensera que les marocains sont grands. Les mathématiques devraient lui apprendre plus tard ( il vaudrait mieux que ce soit le plus vite possible) que l'induction a ses limites dans le premier cas et aussi dans le second à s'aider de la notion de moyenne, mais de façon tempérée sur des échantillons. C'est hélas avec ces "terribles simplifications" pour reprendre la terminologie des psychiatres de Palo Alto, que se construisent les "idées" racistes ou sexistes.

La polémique nauséabonde qu'a provoquée et nourrie le grand renifleur de culottes grises qui tient lieu à la France de ministre de l'immigration et de l'identité nationale, nous rappelle combien il est important de faire réfléchir chaque élève aux notions de mathématiques que nous lui faisons rencontrer. Nous lui fournissons des outils critiques pour sa vie de citoyen. Pour qu'il puisse juger ceux qui ont été capables de dire qu'être français, c'est ne pas égorger un mouton dans un appartement ou parler verlan !( au fait, et manger une huître vivante) ? (que dis-je une huître! des dizaines d'huitres). Pour éviter que ces hauts personnages finissent par faire porter une étoile noire aux gens d'ailleurs. !

Et parfois, les programmes doivent être complétés par l'enseignant réel.

Prenons donc la notion de moyenne. On commence par deux nombres a et b.

Définir leur moyenne comme (a+b)/2 peut être naturel si on géométrise tôt, grâce à la notion de milieu, et le papier millimétré.

On peut aussi la définir comme " ce qui dépasse égale ce qui manque".

On peut encore géométriser très tôt avec des travaux sur le thème suivant:

Soit un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même périmètre que ce rectangle. On trouve la moyenne arithmétique (a+b)/2

Continuons dans cette voie. On ne sait pas où on va, mais comme disait René Thom, "quand on sait où on va, on ne va, en général, pas bien loin".

Soit un rectangle de côtés a et b.Trouver le côté du carré qui a même aire que ce rectangle.On trouve √(ab) dite moyenne géométrique.

Continuons: on donne un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même diagonale que le rectangle (écran de

télé carré). On trouve 

[(a²+b²)/2]: c'est la moyenne quadratique.

 

On poursuit. On donne un rectangle de côtés a et b. Trouver le côté du carré qui a même rapport entre le périmètre et l'aire que

ce rectangle. On trouve un nombre h égal à 2ab/( a+b), donc un nombre tel que 2/h = 1/a+1/b : c'est la moyenne harmonique.

Encore un effort.

On donne un rectangle de côtés a et b. On multiplie un de ses côtés par p et l'autre par q. Trouver le côté du carré qui aurait le même périmètre si on multiplie un de ses côtés par p et l'autre par q.

on trouve (pa+qb)/(p+q), c'est à dire la moyenne pondérée.

Ces notions servent ailleurs qu'en géométrie, dans les problèmes commerciaux, ou de change de devises ou de mouvement et vitesses, ect..J'y reviendrai dans une page du site : " éloges géométriques des moyennes".

Généralisons rapidement pour comprendre et revenir à notre propos de départ.

Soit une fonction monotone f. J'appellerai " moyenne de a et b suivant f" notée Mf(a, b) l'image inverse du milieu des images par f de a et b. C'est simple avec le schéma suivant :

Donc Inv f ([(f(a)+f(b))/2])

 C'est interessant à un double titre.

  • D'abord si f est la fonction identité ( f(x) = x, ou la fonction linéaire f(x)= kx , cette moyenne généralisée est la moyenne arithmétique.
  • Si f est la fonction inverse, cette moyenne généralisée est la moyenne harmonique
  • Si f est la fonction carrée, cette moyenne généralisée est la moyenne quadratique
  • Si f est la fonction logarithme, cette moyenne généralisée est la moyenne géométrique

Ensuite, on voit donc que suivant l'expérience de la vie réelle, c'est telle ou telle moyenne qui va être efficace pour comprendre, analyser, prévoir.

Il faut très tôt apprendre à l'élève à savoir observer de façon critique les données résumées par des chiffres qui lui sont jetés à la figure, soit par malveillance idéologique, soit par incompétence.