inversion

la démonstration, amplificateur de plaisir ?

Dans le billet précédent, je signalai qu'on peut utiliser en classe ou non, des outils géométriques pour mieux goûter les peintures.

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 Il y a là quelque similitude avec la situation dans l’apprentissage des mathématiques.

Voici un exemple trouvé dans le livre de David Ruelle.

Il s’agit du théorème classique  dit « du papillon ».

On trace un cercle par exemple dans cabri.

On prend une corde AB et son milieu M. On trace par M deux cordes quelconques PQ et RS.

Les deux autres côtés du quadrilatère croisé SP et RQ recoupent la corde AB en U et V.

Alors les segments AB et UV ont le même milieu :M.

Le résultat est surprenant. En bougeant les points, on s’aperçoit que ça marche !

On se laisse rêver sur ce résultat : il est « beau » ! Ne jouons surtout pas les « blasés », c’est ce qui désintègre un cerveau.

Reste à savoir pourquoi, maintenant !

Utilisons le plan complexe d’Argand-Cauchy.

Quelle que soit l’origine choisie, on aura, en utilisant les notations de Grassmann ou confondant les notations du point et du nombre complexe associé :

 M-A = B-M ou encore M = (A+B)/2 pour traduire le fait que M est milieu de AB.

Pour traduire le fait que A,B,P,R sont sur un même cercle, il suffira d’écrire que le birapport [A,B ; P,R] est un nombre réel.

Ce birapport est par définition :

((P-A)/(R-A)) / ((P-B)/(R-B)) : il est invariant par l’homographique particulière 1/z. Et donc par la composée de cette homographique avec la symétrie par rapport à l’axe des réels , c'est-à-dire par l’inversion de puissance 1.

( z’ = 1/ conjugué de z)

Soit A’,B’,P’ R’ les images de A,B,P, R par cette inversion et on aura [ABPR] = [A’B’P’R’]

Si nous choisissons comme origine du plan le point S, alors A’,B’,P’,R’ seront alignés, comme SAA’, SBB’, SPP’ et SRR’.

Or la projection centrale (centre S) de la droite (A’B’) sur la droite (AB) conserve le birapport . Les images de A’B’P’R’ sont A,B,U,M. Donc on a :

[ABPR] = [ABUM].

De même, en prenant Q comme origine du plan, ou démontrerait que :

[ABPR] = [ABMV].

On en déduit : [ABUM] = [ABMV]

Ce qui s’écrit :

( (U-A)/(M-A) ) / ( (U-B)/(M-B) ) = ( (M-A)/(V-A) ) / ( (M-B)/(V-B) )

 

Or M-A = -(M-B) d’où

-(U-A)/(U-B)  = -(V-B)/(V-A)

(U-A)(V-A) = (U-B)(V-B)

 

Ou  UV-AV-UA+A² = UV-BV-UB+B²

Ou  BV+UB-AV-UA = (A+B)(B-A)

B(V+U)-A(V+U) = (A+B)(B-A)

(U+V)(B-A) = (A+B)(B-A)

U+V = A+B

(U+V)/2 = (A+B)/2

Donc le milieu de UV est le milieu de AB.

Joli, non ?

La démonstration de David Ruelle a doublé notre plaisir.

On pourrait continuer en se demandant comment est venue l’idée de passer par la géométrie projective : je vous laisse le plaisir d’y réfléchir : le cercle et le milieu ne sont pas forcément des notions euclidiennes.