jeu

RICHESSE DU NON-DIT


Richesse du non-dit

( à propos de "les nouveaux amours de l'équerre et du compas" )

 

J’ai toujours regretté, lorsque j’enseignais, la directivité des programmes et de leurs commentaires, même quand ils la nient.( c'est aussi un problème de démocratie : mais c'est encore à venir)

Elle se traduit en général implicitement par trois choses :

  • l’absence de justification publique de la suppression de notions
  • l’absence de justification publique de l’ajout de notions
  • l’absence de référence à « l’inconscient d’un programme », c'est-à-dire aux manipulations que telle notion (étudiée l’année n) suppose faites les années antérieures ( n-1, n-2, n-3, n-4 ….)

Par exemple si j’enseigne la translation en 4ème,  quelles manipulations préparent ce travail en 5ème, 6ème et même à l’école primaire ?

Si en 4ème j’introduis l’étude des ouverts et des fermés, le CM2 et la 6ème auraient dû être les années où les problèmes de répartition d’arbres séparés de 10 m dans une allée de 50m ont marqué les élèves.

La trigonométrie de seconde ou de première suppose des manipulations quelques années avant sur le cadran circulaire des montres et des horloges ( méfions-nous des « générations quartz » !)

Les propriétés numériques des  logarithmes de terminale se construisent sur des manipulations de 4ème et 3ème sur les exposants…

La distinction entre « étude d’une notion » et « manipulation de cette notion » est nécessaire car on peut ( et on doit), manipuler une notion avant de l’avoir étudiée, et même souvent, de l’avoir « nommée ».

L’idéal est d’avoir pris du plaisir, de l’émotion, à la manipuler : cela crée des conditions psychologiques non négligeables en général, préalables à la mise en branle de la raison et de l’étude.

Par exemple, il est bien regrettable que les problèmes de lieu géométrique aient disparu et restent disparus, des programmes de 5ème et de 4ème alors qu’ils sont à la base des intuitions géométriques dont les élèves ont besoin dans le second cycle (et il est trop tard à ce moment là parce que ces intuitions progressent dans le premier cycle en même temps que les notions géométriques (exemple la médiatrice et le lieu des  points équidistants)

 

Si par exemple je m’intéresse à l’étude de l’algorithmique en seconde, et à son contenu, il est clair qu’un autre disparu de l’enseignement du premier cycle devrait être à la base des manipulations préparatoires : ce sont les constructions à la règle et au compas.

Elles illustreraient très tôt le « divin enchaînement des effets et des causes » cher à J.L.Borgès.

 

Je voudrais ici plaider pour des manipulations qui aideraient très tôt à alimenter dès la 5ème ou la 4ème l’inconscient de l’enseignement de l’algorithmique : les macros des logiciels de géométrie élémentaire, comme décomposition ou composition de programmes ou sous programmes.

Le logiciel utilisé est Cabri, parce qu’il est le plus intuitif, mais on peut l’adapter avec les autres.

En utilisant comme usine à fantasmes, les courbes géométriques, on amène l’élève à manipuler des sous-programmes, ou en tout cas, à les utiliser pour obtenir de belles et utiles choses.

On lui donne le texte de la construction.

Il n’a pas besoin en premier cycle de comprendre pourquoi ça marche, même si on peut lui signaler que les textes ne sont que les traductions d’équations en coordonnées polaires ou cartésienne, ou cartéso-polaires.

Mais pour que cela le marque, il faut qu’il s’amuse avec la courbe, suivant une série de manipulations que j’indique dans les 5 premières pages au début. Il suit d’abord le texte, obtient la courbe, fait la macro et délire graphiquement .

Il faut aussi qu’il en fasse plusieurs, sinon l’objectif sera raté.

Il pourra essayer lui-même de modifier des éléments du texte et s’apercevoir qu’il y a des données indispensables et d’autres non nécessaires pour faire la macro.

J’insiste : l’important est moins la construction que la macro.

J’ai essayé avec des enfants du CM1 à la terminale : enthousiasme garanti !!!

NB "ce travail remplace celui intitulé "amusons nous avec les courbes" : il est plus complet et plus sûr.

voir donc "les nouveaux amours de la règle et du compas"

des maths pour noël

 

Belle période pour beaucoup, si on oublie le contexte. On fait tout pour que les choses le paraissent en tout cas. Surtout pour les enfants, qui discutent ou s'amusent avec les adultes contrairement à l'habitude. Voici un jeu pour grands et petits. Très important, nous le verrons. Du cours  préparatoire (CP) à l'université. Je vous le propose, on l'appelle souvent le "jeu du piquet à cheval", mais ce jeu millénaire a d'autres noms.

Deux joueurs qui parlent alternativement.

Il s"agit d'atteindre 20 en faisant des pas non nuls inférieurs à 4 (1,2 ou 3).

on part de 0 et le premier joueur ajoute 1 ou 2 ou 3 et annonce le résultat.

Le deuxième joueur ajoute 1,2, ou trois au nombre annoncé et annonce, lui, son résultat.

Le premier qui peut dire 20 à gagner.

Jouez avec un enfant d'âge quelconque, même canonique. Excellente initiation au calcul mental.

