intuition mathématique

Eloge de l'humilité

 

De passage quelques jours à marseille, j'ai trouvé pour 4 euros une merveille de pédagogie des mathématiques signée du mathématicien américain Seymour Papert "Jaillissement de l'esprit" chez Flammarion, collection "champs". Inventeur du langage LOGO et de l'outil "tortue", il signe là des pages d'une rare "santé", bien loin des consensus officiels. Un voyage très personnel , entre Piaget, Poincaré et en filigrane Freud,il vous oblige à revisiter, en positif ou en négatif, pas mal de vos propres certitudes, y compris les siennes.

Voilà encore un ouvrage pour toutes les bibliothèques d'université ou d'iufm  [Elles reviendront sous une forme ou une autre, car l'herbe ( la vie ) repoussera, même sous le passage des Huns qui nous gouvernent].

Un exemple que j'adapte.

Nous avons tous posé dans une classe au moins (6ème , 5ème ou autre) le problème de la corde popularisé par Perelman ( il ne s'agit pas du grand Grigory, mais de celui qui écrivit dans les années 50 le livre de vulgarisation "la mathématique vivante", J.I. Perelman).

On entoure l'équateur de la terre d'une corde qui a donc comme mesure 6400km.

On plante autour de l'équateur de la terre plusieurs millions de poteaux de 1m de hauteur.On tend une corde sur

ces poteaux. De combien doit on augmenter la longueur de la corde.

Cocher la  réponse qui vous paraît la plus proche, puis faire un calcul.

1000km ? 314km? 628km ? 628cm ?

En général, la surprise est de taille ( c'est le cas de le dire) : aucun élève ne devine, un quart trouve le résultat, mais ne le juge pas vraisemblable.

On corrige.Silence poli ! On fait refaire le calcul aux plus récalcitrants.

Et on s'en va.

C'est là qu'apparaît la distinction entre élève "particulier" (enfant de l'élève moyen,mon "général") et élève singulier ( élève réel:Dudule)

Pour Dudule, ce n'est pas fini! Il avait une intuition préalable, et elle entre en conflit avec le calcul formel.

On ne peut pas le laisser avec ce poids si on veut qu'il s'approprie le résultat, et la méthode d'ailleurs. Parce qu'il faut le convaincre que c'est le calcul formel qui a raison.

La méthode va être de lui apprendre à changer d'intuition, pour une autre qui sera moins brutalement éloignée du résultat formel. ( Le mot "intuition " est hélas un mot banni des conceptions habituelles de l'enseignement des mathématiques, bien que Poincaré lui ait donné ses lettres de noblesse, et que nous sachions tous qu'elle existe.Cela nous renvoie au dialogue :

-Que font maman et papa dans la chambre?

- Ils dorment)

Une distinction commode, mais "interdite" peut aider "mathématiques formelles" et "mathématiques concrètes".

va nous permettre de "ruminer" utilement le problème.

Supposons que la terre soit "carrée" ( merci Carroll et Abbot Abbot !).Et faisons le dessin.

Au lieu de deux cercles concentriques, nous n'avons pas deux carrés concentriques, mais un "carroïde" dont les coins sont arrondis (chaque point de la corde doit être à 1m du point le plus rapproché de la terre)

Prolongeons les côtés du petit carré pour mieux "voir".

Il est clair que le surplus du grand carroide sur le petit carré est formé seulement des 4 petits quarts de cercle de rayon 1m, donc en plus il y a 2 pi en mètres.

 

 On peut poursuivre avec un triangle, un hexagone, un polygone non convexe (interessant!) L'intuition selon laquelle il me faut de quoi "tourner" entièrement commence à se faire jour. On peut aller plus loin en prenant un demi cercle ou un quart de cercle.

Nous avons des explications globales, pas des démonstrations. Mais l'écart avec la démonstration formelle, ce que j'appelai "écart rhétorique" dans le projecteur rhétorique, se réduit.

On voit encore tous les bienfaits de la "rumination" des démonstrations quand elle est au service de l'élève réel, quand elle n'escamote pas l'intuition mathématique, ni l'inconscient mathématique, même de façon rudimentaire.

L'écart avec le résultat formel se