enseignement des maths penser à côté

merci internet et mr Chasles: distance point-ellipse

Il y a quelques jours, en reprenant l'article "penser à côté" de la catégorie " courtes promenades mathématiques", je proposais de définir et

de calculer la distance d'un point à une ellipse, avec un logiciel de géométrie, en évitant si possible l'utilisation  expliclite des équations

de façon à faire manipuler cette notion intuitivement par un élève de collège.En fait, il s'agissait surtout d'un travail à faire par l'enseignant

pour se déstabiliser un peu avant de préparer son cours sur les distances courantes en 5ème ou 4ème.

voir :

Penser à côté ( éloge de l'imprudence)

distance-pt-ellipse-1.jpg

Je sais que la distance sera définie comme le minimum de la longueur des segments joignant P à

l'ellipse.

Première idée: faire mesurer les distances pm par le logiciel et prendre le minimum, donc repérer m

sur la courbe par une abscisse et placer en ordonnée la distance pm.

Le lieu donnera une courbe dont on prendra le minimum.

Le malheur,c'est que je ne sais par repérer directement un point sur l'ellipse.

je garde l'idée, mais je vais partir du fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal de

l'elllipse par une affinité dont l'axe est le grand axe de l'ellipse et le rapport b/a, b et a étant

respectivement le petit axe et le grand axe de l'ellipse.

Il me suffira donc

  • d'ouvrir le repère
  • de demander au logiciel la longueur L du cercle et de reporter ce nombre sur l'axe des x ( choisir un cercle pas trop grand au début: on l'agrandira sans problème ensuite)
  • de tracer le segment [0L]
  • de choisir un point m0 entre 0 et L ( longueur du cercle),et de demander son abscisse x
  •  de reporter ce nombre x sur le cercle à partir d'un point du cercle choisi comme origine, ce qui me donnera un point m1
  •  de construire l'image de m1 par l'affinité adéquate, ce qui donne un point m
  • de mesurer la distance Pm
  • de place le point de coordonnées (x;Pm) dans le repère canonique du logiciel ce qui donne un point n
  • de demander le lieu de n quand x varie
  • Ensuite, on cherche le minimum absolu de la courbe ( il peut y avoir 3 minima relatifs en plus)
  • L'ordonnée de ce minimum absolu est la distance de P à l'ellipse.

Mais les logiciels donnent en général une conique avec 5 points

J'ai donc besoin de savoir trouver les axes d'une ellipse et de faire une macro commode pour d'autres travaux.

  • On commence par apprendre à trouver le centre.

Par deux des 5 points c et d, on trace une corde. Par un 3ème, e, on trace une corde parallèle. Les milieux des deux cordes parallèles donnent un diamètre. On recommence avec une autre corde ce par exemple, ce qui donne un second diamètre et l'intersection des deux diamètres donne le centre O de l'ellipse. On fait une macro dite "ellipse, centre" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point P, l'objet final étant O.

centre-d-une-ellipse-construction.jpg

  • reste à tracer les axes : une méthode consiste à utiliser les demi-diamètres conjugués.
  • Rappelons qu'étant donné un diamètre, l'ensemble des milieux des cordes parallèles à ce diamètre forment un second diamètre qui est dit "conjugué du premier".(en fait,ce sont les images de 2 diamètres perpendiculaires du cercle principal)
  • On trace donc une ellipse à partir de 5 points. On trace son centre O avec la macro précédente.
  • On choisit un point quelconque m sur cette ellipse ( différent bien sûr des 5 points).On trace la demi-droite diamètre [om).Par un des 5 points de définition de l'ellipse, on trace une corde parallèle à [om) et on prend son milieu n. La droite (on) est le diamètre conjugué du diamètre (om).
  • On fait une macro "diamètre conjugué associé à m" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point m, et comme objet finaux la droite (on).

diametre-conjugue.jpg

  • La théorie (qui définit l'ellipse comme le lieu d'un point fixe d'un segment de droite HK de longueur constante dont les extrémités décrivent deux axes rectangulaires) nous dit qu'en reportant à partir de m sur la perpendiculaire au rayon conjugué de (om) un segment égal à ce rayon conjugué, on obtient le point diamétralement opposé à O sur le cercle. Donc
  1. sur un ellipse munie d'un point m on construit le diamètre conjugué associé à m, et  on trace un des deux rayons conjugués associés à m, soit [op].
  2. On trace la perpendiculaire par m à ce conjugué
  3. On trace avec le compas le cercle de centre m et de rayon op
  4. il coupe la perpendiculaire en I par exemple
  5. on prend le milieu de o et I, soit w
  6. On trace le cercle de centre w passant par o.Il coupe la droite (wm) en h et k
  7. On trace les droites (oh) et (ok) : ce sont les axes de l'ellipse

On fait alors une macro "axes d'une ellipse", avec comme objet initial l'ellipse et comme objets finaux les deux axes.

axes-d-une-ellipse-construction.jpg

maintenant que j'ai cette macro, je vais pouvoir tracer le cercle principal ( son diamètre est le grand axe).

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