Ensuite, au bout d'un certain temps,c'est à dire une répétition d'une quinzaine de jeux,  les enfants s'aperçoivent que celui qui dit 16 a gagné s'il est malin.

Notez qu'alors, la répétition crée un nouveau "sens" du jeu commence à poindre.

La question de dire 16 se posant, d'autres répétitions arrivant, on note que celui qui dit 12 gagne obligatoirement.

Alors la question de pouvoir dire 12 se pose, d'où l'idée de passer à 8 puis 4.

Le sens nouveau jaillit avec la conscience de la suite 4,8,12,16 . Cette suite de position gagnantes est appelée par les mathématiciens " noyau" du jeu.

Comme l'indique un chercheur d'ethnométhodologie guy Magen, la répétition d'un acte crée un sens nouveau, souvent loin de celui de l'acte de départ. Il nomme cette loi " la loi Dupin".

Notons que pédagogiquement, ceci est d'une énorme importance . Un dangereux lieu commun des pédagogies nouvelles mal comprises a parfois conduit à mépriser le rôle de la répétition "bestiale". Or sans elle, on passe à côté de "gros concepts".

Pensez à la necessité de centaines de factorisations en 3ème, ou de centaines de tracés de perpendiculaires en CM1 , ou de centaines de tracés de graphiques de fonction en seconde ou premières ou de récitation de tables de multiplication en CE1.

Mais revenons au jeu. Une fois ces reflexions faites en commun, on peut aller plus loin.

Vous changez de but, c'est à dire qu'au lieu de chercher à atteindre 20, vous décidez d'atteindre 30, en gardant le pas maximum strict 4.

On recommence une vingtaine de fois ce nouveau jeu. La recherche du noyau par les enfants est un régal d'analyse.

Il ne faut pas hésiter à accepter de jouer une fois qu'ils ont choisi le noyau, en les conduisant à remarquer que pour être sûr de gagner il faut être le second joueur.

On continue à jouer avec d'autre buts: 33, l'âge de papy, le prix en euros de la bûche de noël , ect

Ici, pour les enseignants, nous notons que pour un enfant de CP ou autre, la notion de paramètre apparaît : il y a un espace de phase, les nombres que l'on utilise, donc les naturels.

Et puis il y a l'espace de contrôle, c'est à dire les nombres que l'on choisit comme but : ici  {20,30,33, etc....}.

Et voilà que nous venons de préparer la notion fondamentale de paramètre qui sera vue bien plus tard, hélas: ridicule des programmes qui confondent l'introduction d'une notion et " blablater sur cette notion". Les malheureux élèves de 3ème, de seconde, de première sont privés de l'explicitation de cette notion qui pourrait être préparée consciemment très tôt sans en parler.

J'avais commencé avec Sandrine Louvet à l'irem de guadeloupe un travail sur l'introduction des paramètres à l'école maternelle et à l'école.Il est clair que très tôt maintenant les enfants qui ont un thermostat dans leur appartement , ou qui ont regardé un dérailleur de vélo, ou écouter leurs parents pester contre la boîte de vitesse de la rolls familiale, savent, sans savoir le dire, ce qu'est un espace de contrôle, et donc connaisse le rôle d'un paramètre. Ce n'était pas le cas il y a 60 ans quand j'étais gamin en guadeloupe pour la majorité des enfants.

On peut continuer à bouger le jeu, en changeant le pas maximum. Par exemple, choisir un pas inférieur à 5. Ou encore à 10. Ect....

La répétition de la recherche du noyau conduit les enfants à des remaques interessantes sur les nombres modulo (exemple les nombres 4p, ou 3+4p , ou 6+9p ect suivant le but et le pas maximum qu'on se fixe .

Une dernière remarque : le paramètre n'est pas forcément un nombre, même s'il est souvent commode de lui donner un numéro qui aura l'apparence d'un nombre ( la première, la seconde , ect..)

Dans le cas de ce jeu, on remplace l'addition par la soustraction : Cette fois on prend un nombre de départ, 30 par exemple , et on soustrait un nombre inférieur à 4 par exemple. le pas maximum strict, sera inférieur à 4 et le but sera 0.

Ou même, en utilisant deux calculatrices et un grand but , en prenant comme opération la multiplication.

on voit que c'est l'opération ici qui est le paramètre, la "valeur de contrôle" du thermostat.

On trouvera bientôt des éléments un peu théoriques sur la notion de paramètre dans le document sur la sémiotique de Ch. Sanders Peirce dans la page " le carnaval des lettres ".

Voilà , joyeux noël aux petits et aux grands.

PS :

1- Vous pouvez trouver d'autres jeux simples pour noël avec un simple jeu de carte (52) en allant voir les règles sur le site "apprenti-maths" que j'ai fait avec karine Perez. En particulier, pour les enfants, la bataille Perez additive ou la bataille Perez multiplicative. A jouer en famille, et c'est très utile pour la rentrée tout en s'amusant ( de la maternelle à l'université). 

Vous tapez "apprentimaths" dans google.

2 -Si vous avez cabri ou un logiciel de géométrie dynamique, on peut dès le CE2 faire tracer des courbes mathématiques savantes et rigolotes en prenant les énoncés que j'ai mis ici dans la sous-page " amusons nous avec les courbes" dans la page "plaisir des maths".